多点激励下地震动输入模式探讨及有限元软件实现方法研究

罗 宇

（深圳市市政设计研究院有限公司，广东深圳 518035）

0 引言

通常进行传统结构地震响应分析时，均认为地震动输入是一致的，即假定结构不同支承处的地面运动是完全一致的，仅考虑地震动时间的变化性。在地震动一致激励下，结构的拟静力位移与地震地面运动位移是相同，动位移是上部结构与地面运动之间的相对位移，结构内力只与动位移有关。然而，陈匡怡SMART台阵实际地震记录表明，空间各点的地震动并不是完全一致的，而是具有一定的差异性，而且地震动的空间差异对大跨度结构地震响应有重要的影响。而且，多点激励下地震响应分析却与一致激励地震响应有较大的不同，此时，必须要考虑拟静力反应对结构响应的影响，同时，叠加原理不适用于非线性结构的响应分析[1]。

本文基于多点激励下的动力学平衡方程入手，忽略一些次要的影响因素，讨论了适用于多点激励响应分析的多点地震动输入模式及动力平衡方程。为了避免自编程序耗时耗力，本文基于通用有限元软件的现有功能，提出适合多点地震动输入模型在通用有限元软件中的几种实现方法，并对其进行分析研究。最后，以某一大跨度悬索桥为计算示例，基于SAP2000程序介绍各种方法在有限元软件中的应用。

1 多点激励下地震动输入模式讨论

在地震所引起的地面运动作用下，当结构为集中质量系统时，基于达朗贝尔原理，结构的动力平衡方程可以用上部结构未知节点位移us和基底节点绝对位移ub形式表示，方程式可写为：

式（2）中：ub为绝对坐标系下地面位移运动向量；Ksb为与支承节点相连的刚度矩阵，只与施加位移的基底节点相连的节点相关的项；-Ksbub即为绝对坐标系下由于支座随地面运动而产生的上部结构力。

当地面位移运动为已知时，即可利用上式求解平衡方程。此式即为求解地震地面运动下结构反应的绝对位移输入模型。

当结构处于线性范围时，绝对位移可分为惯性力引起的位移和拟静力位移。

上式可以进一步简化为：

在工程结构中，一般情况而言，结构的阻尼力与惯性力相比可以忽略不计；还注意到，当采用集中质量法进行有限元的计算时，结构的质量矩阵为对角矩阵，这意味着矩阵]为对角阵，当所有动力分量为0时，可以得到求解震响应的绝对加速度输入模型，如下：

当结构各支承节点的运动一致时，Tsb=I；同时，阻尼项通常远小于惯性力，一般可以忽略，此时，式（4）可以写为：

以上基于达朗贝尔原理，建立多点激励下结构反应的动力平衡方程，并进一步推导结果表明，结构运动方程可以分别由地震动的位移输入模型和加速度输入模型来表达，其分别对应着结构的相对运动状态或绝对运动状态两种形式。位移输入模型是将地面位移作为动荷载，建立关于绝对坐标系的动力平衡方程；而加速度输入模型是将结构在绝对坐标系下的地震响应分为拟静力反应和动力反应，其中拟静力反应是忽略惯性力的影响后地面运动位移的静力反应，动力反应是地面运动加速度引起的反应[2]。由于地震地面运动的记录多是地面加速度时程，很少直接测到位移的时程，因此，在结构地震嗅觉中多采用加速度输入模型。目前，当结构各支承点跨度较小且场地条件差别不大时，通常采用相对加速度输入模型，即式（5）所示。目前，地震动的位移时程的实际记录较少，我们可以通过刚性质点的运动学关系，通过地震加速度记录经过积分得到。

2 多点激励地震动输入模型在有限元软件中的应用

由前文推导可知，式（5）为相对加速度输入模型，当地震激励为一致激励时，由已知的支承节点加速度时程，通过动力学方程的求解，即求得与地震动激励相对应的结构非支承节点的相对位移、速度及加速度，此法也可以称为即相对运动法（简称RMM）。此方法为目前通用的有限元软件所采用的分析模型。计算分析模型如式（5）所示，即一致激励地震响应分析通常所采用的计算方法，此方法可以适用于一致激励下线性及非线性地震响应分析，可以求得节点相对位移、速度及加速度。

