灵活运用数学思想化解疑难问题

诸建刚

数学思想是对数学知识的本质的认识，它寓于数学知识之中，但比数学知识本身更为重要、更为宝贵.我们的学习不单纯是解题，而应把数学思想的积累、培养与数学知识的掌握融为一体，用我们高品质的数学素养去发现数学和运用数学. 这一章蕴涵着丰富的数学思想方法，下面具体谈谈.

例1 计算：2 0123-2 011×2 012×2 013.

【分析】直接计算显然较繁，注意到原式中的各数的联系，可恰当地利用字母代替数，把数的计算转化为代数式的化简，可使问题解决得更快更巧妙.

解：设2 012=a，则

原式=a3-（a-1）×a×（a+1）

=a3-a（a2-1）=a3-a3+a=2 012.

例2 已知M=2 012×2 013-1，N=2 0122-2 012×2 013+2 0132，试比较M、N的大小.

【分析】可设2 012=a，那么M=a（a+1）-1=a2+a-1，N=a2-a（a+1）+（a+1）2=a2+a+1，因为M-N=（a2+a-1）-（a2+a+1）=-2，所以M

【点评】本题先将数的计算转化为代数式的化简，再将比较两数大小问题转化为判断这两数差的符号问题，解题过程运用了两次转化.

例3 已知代数式x2+5x+1的值等于9，求代数式2x2+10x+7的值.

【分析】从已知条件可得x2+5x+1=9，从而得x2+5x=8，由同学们现在的知识还不能求出具体的x的值，所以应思考其他的解题方法.提部分公因式得2x2+10x=2（x2+5x），所以可将x2+5x作为一个整体代入2（x2+5x）中.

解：由已知，得x2+5x+1=9，所以x2+5x=8，所以2x2+10x+7=2（x2+5x）+7=2×8+7=23.

【点评】通常求代数式2x2+10x+7的值时，会将x的值代入计算求得，但本题以上解法把2x2+10x看作一个整体，直接求出这个整体的值，绕过“用x代入求2x2+10x的值”的细节，显得灵活、巧妙、直接、“大气”，体现了数学上的“整体思想”.

例4 分解因式：（m+n）2-6（m+n）+9.

【分析】本题分解因式时，如把括号展开整理后再分解显然很麻烦，但若把（m+n）看成一个整体，则此多项式即为关于（m+n）的二次三项式，恰好能用完全平方公式分解.

解：原式=[（m+n）-3]2=（m+n-3）2.

【点评】运用整体思想可使解题思路清晰、步骤简捷、解法简便.

【说明】事实上，本章能突出体现“整体思想”之处还有很多，如平方差公式和完全平方公式的认识和运用.乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2、（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2中的字母都可以看作某个整体，这个整体可以是一个单项式、一个多项式，即可以将公式中的字母换元成单项式或多项式，因此围绕整体换元，可对公式进行下列几方面的变式运用：变化符号、变化字母 、变化系数、变化指数、变化项数等.

例5 已知a+b=4，ab=1，求代数式（a2+1）（b2+1）的值.

【分析】同学们还不具备“由已知条件求出a，b的值，再代入（a2+1）（b2+1）计算”的知识，即便将来掌握了，用此法解决本问题也较困难，可考虑将（a2+1）（b2+1）变形，用a+b和ab来表示，然后整体代入求值.

解：（a2+1）（b2+1）

=a2b2+a2+b2+1

=（ab）2+（a+b）2-2ab+1.

把a+b=4，ab=1整体代入，可得原式=12+42-2×1+1=16.

例6 知x3+x2+x+1=0，求x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1的值.

【分析】由x3+x2+x+1=0，因此我们要利用x3+x2+x+1这个整体，在所求代数式x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1中构造若干个这样的整体，将0代入这些整体，从而计算出x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1的值.

解： x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1

=x2009（x3+x2+x+1）+x2005（x3+x2+x+1）+…+x（x3+x2+x+1）+1

=1.

【说明】我们在解决数学问题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.

例7 若多项式（x2+mx+n）（x2-3x+4）展开后不含x3项和x2项，试求m，n的值.

【分析】要使多项式（x2+mx+n）（x2-3x+4）展开后不含x3项和x2项，必须使得展开合并后x3项和x2项的系数为0.

解：（x2+mx+n）（x2-3x+4）=x4+（m-3）x3+（n-3m+4）x2+（4m-3n）x+4n，因为展开后不含x3项和x2项，所以有m-3=0且n-3m+4=0，解得m=3，n=5.

【点评】本题先将等式左边按照多项式乘多项式法则展开，然后利用“对应思想”， 比较等式两边次数相同项的系数，利用这些项系数为0，实现不含这些项，从而构造出方程求解.需要提醒的是，题目出现了3个字母，其中m，n应视作多项式的项的系数的一部分，而将x视作多项式的项的字母.

例8 若x2-px+16是完全平方式，则p=_______；若a2-8a+k是完全平方式，则k=_______.

【分析】由完全平方公式结构特点知，与p相关的乘积项可表示为±8x，与k相关的平方项可表示为16，利用“对应思想”得-px=±8x，k=16，通过方程得p=±8.

例9 如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为a+3b、宽为a+b的大长方形，则需要C类卡片_______张.

【分析】由图可知每类卡片中一张卡片的面积.由于三类卡片的面积表达式不同，因此可计算出长为（a+3b）、宽为（a+b）的大长方形的面积，然后根据结果中的代数式确定所需C类卡片的张数.

解：由图可知，一张A类卡片的面积是a2，一张B类卡片的面积是b2，一张C类卡片的面积是ab，因为（a+3b）（a+b）=a2+4ab+3b2，所以需要C类卡片4张.

【点评】本题用数形结合的思想解决问题，一方面利用整式乘法得出等式右边为a2+4ab+3b2，另一方面结合图形发现a2+4ab+3b2实际上是几个长方形面积的和，利用拼图前后面积相等得出结论.由于条件限制，本题解法只关注了数量关系，忽视了位置关系，即虽然面积数符合题目要求，但能否真的能拼成一个长方形呢？就需要同学们动手拼一拼了.

例10 计算（a-1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=________.

【分析】遇到这样的问题，一下难以入手， 我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值：

（a-1）（a+1）=______；

（a-1）（a2+a+1）=______；

（a-1）（a3+a2+a+1）=______；

……

由此我们可以得到（a-1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=_______.

解：由特殊情况探索我们可以猜想得（a-1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=a100-1.

【点评】解决本问题时，我们从特殊情况出发，从特殊情况发现结论从而猜想出一般结论，这是数学上常用的归纳法，属于由特殊到一般的思想方法.限于初中生所掌握的知识，许多问题还不能最终证明结论的正确性，但这种由许多特殊情况归纳出一般结论的思想方法，是我们进行数学探索和发现的有力工具，能为我们的数学学习带来无穷乐趣.

【说明】以上各例涉及了本章主要的数学思想方法， 同学们在学习中要不断领悟和加深对它们的理解， 用我们睿智的眼光去发现许多问题背后深藏着的数学思想，用我们的自觉行为去应用它们，使我们的数学学习更有意义.