返璞归真 自然和谐

☉江苏省海安县曲塘中学附属初中 王 军

返璞归真 自然和谐

☉江苏省海安县曲塘中学附属初中 王 军

解几何题难，难在作辅助线．辅助线的类型总体上分为直线形和圆两种，而在平时数学教学中，对辅助线的“重直轻曲”现象一直存在.例如文1便出现了避直就迂的现象——舍弃较为简捷的作辅助圆的方法，大用特用较为烦琐的作直线形辅助线解题.文1还指出“构造圆是一种巧法，……应该选用其他较为简洁的通法”，笔者对此实在不敢苟同.其实，作辅助圆不是一种巧法，而是一种重要的通法、求解的方式；对于同一问题，若同时能用直线形和圆两种不同的辅助线方法求解，往往用圆的求解方法更简洁、更自然.现从近年中考题中选取两例，对它们进行几种不同的方法求解，让我们共同关注作辅助圆解题.

例1 （呼和浩特市中考）如图1，四边形ABCD中，

点评：解法1根据已知条件AB=AD，把题设已有图形看成直角三角形的一部分，其中将BD看成直角边，AD当成斜边上的中线，这样用补形法作出相等线段构成直角三角形，再运用直角三角形、等腰三角形、等腰梯形的性质进行解答.解法2通过作垂线把BD看成直角三角形的斜边，再解决两直角边的长，又运用矩形、等腰三角形的判定和性质解题.解法3运用截长法在线段CD上截取DE=AB，使之出现菱形，再利用菱形、等腰梯形的性质解答.前三种方法都是作直线形辅助线，用直角三角形、矩形或菱形等直线几何图形的判定、性质解题，体现出较为烦琐的解题过程，虽为通法求解，但思维含量大，学生不易想到.解法4根据题中已知条件：三条线段相等，且它们有公共端点，学生容易联想到圆的集合定义，作出以共同端点为圆心，以等线段长为半径的圆，再用圆的有关性质解题，显得格外自然而简捷，让人耳目一新.

点评：由结论的形式易想到要构造三角形的中位线，但要证明这两条线段（线段MN、DE）相等却比较难．解法1正是遵循这样的思路，充分利用含60°角的直角三角形的边的关系，得到两对相等线段AD=AM、AE=AN，再利用三角形全等实现证题．解法2利用两个含60°角的直角三角形，得出短直角边与斜边之比为1∶2，从而出现比例式，再利用“两边对应成比例且夹角相等”证三角形相似，进一步运用相似的性质证题．解法3通过观察题设图形，发现其中隐含有两对对顶三角形△CDF和△BEF、△DEF与△CDF，利用前者（两个含30°角的直角三角形）的直角边与斜边的关系，得出后面的一对对顶三角形相似，并运用相似的性质进行证题．前三种证法虽然都是运用直线形知识进行的通法求解，但解答此题对考生的识图、辨图能力要求较高．上面的证法看似精炼、简洁，但解题思维过程的长度被隐藏，其难度是我们老师无法想象的．实际上在考试中，鲜有学生能用前三种方法来证题．其实，也有不少考生采用作辅助圆的方法来解决问题．这是因为题目的已知条件和图形已具备作辅助圆的鲜明特征：△BDC和△BCE都是直角三角形，且它们有公共边BC，取BC的中点后，用圆的定义构造以BC为直径的圆，再综合运用圆的有关性质，则问题易于解决．

从上面两例可以看出：根据已知条件，添加适当的辅助圆，可使分散的条件集中，隐蔽的条件明显，为沟通条件与结论之间的内在联系而起到事半功倍的作用．相比其他三种直线形解法，作辅助圆解题较为贴近学生的认知水平，也接近学生的“最近发展区”，符合学生通常的思维习惯，有利于学生的理解和接受，有利于培养和发展学生的思维能力、创新意识．因此作辅助圆是数学解题中一种不可缺少、不可忽视的通用的思维方法．平时教学中，对于可作辅助圆的一类问题应作详细分析、重点讲解，应展示解题的思维过程，让学生知道为什么能够作出辅助圆，作出辅助圆的目的，之后又怎样去运用圆的性质解答等，这样能使学生体会到作辅助圆的由来和用圆的知识解题的简捷性；进行例题讲解后，还应该及时补充一定量的相关习题，进行专题训练，这样学生就会熟练掌握，融会贯通、熟能生巧，进而把辅助圆作为一种必不可少的解题工具、思维方法，自觉运用到解题中去．

不少几何问题明明可用作辅助圆的方法解决，学生为什么弃之不用呢？经笔者调查、分析和思考，主要原因有以下几种.

