论芝诺悖论的“语言解答”

宋 伟

(湖北大学哲学学院，武汉 430062)

一、问题的缘起

从哲学史上看，芝诺悖论的解答大致有3种类型:一是“语言解答”，如亚里士多德(Aristotle)和穆勒(John S.Mill)的解答;二是“数学解答”，如德摩根(Augutus De Morgan)和罗素(Bertrand Russell)的解答;三是“形而上学解答”，如黑格尔(Georg W.F.Hegel)和柏格森(Henry Bergson)的解答。其中“语言解答”是一种历史悠久且最为朴素的解答，由于这一解答与“数学解答”之间的争论与20世纪60年代西方哲学有关日常语言是否需要改革的争论有关，所以在这一背景下对芝诺悖论的“语言解答”重新加以考察和讨论将有助于对芝诺悖论有更为深入的理解和思考。

亚里士多德在其《物理学》中提出，时间、距离以及任何连续的东西通常被称为“无穷的”实际上包含了两种涵义:一是划分(divisibility)的无穷，二是延展(extrimeties)的无穷［1］233a(23－29);其针对芝诺悖论提出的潜无穷(potential infinite)和实无穷(actual infinite)的区別［1］263a(29－30)，263b(1－10)也正是这两种涵义的区别。从这个意义上说，亚里士多德对芝诺悖论的解答属于指出芝诺的论证中包含了语词歧义的“语言解答”。自亚里士多德之后至今，不少学者在讨论“无穷的”这一概念时坚持“无穷可划分”与“无穷”的区别，即可划分出无穷多个部分的东西与其自身是无穷的不是一回事，并将这种区别视为是对芝诺悖论的解答。由于这类解答均认为芝诺悖论是借语词歧义而进行的一种不相干结论的诡辩、一个证明了与其假装要证明的命题并不相同的命题的论证，所以这类解答均可被视为是对芝诺悖论的“语言解答”。不过，由于“无穷”这一概念与“无穷小”、“无穷大”、“极限”、“级数”这些数学概念有着内在的关联，所以芝诺悖论从一开始就注定与数学有着密不可分的联系，而找出芝诺悖论的“数学解答”也就成了一件自然而然的事。19世纪末，随着康托尔(Georg Cantor)集合论和连续统理论的提出，芝诺悖论被认为找到了完美的“数学解答”，如罗素在其《神秘主义与逻辑》一书中就认为:“每个时代最杰出的才智之士都在徒劳地企图回答伊利亚的芝诺提出的那些明显不可回答的问题，最终格奥尔格·康托尔找到了答案并为理智开创了一个一直混沌不堪、晦暗不明的广阔新领域。”［2］64对于康托尔的解答，罗素进一步评论说:“对于那些熟悉数学的人来说，这种解答如此清晰以至于没有再留下一丝一毫的可疑之处。”［2］81按照罗素的上述看法，康托尔对芝诺悖论的“数学解答”似乎是唯一正确、深刻和彻底的解答，而别的任何解答包括“语言解答”似乎都算不上是什么真正的解答。

自罗素之后，许多学者继续致力于对芝诺悖论的“数学解答”，时至今日，肇始于数学直觉主义者外尔(Hermann Weyl)在讨论芝诺悖论时所提出的一个无穷机器即在有穷时间内可执行无穷多次任务的机器是否存在的问题仍在被许多学者所讨论。相比之下，芝诺悖论的“语言解答”似乎被许多学者认为只是对芝诺悖论自身的一种重新表述和解释，因其未能把握问题的“关键所在”或“要害之处”，所以根本算不上是一种解答。不过，正如萨尔蒙(Wesley C.Salmon)在其主编的《芝诺悖论》一书的导言中所说:“记住芝诺悖论是有关物理变化、物理运动和物理重复(plurality)的论证尤为重要。它们可以说是应用数学的悖论，没有任何纯粹数学的理论能够完全解决它们。尽管要解决这些悖论有必要给出有关连续统、收敛无穷级数的和、函数和导数等数学概念逻辑上一致的说明，但这样做还远远不够，还必须要表明这些数学概念如何能用于描述物理现象以及如何给出所需要的相关定义，而这正是语义问题。”［3］33由此看来，即使是“数学解答”，由于涉及到“描述物理现象”、“给出所需要的相关定义”这些“语义问题”，似乎仍与“语言解答”即指出芝诺悖论中所存在的语词歧义和混淆有着不可完全分割的关系，加上坚持“语言解答”的学者对“数学解答”的不断批评和反驳，所以芝诺悖论的“语言解答”尽管历史悠久且最为朴素却仍然值得被认真考察和讨论。

