漂浮基空间机器人关节协调运动的非奇异终端滑模控制

刘宗源，陈 力

(福州大学机械工程及自动化学院，福建福州 350108)

伴随着空间技术的迅速发展，人类对外太空不断的探索，空间机器人得到了越来越广泛的应用，各国研究者对其系统的运动学、动力学和控制问题有了更广泛的关注［1-7］。由于控制对象是在太空这一特殊环境下执行作业任务，完全高度智能化的空间机器人尚未出现之前，需要依靠地面上操控人员对空间机器人进行遥控，此类控制现今已逐步成为空间技术研究的难点与热点［8-10］。一些学者提出了Terminal滑模控制方案，该方案在滑动超平面的设计中引入非线性函数，从而使得滑模面上跟踪误差能够在有限时间内收敛到零。Terminal滑模控制是通过设计一种动态非线性滑模面方程实现的，即在保证滑模控制稳定的基础上，使系统状态在指定的有限时间内达到对期望状态的完全跟踪。然而Terminal滑模控制存在一个奇异的问题，为了解决Terminal滑模控制的奇异问题，提出了非奇异Terminal滑模控制方案，同时保持Terminal滑模控制自身的优点。本文将通过单臂的空间机器人的控制仿真，来验证所提控制方案的简洁性、强鲁棒性和快速收敛等特性。

1 系统动力学方程

不失一般性，以平面两杆漂浮基空间机器人系统为例，如图1所示，漂浮基空间机器人系统为无根多体系统，设空间机器人系统由自由漂浮的载体B0，机械臂B1，B2及末端载荷P组成。建立各分体Bi(i=0，1，2) 的主轴坐标系(Oixiyizi)，其中O0与B0的质心OC0重合，O1，O2分别为联接 B1与 B0，B2与B1的转动铰的中心，xi(i=1，2)为机械臂的对称轴。设O1在O0x0轴上与O0的距离为l0，Bi(i=1，2)沿xi轴的长度为li;B1质心OC1在O1x1轴上与O1的距离为a1，机械臂B2与末端载体P联合体的质心OC2在 轴上与O2的距离为a2;各分体的质量和中心转动惯性分别为mi和Ji(i=0，1，2);末端载荷P的质量和中心转动惯性为mP和JP;M=为系统总质量，C为系统总质心。建立平动的惯性坐标系(OXYZ)，设各分体沿(X，Y)平面作平面运动，zi轴与Z轴保持平行，并设ei(i=0，1，2)为xi轴的基矢量。则由系统的位置几何关系，分体质心OCi相对O的矢径ri(i=0，1，2)为

图1 漂浮基空间机器人系统

式中：L10，L11，L12，L20，L21，L22，LP0，LP1，LP2均 为 系统惯性参数的组合函数。

忽略微弱的重力梯度，空间机械臂系统为无外力作用的自由浮动无根多体系统，系统遵守对(OXYZ)的动量守恒，及相对O点的动量矩守恒关系。不失一般性，设系统的初始动量、动量矩均为0，即˙rc=0，则由式(1)～(3)可见，在以θ0，θ1，θ2为系统广义坐标的情况下，各分体的质心速度˙ri均可表示为一组(组合)惯性参数的线性函数。

由系统动能表达式并利用拉格朗日方程，可得到自由漂浮空间机械臂系统的动力学方程。

式中：M0(q)，N0(q，˙q)为空间机器人动力学方程的估计项;ΔM(q)，ΔN(q，˙q)为空间机器人动力学方程的不确定项。

2 非奇异终端滑模控制

将式(5)带入式(4)，将式(4)改写为如下形式：

针对机器人动力学方程做如下参数假设：

式中：α0，β0，β1，β2，λ0，λ1，λ2，b0，b1，b2是正常数。定义漂浮基单臂空间机器人系统各关节期望轨迹为：qd=［θ0d，θ1d，θ2d］，=［˙θ0d，˙θ1d，˙θ2d］。

