中子入射钆核反应的理论计算

张开强 张正军 胡继峰 陈金根

1（西北大学物理学系 西安 710069）

2（中国科学院上海应用物理研究所 嘉定园区 上海 201800）

中子入射钆核反应的理论计算

张开强1张正军1胡继峰2陈金根2

1（西北大学物理学系 西安 710069）

2（中国科学院上海应用物理研究所 嘉定园区 上海 201800）

在光学模型的假设下，以中子与钆核反应的总截面、弹性散射角分布等实验数据作为基础，使用APMN程序寻求到一组描述这个反应过程的光学势参数。在扭曲波波恩近似理论下，应用DPPM程序计算核反应过程的直接非弹性散射部分。应用以上结果，使用基于球形光学势理论、统一的Hauser-Feshbach理论的UNF程序，计算核反应过程中的各种截面，中子数据以及各种反应道的出射道的截面。在计算完各种数据后，与实验数据比较并给出没有实验数据区域的理论结果。

光学模型，Hauser-Feshbach理论，总截面，弹性散射角分布

能源是国民经济发展的基础，一直以来，我国能源的供给依赖于煤、石油、天然气等化石燃料，而化石燃料是不可再生资源。随着经济的高速发展，对能源的需求日益增加，化石燃料被过度开采，现已接近枯竭，无法满足需求，严重影响到经济发展甚至是国家的稳定。为实现国民经济的可持续性发展，新能源技术的研究开发在近年来不断壮大，核能就是其中一种高效、清洁、安全且经济的能源。

本工作源于中国科学院“钍基熔盐堆”项目，钆元素有可能作为反应堆的中子控制棒，若该项目取得成功，将可能改变世界能源版图。本文利用Gd及其同位素与中子反应的总截面、去弹散射截面和弹性散射角分布的实验数据，使用APMN06M程序在光学模型理论下计算出了一套入射能在0.01−20 MeV的一组光学势参数，然后应用DPPM程序在扭曲波玻恩近似理论下计算出直接核反应数据，最后由UNF程序在核反应统一的Hauser-Feshbach理论和激子模型下计算出复合核反应过程。Gd是第64号元素，属于镧系稀土元素，在地壳中的含量5.4×10−6。Gd的几个主要的同位素在自然界中的丰度：Gd-154(2.10%)、Gd-155 (14.80%)、Gd-156(20.60%)、Gd-157(15.70%)、Gd-158 (24.80%)、Gd-160(21.80%)。本文主要计算入射能在0.01−20 MeV中子与Gd-155核反应的截面数据。

1 理论简介

在核反应中，入射粒子同靶核的作用可视为入射粒子在以靶核中心为原点，有一定半径和深度的平均场势阱中运动。当用复数形式的核势(实部描述散射，虚部描述吸收)处理该平均场作用时，由薛定谔方程求解可成功地解释核反应的散射和吸收现象。这种描述核反应的复数势阱模型称光学模型[1]。

定态薛定谔方程：

式中，U(r)是中子和靶核体系的光学势，由Woods-Saxon给出了唯象光学势的一种形式：Woods-Saxon势，这便是现在核计算中普遍采用的唯象光学势[2]。它的一般形式如下：

式中，VC、Vr、WS、WV、VSO、WSO分别为库伦势、实部势、虚部面吸收势、虚部体吸收势、自旋轨道耦合实部势、自旋轨道耦合虚部势，总共可调参数为31个：rC；V0、V1、V2、V3、V4、rr0、rr1、ar0、ar1、ar2；WS0、WS1、WS2、rS0、rS1、aS0、aS1、aS2；WV0、WV1、WV2、rV0、rV1、aV0、aV1、aV2；VSO、WSO、rSO、aSO[3]。具体形式如下。

库伦势[4]表达式为：

于中子入射核反应，库伦势rC为0。

实部势表达式为：

式中，Rr=rrA1/3。V、rr和ar分别是中心实部势能量的特征量、半径和弥散宽度。

虚部面吸收势表达式为：

式中，RS=rSA1/3。WS、rS和aS分别为面吸收虚部势能量的特征值、半径和弥散宽度。

体吸收虚部势表达式为：

式中，RV=rVA1/3。WV、rV和aV分别为体吸收虚部势的能量特征量、半径和弥散宽度。

自旋轨道耦合实部势与虚部势表达式为：

式中，RSO=rSOA1/3。VSO为自旋-轨道耦合实部势的能量特征值；WSO为自旋-轨道耦合虚部势的能量特征值；aSO为自旋-轨道耦合势的弥散宽度；rSO为自旋-轨道耦合势的半径。为π介子的康普顿波长，=2.00 fm2。