二、以穆勒、赖尔和古德斯坦为例

自亚里士多德之后至19世纪，恩皮里克(Sextus Empiricus)、奥古斯丁(St.Augustine)、阿奎那(Thomas Aquinas)、司各脱(Duns Scotus)、霍布斯(Thomas Hobbes)、洛克(John Locke)、康德(Emmanuel Kant)、穆勒(John S.Mill)等人都直接或间接地提出了芝诺悖论的“语言解答”，这些解答基本上都沿袭了亚里士多德的解答，即“无穷的”有两种涵义、“无穷”和“无穷可划分”不是一回事，其中就这类“语言解答”的全面程度和详细程度来看，穆勒的解答都可以说是这类解答中的一个典型代表。

在《威廉·哈密尔顿爵士的哲学考察》一书中，穆勒详细讨论了芝诺悖论中的“阿基里斯”和“飞矢”悖论。在他看来，既然“二分法”、“阿基里斯”、“飞矢”、“运动场”这4个芝诺悖论只是同一种论证的4种不同形式，所以讨论其中的两个就够了［4］474。

穆勒首先讨论了“阿基里斯”悖论，该悖论大意是说:让阿基里斯比乌龟跑得快100倍，但要是乌龟有先跑的优势，阿基里斯将永远追不上乌龟;因为假如二者起初隔了1 000米远，当阿基里斯跑完这1 000米时，乌龟会向前跑10米，当阿基里斯又跑完这10米时，乌龟又会向前跑1/10米，就这样永远下去，阿基里斯将永远追不上乌龟。穆勒认为，芝诺的这一悖论假定了穿过“无穷可划分的”空间需要“无穷的”时间，但“无穷可划分的”空间并不意味着“无穷的”空间，仅意味着“有穷”空间的无穷可划分，而穿过有穷的空间只需要有穷的时间;另一方面，这一悖论仅仅表明了穿过“无穷可划分的”空间需要“无穷可划分的”时间而不是“无穷的”时间，因为“无穷可划分的”时间本身可以是“有穷的”，实际上，无论多么短的有穷时间都是“无穷可划分的”;因而，阿基里斯会在极短的时间内追上乌龟［4］474。除了上述在《威廉·哈密尔顿爵士的哲学考察》一书中对“阿基里斯”悖论的讨论之外，在其《逻辑体系》一书中，穆勒对“阿基里斯”悖论也作了简单讨论。穆勒认为，结论中的“永远”(forever)即“阿基里斯将永远追不上乌龟”中的“永远”的意思是指所能设想的任意长时间，而前提中的“永远”即“就这样永远下去”中的“永远”的意思并不是指任意长时间，而是指时间任意多次的再划分，因而芝诺这一悖论所表明的仅仅是穿过“有穷的”空间需要“无穷可划分的”时间而不是“无穷的”时间［5］535。穆勒显然认为“阿基里斯”悖论不过是歪曲了“无穷”和“无穷可划分”这两个语词的意思，纯粹属于语词混淆和不相干结论的谬误。无疑，穆勒这里对“无穷”与“无穷可划分”的区分完全是沿袭了亚里士多德对此二者的区分。