（1）学生对圆的内容掌握不扎实，不习惯把圆作为解决问题的工具．

我们知道，圆是平面几何中的基本图形，也是除直线图形之外的另一特殊曲线图形；《圆》是初中数学极其重要的章节，在平面几何中举足重轻，它比较系统的研究了圆的概念、性质、圆中有关的角、点与圆、直线与圆、圆与圆、圆与正多边形之间的位置、数量关系．虽然现行教材对圆的内容作了大幅度删减，比如：弦切角、相交弦、切割线、四点共圆等，但圆的基本知识、结构、框架还在，相比其他章节，其知识点仍然庞杂，性质定理繁多，运用灵活．特别是圆与三角形、四边形、多边形、全等、相似、几何变换、函数图像相结合后，综合性强，难度大，学生难以在短时间内学好．

另外，《圆》一章被安排在九年级上册，在《相似》、《二次函数》之前，讲授《圆》时，由于受内容限制，大都只按部就班，学完课本的知识点，便草草了事；而与其他知识点相关联的内容（特别是与相似）都没有纳入教学之中，而圆与相似相结合是初中数学最为华丽的篇章．这样，对《圆》的学习仅仅停留在浅层次的运用上，对圆的深层次的运用几乎为空白．最终导致不少学生对圆的内容较陌生，甚至谈“圆”色变．

（2）缺少对圆辅助线的归纳和总结．

现行教材虽经专家精心设计，但在平时教学中，我们仍不能照本宣科，而应不断加强相关内容的总结、反思和拓展．学习《圆》的内容时，应适时补充与圆有关的一些重要定理、性质，并进行运用，启发、引导学生对圆的内容的深入探讨和细致研究，这样便能充分挖掘教材潜在的教学功能，使学生的数学思维和创新能力得到进一步的培养和提高．

平时教学中，让学生体会到圆是平面几何的重要图形，它不仅能反映图形中诸多角的关系，也能建立很多线段间的关系．应引导学生归纳、总结圆的基本运用、辅助线的作法．构造辅助圆的基本思路是：根据圆的定义添补辅助圆、根据“圆周角的性质”作辅助圆、根据圆内（外）角与圆周角的关系作辅助圆、根据“任何三角形都有一个外接圆”作辅助圆、根据点与圆的位置关系作辅助圆、根据直线与圆的交点个数作辅助圆、根据圆与圆的交点个数作辅助圆等，解题时应因题而异，灵活处理．

（3）对作辅助圆的作用认识不够．

圆是平面几何中的重要内容，对培养学生的识图能力、空间转换能力、逻辑推理能力有着重要作用．在中考数学试卷中，不光体现在基础知识的检测上，也体现在综合解题能力上．例如：由圆和直线图形、函数图像可以组合成一些复杂的综合题，由圆的一些性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了涉及面广、图形变化大、综合性强的中考压轴题．解答它们，往往需要有较强的分析问题、解决问题的能力．

学生在初学圆时，对一些题目往往感觉无从下手，这时如果能够添加适当的辅助线，问题就简单多了．作辅助圆求解几何问题，能化繁为简、化难为易，彰显了独特的解题魅力，它渗透了一些基本的数学思想方法，能拓展思路、开阔视野，甚至也会在问题解决过程中有易如反掌、势如破竹的快乐体验，真可谓“直线诚可贵，曲线价更高”．在教学过程中，既要重视作直线型辅助线的解法，也要重视作辅助圆的解法，以培养学生敏锐的观察、深刻的思维与探究能力，提高数学素养，获得终生发展所必需的数学思想方法．

当然，笔者强调作辅助圆解题，绝无“贬直扬曲”的倾向，只是想找回它在教学中应有的位置，两种不同类型的辅助线解题方法不可或缺，孤立任何一种都不可取．在教学中，取长补短，整合优化，发挥各自优势，这样学生的思维和答题，便可以返璞归真，自然和谐．

1.汤献玉.立足教材，活用定义［J］.中学数学（下），2011（8）.

2.罗峻.找出隐藏的圆，巧解中考试题［J］.中学数学（下），2011（1）.WG