入射粒子在平均场的作用下运动，因残余相互作用引起直接反应。如果认为残余相互作用不是很强，则可用Born近似进行直接反应的理论计算。只有在考虑了平均场之后方能认为残余相互作用是不强的，因此入射粒子和出射粒子不能简单地看作为自由粒子，而必须考虑为在靶核和剩余核平均场作用下的运动粒子，即初态和末态粒子运动波函数不能用表示自由运动的平面波而必须用平均场作用下的扭曲波。用这种扭曲波的Born近似来计算直接反应的理论方法叫做DWBA方法[5]。

入射粒子在核内进行级联碰撞过程中，在能达到充分交换之前就有粒子发射。这一新的非平衡反应机制就是预平衡反应发射机制。预平衡机制一般采用激子模型理论处理。基本思想是将预平衡核反应过程描述为入射粒子诱导的核内级联碰撞，并不断产生粒子空穴对的核内激发过程。在平衡态核反应计算中，采用Hauser-Feshbach理论来处理，使用蒸发模型假设[6]。

2 光学势参数及结果分析

在光学模型模拟下，利用Gd的天然核与中子反应的总截面、去弹截面和弹性散射角分布的实验数据，使用APMN程序计算找出了入射能一组在0.01−20 MeV下，与实验值符合较好的光学势参数。其值如下：

由此套参数对中子与Gd-155的反应总截面、弹性散射截面、弹性散射角分布还有去弹截面进行了理论计算，图1给出了实验值数据与理论数据的比较图，其中实验数据采用的是天然核数据。

图1中各种点阵表示的是从国际原子能数据库查到的各个实验值，实线表示的是由此套光学势参数计算出来的反应总截面的理论值。核反应总截面是对核反应基本特征研究的一个基本物理量。

图1 反应的总截面Fig.1 Total cross section of reaction.

图1 中给出的是总截面随着入射粒子能量变化而变化的特征。其中入射粒子，靶核的质子数、中子数都没做变化。由图1，入射能在0.1−20 MeV理论计算出来的总截面曲线与实验值的整体趋势符合良好。因此有理由相信由此套参数计算出来的理论结果是准确的。总截面在入射能较低时较大，随着入射能增加而稍有降低，根据后面的计算结果可知，总截面的值在入射能较低时主要是由弹性散射截面的贡献，随着入射能增大，弹性散射截面降低，而其他反应截面有升有降，总体呈降低趋势。

图2 弹性散射角分布理论与实验对照图(a)和理论曲线(b)Fig.2 Theoretical and experimental control chart (a) and theoretical curve (b) of elastic scattering angular distribution.

图2(a)中，由上至下曲线与点阵分别对应入射能在0.25 MeV、1.52 MeV、2.05 MeV、2.50 MeV、2.57MeV、3.08 MeV、3.60 MeV、4.10 MeV时的弹性散射角分布的理论值与实验值，其中曲线为理论值，点阵表示实验值，实验数据取自天然核数据，实验值从数据库查到。图2(b)中，由上至下曲线分别对应入射能在6.0 MeV、8.0MeV、10.0 MeV、12.0MeV、14.0MeV、16.0MeV、18.0MeV、20.0MeV时的弹性散射角分布的理论曲线，为了使图形表述更清晰，图中对数据进行了如下处理，由上至下对得到各曲线的数据分别乘以107、106…100。

由图2(a)，实验数据的落点与理论给出的曲线符合度良好，二者走势大体相同。由此在入射能更高的时候，由这套光学势参数计算出的理论曲线是可信的，同时由图2(b)给出了在入射能大于等于6.0 MeV时对应各个入射能值时的弹性散射角分布的理论值，这里就是理论预测作用。基于图2(a)中理论曲线与实验值的符合度，有理由相信图2(b)给出的结果。图2由上到下，从入射能低到高，可明显看出曲线的波长更短了，这样在0°−180°间呈现的波动峰值更多。因为中子呈电中性，与原子核的库伦相互作用几乎为0，所以中子入射Gd核反应中的弹性散射基本是中子与靶核核子衍射的结果，由物质波波长与动量的关系式λ=h/p容易理解波长随入射能增加而减小的关系。图3为直接非弹性散射部分单个中子出射曲线。图中下面的那些曲线分别对应各个能级的直接非弹性散射截面，而最上面的那条曲线表示总的直接非弹性散射截面，为下面那些曲线的积分值。由图3，随着入射能增加，直接非弹性散射截面先有一个增加过程，随着进一步增加，直接非弹性散射截面则会降低。

图3 直接非弹性散射反应截面图Fig.3 Cross sectional view of inelastic reaction.