接下来，穆勒讨论了“飞矢”悖论。这一悖论的大意是说:如果一个物体运动，那么它肯定或者在它所在的位置上运动或者在它所不在的位置上运动，但在这两种情况下运动都是不可能的，所以飞矢不可能运动。在穆勒看来，即使这一悖论无法反驳，也并不表明我们的运动观念中有任何矛盾;我们不是想象一个或者在它所在的位置上运动或者在它所不在的位置上运动的物体，而是想象一个从它所在的位置到它所不在的位置的物体，换句话说，我们想象一个先后出现在一个位置和另一个位置上的物体;这样，在这一时刻的一个位置和下一时刻的另一个位置之间就不会有什么观念上的矛盾。至于这一悖论的错误，穆勒认为，没必要说运动应当在一个位置上，因为运动不是对象而是变化，说位置的变化应当或者在旧位置上或者在新位置上是用词上的矛盾。而对于“位置”这个词，穆勒认为其实际上存在两种涵义:一种指可划分的空间部分，另一种指不可划分的最小空间部分;如果是前者，如房间、街道等，那么在这一意义上说每个运动都在一个位置上即在一个有限的空间部分内则是正确的，而且在这一意义上，由于物体确实在它所在的位置上运动，所以“飞矢”悖论就消失了;但要是我们把“位置”理解为不可划分的最小空间部分，运动必须在一个位置上显然就是错误的，因为运动只能是去往这样一个位置或来自这样一个位置［4］474－475。由以上论述可以看出，穆勒对“飞矢”悖论的解答是一种标准的“语言解答”，即指出了其中所存在的语词歧义和混淆以及不相干结论的谬误［4］475。

20世纪日常语言学派的一个代表人物赖尔(Gilbert Ryle)曾以芝诺悖论中的“阿基里斯”悖论为例从日常语言的角度对其进行了一番分析。在赖尔看来，正是因为我们学会了用“部分”、“整体”、“分散”、“集中”、“加加”、“减减”等这些相互交叠的概念来进行抽象的思考，我们才能够算出阿基里斯何时能赶上乌龟并会对阿基里斯永远追不上乌龟这一论证感到困惑［6］48。赖尔显然认为，许多概念的使用一方面在解决问题另一方面也在造成问题，原因就在于这些概念是“相互交叠的”，也即是说这些概念在不同的使用中常常会出现歧义和混淆。为了说明这一点，赖尔首先对“所有”或“全部”(all)这个词进行了分析，认为应当区分作为“总和”(total)的“全部”和作为“任意一个”或“任意一次”(any)的“全部”。在分析了“全部”这个词的两种涵义之后，赖尔指出“阿基里斯永远追不上乌龟”中的“永远不”(never)一词也存在着两种涵义:其中一种涵义指的是，比赛开始后，阿基里斯要经年累月地进行无望的追赶，比赛会永久地进行下去;但这种涵义与我们谈论算术时说1/2、1/4、1/8、1/16……这样一种二分永远不会终止中的“永远不”的涵义完全不同;二者的唯一关联是，如果一台电脑试图将上述二分继续进行下去直到找到一个不可再二分的数，那么它会发现这一目标将永远不可能实现，它需要永久地运行下去［6］50－51。赖尔这里对“永远不”一词的涵义的区分与穆勒对“永远”一词的涵义的区分显然异曲同工，其对“永远不”和“永远划分不完”的区分无疑也是亚里士多德对“无穷”和“无穷可划分”的区分的一个变体。

在指出“阿基里斯永远追不上乌龟”中的“永远不”一词存在着两种涵义的基础上，赖尔对“阿基里斯”悖论作了如下评论:“我们以一种腔调来谈论比赛，又以另一种腔调来谈论算术，而在谈论比赛的算术时，我们不得不混合这两种腔调，这样，我们很容易就会发觉我们正在用一张嘴巴同时谈论两件事情。”［6］52不难看出，赖尔对“阿基里斯”悖论的这一评论基本上也适用于其他3个芝诺悖论。

不仅仅是像穆勒和赖尔这样的非数学家给出了芝诺悖论的“语言解答”，即使是数学家也有倾向于芝诺悖论的“语言解答”的，古德斯坦(Reuben L.Goodstein)就是一个例子。在其《数学哲学散论》一书中，古德斯坦阐述了自己对于“阿基里斯”悖论的理解。在他看来，几个世纪以来，数学家们都误解了这一悖论，认为这一悖论不过表明了芝诺对于无穷级数也可以有有穷总和这一事实的无知;而实际上这一悖论的问题在于:芝诺硬是要将一个本无意义的活动即完成一个无穷序列的活动说成是有意义的［7］21－22。古德斯坦认为，在“阿基里斯”悖论中，“芝诺混淆了为路线上任意一个二分点命名的可能性和为所有二分点命名的可能性。就像如果我在0和1之间划一条线段，那么在0和1之间就有无穷多个我可以命名的分数，在这一意义上，我可以说穿过了其间的无穷多个点。但可以为其间的任意一点命名和可以为所有的点命名却是两回事。无论我怎样命名，总会剩下没被命名的分数，但即使我们不能命名所有的分数，难道我们就没有穿过从0到1之间所有的点吗?”［7］22古德斯坦这里对“为所有二分点命名”和“为任意一个二分点命名”的区分无疑是又一种形式的“无穷”和“无穷可划分”之间的区分，这一区分显然表明古德斯坦认为“阿基里斯”悖论的实质就在于语词的歧义和混淆。