引入系统误差，可得

定义e(t)=［εT(t)˙εT(t)］T，非奇异滑模面设计为：

式中 K1=diag［K11K12…K1n］，为一设计矩阵;1＜p/q＜1，p和q为正奇整数。非奇异滑模控制律如下

式中：

此处的b0，b1，b2和式(7)中的假设相同，为已知参数。此时系统的跟踪轨迹误差ε(t)将在有限时间内趋于0。

3 控制方案的稳定性证明

则V对时间求导可得：

定义Lyapunov函数为：

由公式(8)～(13)联立可得：

因此，由Lyapunov稳定性定理可得，非奇异终端滑模控制能保证式(9)中s(t)在有限的时间内趋于0，确保Lyapunov函数是负定的且误差是有界的。

4 仿真算例

以图1所示作平面运动的漂浮基单臂空间机器人系统为例。系统惯性参数选取如下：系统中各分体的质量m0=40kg，m1=2kg，m2=1kg;相关的长度 L0=1．5m，L1=1．0m，L2=1．0m;中心转动惯量矩 J0=34．17kg·m，J1=1．50kg·m，J2=1．50kg·m。仿真时，假设机械臂末端爪手未抓持载荷。假设漂浮基空间机器人本体和两个关节空间的期望运动轨迹为：

仿真时，运动的初值为：

θ0=0．5(rad)

θ1=2．2(rad)

θ2=0．5(rad)

整个追踪过程所用时间t=10s，图2所示为采用上述非奇异滑模控制方案得到的机器人θ1的关节轨迹跟踪图像，图3所示为θ2的关节轨迹跟踪图像。

图2 θ1的关节轨迹跟踪

图3 θ2的关节轨迹跟踪

仿真计算结果表明，该设计的控制系统能保证系统在有初始偏差的情况下，依然能较好地跟踪机械臂关节铰的期望轨迹，且具有收敛快、稳定性强等特性。

5 结束语

本文针对单臂漂浮基空间机器人设计了非奇异终端滑模控制方案。所设计的控制方案解决了传统终端滑模控制中出现的奇异性问题，具有快速收敛、快速响应的能力。数值仿真结果表明，所提出的非奇异滑模控制算法精度和鲁棒性均非常高。

［1］ Papadopoulos E G，Dubwsky S．On the nature of control algorithms for free-floating space manipulators［J］．IEEE Transactions on Robotics and Automation，1991，7(6)：750-758．

［2］ Nakamura Y，Mukherjee R．Exploitng nonhlonomic redundancy of Free-Flying space robots［J］．IEEE Transactions on Robotics and Automation，1993，9(4)：499-506．

［3］ West H，Papadopoulos E，Dubowsky S，et al．A method for estimating the mass properties of a manipulator by measuring the reaction moments at its base［C］//IEEE International Conference on Robotics and Automation，Cambridge，MA：MIT，1989：1510-1516．

［4］ G．Feng，M．Palaniswami．Adaptive control of robot manipulators in task space［J］．IEEE Trans．on Automatic Control，1993，38(1)：100-104．

［5］ 李俊峰，王照林．空间机械臂的充液航天器姿态动力学研究［J］．宇航学报，1999，20(2)：81-86．

［6］ 陈力，刘延柱．漂浮基空间机器人协调运动的自适应控制与鲁棒控制［J］．机械工程学报 ，2001，37(8)：18-22．

［7］ 陈志勇，陈力．具有外部扰动及不确定系统参数的漂浮基空间机器人关节运动的增广鲁棒控制［J］．空间科学学报，2010，30(3)：275-282．

［8］ Yoon W H，Goshozono T，Kawabe H．Model-based space robot teleopreation of ETS- Ⅶ manipulator［J］．IEEE Transacions on Robotics and Automation，2004，20(3)：602-612．

［9］ Lumina R．Using NASREM for real-time sensory interactive robot control［J］．Robotica，1994，12(2)：127-135．

［10］Areara P．Melchiorric C．Control schemes for teleoperation with time delay：a comparative study［J］．Robotics and Autonomous System，2002，38(1)：49-64．