图4 为多个中子出射截面，第1、2、3条曲线分别对应(n,n)、(n,2n)、(n,3n)反应道，图中的圆点表示(n,2n)反应道实验值。中子出射几率是链式反应的关键因素，由图4，随着入射能增大，出射中子的几率先增大然后逐渐减小。从入射能7 MeV开始，出射单个中子的几率减小，但是开始有出射两个中子的；从入射能16 MeV开始，出射两个中子的几率减小，但是开始有出射三个中子的。可见随着入射能的增加，出射中子的数目应该是增加的，同时也说明各个反应道之间有竞争的关系，每当一个新的反应道开启的时候，旧的反应道就会降低[7]。

图4 多个中子出射截面图Fig.4 Multiple neutron-sectional view of exit.

图5 为γ射线出射截面图，实线为计算的理论值，点阵是实验数据。γ射线具有很强的穿透力，随着入射能增加，γ射线出射几率有所下降。

图5 γ射线出射截面图Fig.5 γ-rays emitted sectional view.

图6 是本工作计算出的各种粒子出射截面与反应通道总体图形，纵坐标采用对数坐标，随着曲线的变化，纵坐标值变化极大。由图6，弹性散射截面在入射能较低时占反应截面的主体位置，在入射能较高时，弹性散射截面降低，去弹性散射截面增加并高于弹性散射截面。下面给出各个反应通道的截面图，可比较直观地比较各个反应通道截面之间的关系。整体看来，出射粒子质量数较大的核子开启反应道所需入射能较高，而从截面大小来看，除中子出射截面外，最大就是nA与A的出射截面[8]。

图6 各种粒子及射线出射截面图Fig.6 Cross-sectional view of various particles and rays exit.

图7 中最上面表示DE的实线为出射中子能谱图，下面的5条虚线，由上至下分别对应的是角度在30°、60°、90°、120°和150°时中子出射截面按能量的分布，即双微分截面[9]。双微分截面就是出射粒子能谱按出射角度和能量的分布，按角度的积分则是能谱。双微分截面数据在核工程设计及中子屏蔽设计中都有重要价值。从图7看出，双微分截面基本呈现两个峰值，一个是出射能趋近于0的位置，这个峰值对应的是形状弹性散射峰值，另一个峰值则是出射能趋近于入射能的位置，对应于直接非弹性散射反应的峰值。图7对比来看，由上往下，入射能逐渐增高，对应的反应截面也逐渐增加，这是因为在入射能较低时，有些反应道如(n,2n)、(n,3n)等并未开启，随着入射能增加，更多的中子出射通道开启，使得出射中子截面总体有所增加。

图7 中子的双微分截面Fig.7 Double differential cross section of neutron.

3 结语

在中子与Gd天然核及其同位素反应的实验数据基础上，在光学模型的假设下，应用APMN程序寻找出的这套光学参数计算了各个反应道的截面和粒子出射能谱，能够反应出中子与Gd核反应的大致过程，由它计算出的理论数据与实验数据符合良好，由这套数据预测的各个反应道的数据是基本可信的，同时也说明了由光学模型假设来描述核反应过程的合理性。

目前的核反应堆都是使用中子轰击核的链式裂变反应，根据Gd元素与中子的反应，可以将其作为核反应堆的控制棒材料，通过核反应吸收中子，达到控制反应速率的目的，使得核反应过程更平稳、更安全。

1 张正军, 孙秀泉, 申庆彪. 光学模型与ADS靶的反应截面[J]. 光子学报, 2002, 31(9): 1155−1159

ZHANG Zhengjun, SUN Xiuquan, SHEN Qingbiao. Optical model studies of reaction cross section for ADS target material[J]. Acta Photonica Sinica, 2002, 31(9): 1155−1159

2 韩健, 张正军, 韩银录. 中子与58,60Ni反应的理论计算[J]. 原子能科学技术, 2007, 41(3): 278−282

HAN Jian, ZHANG Zhengjun, HAN Yinlu. Theoretical calculations for n+58,60Ni reactions[J]. Atomic Energy Science and Technology, 2007, 41(3): 278−282