或许在古德斯坦看来，不仅“阿基里斯”悖论是在将“本无意义的活动”“说成是有意义的”，其他芝诺悖论也同样如此，而语言意义的混乱正是造成芝诺悖论的根本原因。

三、批评与反驳

20世纪60年代，在西方哲学有关日常语言是否需要改革的争论中，芝诺悖论常常被争论双方用作论证各自观点的一个例证，由此导致了芝诺悖论的“语言解答”与“数学解答”之间长期的争论。

在《为什么日常语言需要改革》一文中，麦克斯韦(Grover Maxwell)和费戈(Herbert Feigl)论证说，科学和哲学的研究需要一种对日常语言进行合理重构的“非日常语言”。在论证中，二人就芝诺悖论的解答作了如下评论:“我们知道许多在日常语言的框架内解决这些悖论的尝试，但我们不认为这些尝试是成功的，其中有些似乎犯了‘不相干结论的谬误’。正因如此，在我们看来，尽管这些悖论是以日常语言提出的，它们却可以用非日常语言来解决。我们的意见是，即使某些日常语言的解决尝试是成功的，非日常语言的解决也会更彻底、更完全、更优雅和更简单。”［8］492麦克斯韦和费戈这里所说的“非日常语言”基本上指的是数学语言和科学语言，二人显然认为只有科学性的“数学解答”才能称得上是芝诺悖论的真正解答或最终解答。针对麦克斯韦和费戈的这一认识，特内普(Eugene TeHennepe)在《语言改革和哲学专横主义》一文中提出了如下不同的意见:(1)芝诺悖论不仅是以日常语言提出的，而且其唯一真正的解答也是基于对“无穷”这个词的分析上的“语言解答”;(2)这种分析和解答并不是哲学的新近发明，而是有悠久的历史传统;(3)存在别的一些有人愿意将其称作“解答”的对于芝诺悖论的理解和思考;(4)只要不持一种哲学专横主义的态度，也即是说，不将一些哲学方法、学说或结论毫无批判地从一个哲学领域移植到另一个哲学领域甚至完全应用于整个哲学领域，这些思考或“解答”就不会导致冲突［9］43。显然，特内普在坚持“语言解答”是芝诺悖论唯一真正解答的同时，也承认可以从数学的方面对芝诺悖论进行理解和思考，但他反对将这种理解和思考看作是对芝诺悖论的“解答”，更不用说是一种“更彻底、更完全、更优雅和更简单”的解答了。为此，特内普首先对求无穷收敛级数的和这种“数学解答”进行了批评。特内普认为，不论这种方法多么巧妙、计算多么精确，它都不是对芝诺悖论的解答，因为芝诺悖论的关键之处就在于无穷收敛级数不同于其相加后得到的和，不断接近目标并不等于达到了目标［9］44。而对求助于康托尔集合论的这种“数学解答”，特内普则批评说，一旦熟悉了康托尔的无穷概念并习惯于用有关无穷的那些概念来说话，就可能会忘记其中涉及到对一些概念重新作出的巧妙定义。当这种新语言带着无穷集、无穷级数的和、可序数无穷这些在数学语境中通常可恰当谈论的概念被毫无批判地移植到日常语言中时，混乱和矛盾就出现了［9］47。在批评了以上两种“数学解答”并对亚里士多德、洛克和康德有关“无穷”概念的讨论进行了一番分析之后，特内普指出，坚信芝诺悖论的“数学解答”不仅是一种解答而且是一种最优的解答，实际上是对科学和科学语言的崇拜，是一种哲学专横主义的表现［9］48。

