基于小波分析的位移时效变形提取方法及其应用

罗 刊 胡 荣

(1.中国中铁二院工程集团有限责任公司，四川成都 610031； 2.华中科技大学文华学院，湖北武汉 430074)

通常情况下，除了外荷载作用会引起建筑物(或构筑物)位移的变化，建筑材料的变化(如混凝土的收缩、徐变等)以及基础岩层在荷载作用下引起的变形等也会产生一定的影响。这些因素的影响通过位移随时间发生的不可逆变形反映出来，即通常所说的时效变形，其特点是随着时间的推移而逐渐趋于稳定[1]。为了判断建筑物(或构筑物)的运营是否正常，须通过对位移的时效变化进行分析，从中进一步地分析位移的演变规律。以大坝为例，如果是正常运行的大坝，在蓄水初期时效变化急剧，运行多年后就逐渐趋于稳定。当大坝的时效变形突然增大或变化急剧时，表明大坝(或坝基)开始出现病态，此时就需要采取一定的救助措施[2]。

传统确定时效变形的方法主要是通过半理论、半经验的方式定性判断，一般情况下是首先选择好与时间有关的因子形式对实测数据进行统计建模，然后采用回归分析方法求得系数进而确定时效变形[3]。传统的方法在事先拟定时效因子的构造形式时，带有一定的人为影响；另外，当影响因子与时效因子密切相关时，这种相关性会对回归效果产生影响。而且，当位移变化的影响因子不确定时，该方法就有了一定的局限性。因此，需要研究时效变形提取的新方法。

本文以某大坝的裂缝观测数据为例，提出利用小波分析的多分辨率分析的方法提取位移的时效变形[4]，分析位移的时变规律。

1 小波分析的基本理论

小波变换的基本思想[5]是用小波函数系去表示或逼近一个数字信号或函数，这个小波函数系是由一基本小波函数(或母小波)通过平移和伸缩来构成。

(1)

将ψ(t)经伸缩和平移后,就可以得到一个小波序列。对于连续的情况,小波序列为

(a,b∈R,a≠0)

(2)

式中：a为伸缩因子；b为平移因子。

对于任意函数f(t)∈L2(R)的连续小波变换为

(3)

在小波分析中,低频部分对应着最大尺度小波变换的低频系数；随着尺度的增加,时间分辨率的降低,对信号的这种发展趋势会表现得更明显。而小波的多分辨率分析能将信号在不同尺度下进行多分辨率的分解,并将交织在一起的各种不同频率组成的混合信号分解成不同频段的子信号,对信号具有按频带处理的能力[6]。

2 多分辨率分析的基本思想

多分辨率分析的基本思想[5]是：当一组{Vj,j∈Z}满足…V2⊂V1⊂V0⊂V-1⊂V-2⊂…时,存在一个L2(R)上的规范正交基{φj,k;j,k∈Z},其中φj,k(x)=2-j/2φ(2-j/2-k)。

对于∀f∈L2(R),有Pj-1f=Pjf+∑〈f,φj,k〉φj,k(Pj为在Vj上的正交投影,k∈Z)。

对于Vj∈Z,定义Wj为Vj在Vj-1上的正交补,于是有Vj-1=Vj⊕Wj及Wj⊥Wj′(j≠j′)。事实上,假定j>j′,则Wj⊂Vj′⊥Wj′。

(4)

这表明,任何函数f∈L2(R)都可以根据分辨率为2-N时f的低频部分和分辨率2-j(j∈[1,N])下f的高频部分(“细节”部分)完全重构。对位移的信号序列进行小波多层分解,滤除随机成分以及随着水位、温度而变化的高频部分,剩下的低频部分就代表着位移随观测时间序列的发展趋势,即为位移的时效变形[8]。

具体可通过Matlab算法实现：设{Vj}(j∈Z)是L2(R)中的一个多尺度分析,φ为尺度函数,{ψj,n}(n∈Z)为小波基,则有分解式

(5)

有重构式

φj,k(x),φj+1,l(x)〉+

(6)