3 SHEN Qingbiao. APMN: a program for automatically searching optimal optical potential parameters in the E＜300 MeV energy region[J]. Nuclear Science and Engineering, 2002, 141: 78−84

4 张正军, 申庆彪, 韩银录, 等. P+209Bi核反应微观数据的理论计算[J]. 高能物理与核物理, 2002, 26(6): 600−606

ZHANG Zhengjun, SHEN Qingbiao, HAN Yinlu, et al. Theoretical calculations of microscopic nuclear reaction data for P+209Bi in energy region up to 300 MeV[J]. High Energy Physics and Nuclear Physics, 2002, 26(6): 600−606

5 张雍雍, 颉琼, 张正军. P+59Co原子核反应的理论计算[J]. 原子能科学与技术, 2010, 44(10):16−18

ZHANG Yongyong, JIE Qiong, ZHANG Zhengjun. Theoretical calculation of P+59Co nuclear reaction[J]. Atomic Energy Science and Technology, 2010, 44(10): 16−18

6 张雍雍. P+24Mg−180Hf核反应的光学模型计算及分析[D]. 西安: 西北大学, 2010

ZHANG Yongyong. The calculations and analysis of the optical model for the nuclear reaction of P+24Mg−180Hf [D]. Xi’an: Northwest University, 2010

7 Miskel J A, Marsh K V, Nagle R J. Neutron-activation cross sections[J]. Physical Review Letters, 1962, 128: 2717−2723

8 张雍雍, 任文涛, 颉琼, 等. P+28Si原子核反应的理论计算[J]. 应用光学, 2008, 29: 16−18

ZHANG Yongyong, REN Wentao, JIE Qiong, et al. Theoretical calculation of P+28Si nuclear reaction[J]. Journal of Applied Optics, 2008, 29: 16−18

9 ZHANG Jingshang. User manual of UNF code[J]. China Nuclear Information Centre(CNIC)-01616, 2002

CLCTL361

Theoretical calculation of n+Gd nuclear reaction

ZHANG Kaiqiang1ZHANG Zhengjun1HU Jifeng2CHEN Jingen2

1(Northwest University Department of Physic, Xi’an 710069, China)2(Shanghai Institute of Applied Physics, Chinese Academy of Sciences, Jiading Campus, Shanghai 201800, China)

Background:Nuclear energy has the advantages of efficient, clean and reserves. Our country has launched a new type of nuclear reactor: thorium-based molten salt reactor nuclear system project since 2011. Purpose: We want to make sure the data of the nuclear reaction of n+Gd, including the total cross section, elastic scattering angular distribution, elastic scattering cross section, direct inelastic scattering cross section, absorption cross section, various of reaction channels cross section, double differential cross section of neutrons emitted, etc. The experimental data was compared and the theoretical results of nuclear reaction of n+Gd were given. Methods: First, the optical model is used to describe the nuclear reaction process, the reflection and refraction of light entering into a different media is used to describe the scattering and absorption of phenomenon of nuclear reaction, and a set of optical potential parameters is applied to describe the reaction. The total cross section, elastic scattering cross section, elastic scattering angular distributions and some other data were calculated based on the experimental data and this set of optical potential parameters. Then the direct inelastic scattering cross section was calculated on the basis of distorted wave Born approximation and optical potential parameters. Finally, based on the above calculation results and the theoretical of the unified Hauser-Feshbach and exciton model, the UNF program was used for calculating the variation of cross sections data and kinds of reaction channels. Results: The calculating results agree with the experimental data very well and can reflect the process of nuclear reaction approximately. Conclusions: The calculating results based on this set of optical potential parameters seem credible, and the process of nuclear reaction using the optical model assumption is reasonable. Based on the calculation of n+Gd, the Gd element can be used as a nuclear reactor control rod material, and nuclear reaction rate is controlled by absorbing neutrons, so that the nuclear reaction process goes more stable and more secure.

Optical model potential, Unified Hauser-Feshbach theories, Total cross section, Elastic scattering angular distribution

TL361

10.11889/j.0253-3219.2013.hjs.36.090501

中国科学院战略性先导科技专项钍基熔盐堆资助

张开强，男，1986年出生，2013年于西北大学物理学系获硕士学位，主要从事计算核物理研究与学习

2013-05-15，

2013-07-10