在多点地震动激励作用下，当结构处于线性范围时，式（5）仍然成立，因此，相对运动法仍然适用，但是在求解过程中需要求解逆矩阵，有限元求解逆矩阵较困难；当结构处于非线性范围时，由于结构非线性变形引起的结构刚度不能忽略，拟静力反应和动力反应不能单独求解，叠加原理不再适用[3]。因此，目前，通过的相对加速度输入模型不适用于多点激励下非线性地震响应分析。进行多点激励响应分析，需要通过直接对绝对位移输入模型或绝对加速度输入模型进行直接求解。然而，现有的有限元软件通常无法直接实现各支承点的非一致激励响应分析，需要重新进行编程分析，但是自编程序耗时耗力，且程序通用性较差，很难为其它人所接受。因此，人们基于地震动输入原理，根据通用有限元软件的现有功能，提出了基于现有通过有限元软件中的绝对加速度/位移输入模型的实现方法。根据在有限元软件的实现方法的不同，可以分为大质量法、大刚度法、绝对位移输入法。

2.1 大质量法（LMM）

由于地震地面运动的记录多是地面加速度时程，因此，基于加速度输入的输入模型更习惯被人们所接受。然而，目前通用的有限元分析软件，如ANSYS、SAP2000等均无法实现支承点的非一致加速度激励下的地震响应分析。基于此目的，提出了适用于商用有限元软件的绝对加速度输入模型的实现方法——大质量法。大质量法（Large Mass Method，简称LMM）是对结构模型进行动力等效的一种近似分析方法。在此方法中，为了实现各支承处的非一致加速度输入，这种方法通过在支承点处施加远大于结构总质量的大质量(大于整个结构质量的10倍以上)，因此，惯性力在响应中就占优势。为了得到确定的加速度，在支承处的惯性力应该被视作外部驱动力，便可在支承自由度处获得确定的加速度。此方法即通过施加力的时程使支承大质量产生振动而实现各支承点的非一致地震激励，表达式如下：

式（6）中：Mbig为节点大质量，通常取结构总质量的106～108倍；Fb为在各节点大质量上所施加时间变化的节点荷载为各支承节点处的地面加速度时程。当大质量远大于结构质量Mbb时，有即支承节点的实际响应加速度与地面加速度一致，最终实现了对支承节点的加速度输入。

大质量法通过对支承节点添加大质量并施加与地震加速度相对应的力时程，实现了地面加速度的输入。大质量法在求解过程中不涉及位移的分解，因此可以通过直接积分的方法得到结构的总体地震反应。而且，大质量法可以适用于非线性分析[4-6]。但是，由于大质量法求得的最终结果是结构各点的绝对反应，因此无法区分拟静力反应项和动力反应项。

多点支承激振可很明确地通过此方法进行计算，地震激励产生的内力可通过直接解方程获得,所得结果是本文第二章所述相对运动方法中拟静力项和动力项的和。从以上分析可知，用大质量法求解基础激励的动力响应问题实际上是将结构与基座连接处的固定约束变为随时间变化的加速度约束，从本质上讲是一种约束关系[7]。

2.2 大刚度法（LSM）

为了避免位移输入模型中Ksb的计算分析，可以使用大刚度法近似进行分析。大刚度法的解题原理与大质量法基本相同，也基于罚函数法，不过是作用在刚度矩阵上。大刚度法在支撑处设置一大刚度弹簧，其刚度K约为单元刚度总和的 106倍，然后在支撑处施加与地震激励 Ug≈Ub相应的动力荷载。大刚度法也需要对模型进行一定的修改：将对应基础激励自由度的刚度上加一个大弹簧Kll，同时改变对应的荷载。大刚度法的动力平衡方程为：