3 实例应用

以某大坝裂缝观测的位移数据为例,提取其时效变形,从而对其变形进行分析。图1中s为S100XH02测点从2000年10月13日至2009年8月20日的位移(或开度)过程线,每10天观测一次,即时间序列的间隔Δt=10。

图1 dmey小波对位移数据进行小波分解

对该位移数据信号进行小波分解,讨论如下。

(1)选取适当的小波尺度函数φ进行分解。实际分析中,根据不同的数据特性选择不同的小波母函数,分析比较各种小波函数处理效果,经过对位移数据处理效果比较,最终选用的是dmey小波函数对数据序列进行分解。

(2)确定小波分解的适当层数j。首先分析位移数据的时间周期特性,计算出相应的频率；对位移时间序列进行FFT分析,计算其最高频率；将两个频率比较可确定分解的适当层次。该实例分析中数据分解确定j=5。

在分解之后，提取第j(j=5)层的低频系数进行重构,即可得到该位移数据的时效变形。

图1是基于dmey小波函数对S100XH02测点的位移数据进行小波分解和时效变形重构。从图1中可以看出：随着尺度(层数)的增加,相应的时间分辨率越低,信号的时效性越明显；当分解到第5层时,高频率的信息(d1,d2,d3,d4,d5)被滤去,剩下的信号a5即为相应的时效变形。该结果显示：时效变形初期增长比较快,然后趋于稳定。

该裂缝测点的实际情况是：初期裂缝刚形成,变形随机因素影响较大；中期变形逐步趋于稳定,此时主要是受温度和水位的影响；后期变形较小,基本稳定。图1的分析结果表明：第一层(d1)为随机扰动项,主要是随机噪声的影响；在第4、5层(d4,d5)的尺度上,信号主要是以周期性为主,说明由温度和水位引起的周期分量占很大的比例；小波分析提取的时效变形在过程线上表现为起伏变化,反映了时效变形随时间变化的具体趋势。该数据分析的结果表明,基于小波分析提取位移的时效变形与其实际情况相符。

为了进行比较，在分析裂缝变形影响因子之后，同时采用逐步回归分析方法建立统计模型进行计算，得到时效变形[10]，结果如图2所示。

图2 两种方法提取的时效变形比较

比较图1与图2的计算分析结果，可以看出，小波分析在提取位移的时效变形方面的应用是比较合理的。图2中回归分析得到的时效变形在一开始变化太快，不能表现具体时间段的时效变化，只是反映了时效变形的大致变化趋势。

4 结论

提出将小波分析用于位移的时效变形提取，给出了具体的计算思路与算法，并通过实例验证了该方法的有效性。与传统的回归分析方法相比，该方法更能有效地提取时效变形，并能反映出相关的影响因子。

[1] 徐洪钟，吴中如，李雪红，等.基于小波分析的大坝变形观测数据的趋势分量提取[J].武汉大学学报(工学版)，2003，36(6):6-8

[2] 韩世栋.带缝坝安全性分析及预警方法研究[D].南京：河海大学，2007

[3] 胡灵芝.混凝土坝变形安全监控时变模型及其应用研究[D].南京：河海大学，2005

[4] 李雪红，徐洪钟，顾冲时，等.基于小波和相空间重构的裂缝时变规律研究[J].水利学报，2007，38(2):250-254

[5] 文鸿雁.基于小波理论的变形分析模型研究[D].武汉：武汉大学，2004

[6] 聂学军，侯玉成，卢兆辉.小波分析在大坝安全监测数据处理中的应用研究[J].红水河，2004，23(2):106-110

[7] Emel Onal， Ozcan Kalenderli， Serhat Seker. Multi-Resolution Wavelet Analysis for Chopped Impulse Voltage Measurements and Feature Extraction[J]. Transactions on Dielectrics and Electrical Insulation， 2008，15(3):17-19

[8] 张勤，蒋延臣，王秀萍.小波变换在变形监测中的应用研究[J].测绘工程，2005，14(1):8-10

[9] 闫晓红，刘贵忠，刘峰.分形信号的多小波表示[J].自然科学进展，2004，14(3):354-358

[10] 周莉莉，龚静，何金平.混凝土坝时效变形合理因子表达式研究[C]∥工程安全监测技术.北京：水利水电出版社，2007