尽管有特内普对“哲学专横主义”的指责，但在对待芝诺悖论的问题上，格伦鲍姆(Adolf Grünbaum)似乎是一个下决心要将对“科学和科学语言的崇拜”表现到极致的“哲学专横主义者”。在《现代科学与芝诺悖论》一书中，通过对“将然”(becoming)及其心灵依赖问题的讨论，格伦鲍姆对时间事实上是怎样的即在现代物理学的基础上时间是怎样的和我们所体验到的时间是怎样的进行了区分并试图以此入手来对芝诺悖论作出“科学解答”或“数学解答”。在结束对“二分法”和“阿基里斯”悖论的讨论后，格伦鲍姆对特内普的“语言解答”提出了如下批评:“我希望尤金·特内普近来的一篇文章能引起注意，它表明日常语言哲学能让芝诺对运动学理论的正当挑战遭受什么样蒙昧主义的贬损。”［10］108格伦鲍姆这里显然给“语言解答”贴上了一个“蒙昧主义”的标签，而他写《现代科学与芝诺悖论》一书的目的就是让这种“蒙昧主义”的“语言解答”声名扫地。

对于格伦鲍姆的这种“科学和科学语言崇拜”，许多学者对其进行了批评，约翰·麦基(John R.Mckie)就是其中一位。在《芝诺悖论的可信服性》一文中，麦基对格伦鲍姆颇具现象学色彩的有关芝诺悖论的“数学解答”或“科学解答”进行了批评。麦基认为格伦鲍姆将运动视为是按时间顺序依次发生的事件序列的认识是错误的，实际上我们对物理过程在时间上展开的体验并不是以这种方式来划分的。我们体验不到一个明显的“紧接在出发事件之后的下一个事件”，也体验不到一个明显的“到达目标之前的倒数第二个事件”。人类意识中的“现在”或“当下”(nows)并不是以这种方式被一次次划分出来的，其顺序并不像心脏的跳动或钟表的走动那样表现出一种依次相随的离散性，它们不是可数的或一个紧接着一个彼此分离的［11］635。在批评了格伦鲍姆基于现代物理学的两种时间区分之后，麦基认为芝诺悖论让人困惑不已的根源就在于其中存在着概念和语言问题，格伦鲍姆虽然认识到了这些问题，但他轻视了它们的反直观性，一味地试图从我们对时间的理解和体验的差异入手来“科学地”或“数学地”解答这些悖论［11］637－638。以“阿基里斯”悖论为例，麦基认为该悖论之所以令人困惑是因为蕴涵着这样一个问题，即“结束(end)一个不可结束的(endless)过程如何可能?”而在这一问题中“结束”一词是有歧义的，即其具有两种涵义:一是就穿过不断再划分的无穷空间序列中最后一个空间区间而言，阿基里斯不可能“结束”他的追赶过程，因为根本就不存在“最后一个空间区间”;二是就穿过不断再划分的无穷空间序列中每一个空间区间而言，阿基里斯可以“结束”他的追赶过程，因为每一个空间区间都是有穷的。至于这种歧义产生的原因，麦基认为主要在于我们将日常生活中所谓完成或“结束”一项任务或一个过程这种有穷事例中的判据用到了无穷事例中，在有穷事例中，“结束”一词的上述两种涵义是重合的，而在无穷事例中，这两种涵义是不重合的。在上述分析的基础上，麦基得出结论说，芝诺悖论的令人困惑之处正是像“结束不可结束的”、“完成不可完成的”、“穷尽不可穷尽的”等这样一些矛盾的概念和语言问题所造成的，格伦鲍姆想要从感知问题入手来解决这些悖论，但真正的问题还是概念问题［11］638－639。

由以上争论可以看出，芝诺悖论的“数学解答”虽然显得更具科学性，但其给“语言解答”简单地贴上一个“蒙昧主义”的标签似乎根本不能让坚持“语言解答”的学者所信服。如果如斯特劳森(Peter Strawson)所说，与非科学论述中所使用的概念有关的哲学问题并不能通过制订与科学论述中所使用的更为精确的概念有关的规则来加以解决，否则最后就不是在解决问题而是在改变问题［12］505，那么与“数学解答”相比，芝诺悖论的“语言解答”才算是一种真正的“解答”，而“数学解