式（7）中：K*为原支承节点与新增支承节点间杆件刚度；K*ug为在原支承节点处所施加沿位移方向时程力。

大刚度法与大质量法相比,大质量法的求解精度和求解效率较高。因为大刚度法会造成结构的高阶模态,而用模态叠加法求解时往往会忽略高阶模态的存在,因而大刚度法不适合用模态叠加法求解,宜采用直接瞬态法求解。大刚度法适用于基础激励为位移的情况，此时,载荷的施加非常方便，不需要作其它变化,同时避免了加速度积分引起的刚体漂移问题。

2.3 绝对位移输入法（ADM）

SAP2000中可以直接对支撑点指定位移时程,所以不需要对模型进行任何处理。位移输入法求解方程如式（4）所示：

式（8）即为位移输入法的基本方程。此方法不需要事先对模型进行修改，可直接对各固定支承点施加不同的位移时程，通过直接求解式（4）得到结构的地震响应，此方法可以不修改模型的前提下在现有通用的有限元程序中方便实现。直接法与以上两种方法相比,求解精度最高,而且不会遇到数值问题。但由于模态叠加法求解的特性，直接法不宜用模态叠加法求解，只能采用直接积分法求解。同样，也不会遇到加速度积分引起的刚体漂移问题。文献[2]则认为，不论对于多点激励还是一致激励，采用相同的数值积分方法和积分步长时，位移输入模型都能较加速度输入模型得到较高的精度。

3 基于SAP2000的多点激励响应算例分析

为了更具体地表达出各种方法在现有商用有限元软件中的实现方法，本文基于大型通用有限元软件SAP2000，建立某大跨度悬索桥的三维有限元分析模型。在进行大跨悬索桥地震响应分析时，分别应用各种不同的方法来在SAP2000中实现多点非一致的激励，最后，用关键节点的地震响应结果来比较验证各种方法和准确性。

3.1 工程背景及有限元分析模型

本文以某主跨为850 m的大跨度悬索桥为算例。此大跨悬索桥的主梁采用工字型钢板梁；主塔采用钢筋混凝土框架结，高度约为129 m，由塔座、上、下塔柱及上、下横梁几部分组成。主塔上、下横梁均为钢筋混凝土单箱单室结构。主缆矢跨比为1/9，横向中心距为36 m，吊点间距15 m。各跨主梁均为简支体系，主梁在主塔及边墩处均设上、下游竖向拉压支座，约束主塔、主墩处主梁的竖向位移，并通过上、下游竖向支座的联合作用，约束主梁的扭转；主梁在边、中主塔及边墩处均设侧向抗风支座。

采用SAP 2000建立了空间动力计算模型。主缆和吊杆采用梁单元模拟，但忽略其弯曲刚度，考虑缆索及吊索的柔性，同时设置拉压限值，模拟只受拉不受压的特性。主缆按吊杆的吊点进行离散，但应考虑几何非线性及垂度的影响，对其弹性模量进行修正。桥塔在计算模型中用空间梁单元模拟，单元节点取截面形心的连接线。在横梁与主塔相交处。钢主梁采用空间梁单元进行模拟，由实际梁计算的实际截面特性输入进行计算，主梁在模拟中用脊梁模式进行模拟，质量包括所有桥面系的质量，并考虑扭转质量惯矩的影响。主缆在锚固点处约束3个方向的线位移，以模拟锚固的锚固作用；塔底基础节点处固结。建立的三维有限元模型如图1所示。

图1 三维有限元模型图

本算例地震响应分析时所采用的地震加速度时程曲线及相应位移时程曲线如图2所示。其中位移时程是由加速度时程曲线二次积分得到，并进行零基线调整。由于本次算例主要为了探讨各种方法在SAP2000中的实现方法，因此，在本算例中的多点非一致激励仅考虑地震动沿X向行波效应，假定地震动波以400 m/s的视波速沿纵桥向传播，即各个支承点的地震动激励时滞分别为0.5 s,2.63 s，3.13 s。

图2 地震动输入

然而，目前在SAP2000中并无法直接实现多点激励地震响应分析，分别介绍基于SAP2000程序的间接实现方法。

3.2 大质量法在SAP2000中的实现方法

根据该算例的实际情况，在SAP2000中采用LMM法进行分析时，有限元模型要做以下调整：

（1）首先，在SAP2000软件是定义地震动加速度时程曲线；把结构的支承点处释放掉一个地震激励方向的约束，该算例释放纵桥向线位移约束；给边界节点施加一个X向大质量Mmass，大质量约为全桥质量的106倍左右，该算例中取Mmass=1012T；在各个支承点沿X向分别施加单位的质量力；图3（a）仅为左主塔底边界处理的示意图。

（2）设置大质量法的多点激励分析工况。Load name分别设置为各支承点处施加的力时程，力时程的放大系数取为1012，各个力时程的时间差根据视波速传递的时间以考虑地震动的波传播效应，具体设置如图3（b）所示。

图3 大质量法在SAP2000中的实现

3.3 大刚度法在SAP2000中的实现方法

根据该算例的实际情况，在SAP2000应用LSM法进行分析时，有限元模型要做以下调整：

（1）首先，在SAP2000软件是定义地震动位移时程曲线；把结构的支承点处释放掉一个地震激励方向的约束，本算例释放X向线位移约束；给边界节点施加一个X向大刚度弹簧K，本文取大刚度为1012倍左右；在各个支承点沿X向分别施加单位的力时程；图4（a）仅为左主塔底边界处理的示意图。

（2）设置大刚度法分析工况。Load name分别设置为各支承点处施加的力时程，力时程的放大系数取为1012，各个力时程的时间差根据视波速传递的时间来设置，具体设置如图4（b）所示。

图4 大刚度法在SAP2000中的实现

3.4 绝对位移输入法在SAP2000中的实现方法

SAP2000软件支持各支承点的位移激励的非一致输入，因此，在SAP2000中应用绝对位移法进行多点激励响应分析是十分方便快捷的。

以下简单介绍一下此方法在SAP2000中的实现过程：

（1）首先，定义地震动的位移时程曲线，在SAP2000中采用位移法进行多点激励分析时，不需要对有限元模型进行修改，直接在支承节点施加X向位移荷载，如图5(a)所示。

（2）设置绝对位移法分析工况。Load name分别设置为各支承点处施加的位移时程，位移时程的放大系数取为1即可，各个支在点的位移时程的时间激励，根据视波速传递的时间来设置，具体设置如图5（b）所示。

3.5 大跨悬索桥在多点激励下地震响应比较

图5 绝对位移法在SAP2000中的实现

根据上述的3种方法基于SAP2000软件分别进行多点非一致激励下的地震响应分析。对于大跨度悬索而言，重力刚度的影响不能忽略。因此本文进行多点激励地震响应分析时基于恒载作用下的静力平衡状态进行分析。图6列出采用大质量法（LMM）时，双塔悬索桥的各个支承点的实际地震动输入时程，由该图可以看出，大质量法可以有效地实现各支承点的非一致激励。图7、图8分别比较了在SAP2000软件中采用大质量法、大刚度法和直接位移法的实际输入和结构响应结果。由于篇幅有限，图7仅列出1#主塔底的实际位移输入时程，由图可以看出，采用3种不同的方法，对该节点的实际位移激励时程都几乎完全一样。大质量法和直接位移法的实际输入略有些细微差别，应该是由于加速度积分过程中的误差引起的。图8(a)、(b)为1#主塔塔顶节点在地震激励下的加速度响应时程和位移响应时程，可以看出3种方法均能较好地实现多点激励地震响应分析。

4 结论

本文围绕多点地震动激励下地震动输入模型及其在通用有限元软件中的实现而开展研究，主要得到以下结论：

图6 LMM法时各支承点的加速度激励时程

图7 3种方法1#塔底节点实际位移输入时程

（1）由动力学原理出发，推导多点激励下的动力平衡方程，地震响应分析的位移输入模型和加速度输入模型的动力平衡方程。

（2）根据目前通用有限元软件的特点，提出可以适用于通用有限元软件的多点激励实现方法——大质量法、直接位移法及大刚度法，并阐述了各种方法的动力平衡方程及原理。

（3）以某主跨为850 m的悬索桥为工程背景，基于SAP2000详细介绍各种方法在通用有限元软件中的实现方法，并通过数值结果比较证明了3种方法均是行之有效的。

图8 3种方法下塔顶节点响应时程比较

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