答”只能算是特内普所说的对芝诺悖论的一种数学的“理解和思考”，虽然其似乎“更科学”，但并不能真正消解芝诺悖论，因而不能算是一种真正的“解答”。卡尔纳普(Rudolf Carnap)在论述芝诺悖论的解答时虽然认为芝诺悖论的解答需要一种能够恰当表述问题从而可以避免表达和推理矛盾的新语言，但并不认为因此就要排斥或贬低日常语言在芝诺悖论解答中的作用，在他看来，新语言完全可以和日常语言相互补充共同来解答芝诺悖论［13］938－939。这一折衷主义的认识显然不仅适用于芝诺悖论的解答，而且也适用于有关日常语言是否需要改革的争论。

四、结束语

芝诺悖论的“语言解答”和“数学解答”互相指责对方没有抓住问题的关键、犯了不相干结论的错误，但只要不持一种“专横主义”的态度，不坚持自己的“解答”就是“更彻底、更完全、更优雅和更简单”的“解答”，而能综合考虑包括“语言解答”、“数学解答”和“形而上学解答”在内的各种“解答”，那么对于芝诺悖论的理解和思考就一定能够更为全面和深刻。或许正是由于受到芝诺悖论的各种“解答”的影响，许多文学家也在其作品中纷纷提出了自己对于芝诺悖论的见解。如，托尔斯泰(Leo Tolstoy)在《战争与和平》一书中针对“阿基里斯”悖论提出:悖论的荒诞之处就在于本是连续的运动被任意地划分成了不连续的组成部分，而只有在一个有关无穷小的现代数学分支出现之后，这一悖论才能得到解决［14］180。再如，博尔赫斯(Jorge L.Borges)在考察了哲学史上诸多哲学家对“阿基里斯”悖论所作的“解答”之后认为:“无穷”“这个令人忧虑的词(然后是概念)是我们胆大妄为地创造的，一旦把它变为思想，就会爆发和杀死思想。”［15］185在这一认识的基础上，博尔赫斯对罗素用康托尔集合论的方法对“阿基里斯”悖论所作的“解答”赞赏不已。托尔斯泰和博尔赫斯无疑都注意到了“阿基里斯”悖论中的语言问题和数学问题，但就像一些数学家倾向于芝诺悖论的“语言解答”一样，两位文学家则倾向于芝诺悖论的“数学解答”。这也许是一个有趣的现象，但不管怎样，两位文学家并没有给芝诺悖论的“语言解答”贴上一个“蒙昧主义”的标签。

［1］Ross W D.The Works of Aristotle［M］.Oxford:The Clarendon Press，1930.

［2］Russell B.Mysticism and Logic［M］.London:George Allen ＆ Unwin LTD，1949.

［3］Salmon W C.Introduction，in Zeno’s Paradoxes［C］.Indianapolis:Hackett Publishing Company，2001:5 －44.

［4］Mill J S.An Examination of Sir William Hamilton’s Philosophy［M］.London:Longman，Robert＆ Green，1865.

［5］Mill J S.A System of Logic［M］.London:Longmans，Green，And Co.1886.

［6］Ryle G.Dilemmas［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1964.

［7］Goodstein R L.Essays in the Philosophy of Mathematics［M］.Leichester:Leichester University Press，1965.

［8］Maxwell G，Feigl H.Why Ordinary Language Needs Reforming［J］.The Journal of Philosophy，1961(18):488－498.

［9］TeHennepe E.Language Reform and Philosophical Imperialism:Another Round With Zeno［J］.Analysis，1963(23):43－49.

［10］Grünbaum A.Modern Science and Zeno’s Paradoxes［M］.Middletown:Wesleyan University Press，1967.

［11］Mckie J R.The Persuasiveness of Zeno’s Paradoxes［J］.Philosophy and Phenomenological Research.，1987(4):631－639.

［12］Strawson P F.Carnap’s Views on Constructed Systems versus Natural Language in Analytic Philosophy［C］//The Philosophy of Rudolf Carnap.La Salle:Open Court，1963:503－518.

［13］Carnap R P F.Strawson On Linguistic Naturalism［C］//The Philosophy of Rudolf Carnap.La Salle:Open Court，1963:932－939.

［14］Tolstoy L.War and Peace［M］.Hertfordshire:Wordsworth Editions Ltd，1993.

［15］［阿根廷］豪·路·博尔赫斯.阿基里斯和乌龟永恒的赛跑//王永年，徐鹤林，译.博尔赫斯全集:散文卷(上).杭州:浙江文艺出版社，1999:180 －185.

(责任编辑 张佑法)