基于摩擦观测器的直接驱动XY平台轮廓控制器设计

王丽梅， 李兵

(沈阳工业大学电气工程学院，辽宁沈阳 110870)

0 引言

直线电机驱动XY二维平台系统的精密轮廓跟踪控制在数控机床中具有代表性，对提高数控系统轮廓加工精度具有重要的作用［1－2］。

为提高XY平台系统的轮廓精度，许多研究侧重于将各个单轴的跟踪误差作为控制目标，期望由降低各单轴跟踪误差来提高系统轮廓精度［3－5］。但是，跟踪误差的减小并不能保证轮廓精度的提高，这是由于当系统执行轮廓跟踪任务时，各单轴跟踪控制器为减小跟踪误差驱使两轴偏离期望轮廓轨迹，使得实际轮廓轨迹半径小于期望轮廓半径，而产生“轨径缩减”现象［6］。实际上，双轴协调性与摩擦非线性是影响XY平台系统轮廓精度的两个重要因素。为提高双轴协调性，Koren提出交叉耦合控制(cross－coupled control，CCC)减小系统的轮廓误差，但是其分析与设计仅限于线性轮廓［7］。文献［8］采用基于任务坐标转换法的交叉耦合控制来减小系统轮廓误差。但是，利用任务坐标系下的法向误差分量近似轮廓误差并没有精确实现对轮廓误差的解耦控制，而且控制器的设计中也没有考虑摩擦等外部扰动对系统的影响。文献［9］针对一般曲线轮廓跟踪任务，提出将二阶滑模控制与等效误差模型相结合的控制方法减小系统的轮廓误差，但并没有着重考虑摩擦非线性对系统的影响。

为了提高直线电机XY平台系统的轮廓精度，在整体分析轮廓误差以及摩擦力数学模型基础上，提出一种基于摩擦补偿的轮廓控制策略。为克服摩擦力对系统的影响，设计基于LuGre摩擦力模型的状态观测器以及摩擦估计器。同时，利用观测状态，结合实时轮廓误差模型，设计基于摩擦补偿的轮廓控制器，通过轮廓控制器连续控制，将系统的轮廓误差减小到规定范围内，使XY平台达到高精度要求，并降低摩擦力对系统的影响。

1 XY平台动态模型

采用LuGre动态模型来描述摩擦所有动、静态特性、摩擦记忆现象和Stribeck效应，基于LuGre摩擦模型的XY平台系统的动态方程可写为

其中:下标1与2分别对于X、Y两轴;x1和x2为位置输出;m1和m2为动子及所带负载的总质量;u1和u2为系统控制输入;fr1和fr2为两轴的总摩擦力，其状态方程可写为

其中:fr=［fr1fr2］T为系统总摩擦力为系统的速度;Σ0、Σ1及 Σ2可写为

式中:σ01、σ02分别为两轴摩擦力的刚度系数;σ11、σ12为阻尼系数;σ21、σ22为粘性系数;刚毛的形变状态量z= [z1z2]T计算式为

式中，γ(v，z)可写为

式(5)中，非线性函数gi(vi)可根据LuGre模型计算为

其中:i=1，2分别表示系统X、Y轴;vsi为边界润滑摩擦临界速度;fci为系统的库仑摩擦力;fsi为系统的最大静摩擦力。

2 轮廓误差模型

在高精度轮廓控制系统中，轮廓模型精度将直接影响轮廓性能，而在自由轨迹轮廓跟踪任务中，由于轨迹具有任意性，模型难于精确建立［10］。本文采用实时轮廓误差法，建立轮廓误差模型如图1所示。

图1 实时轮廓误差Fig．1 Real-time contour error

图1中，R1为指定路径，P1为实际路径，R1(t)为期望位置点，P1(t)为实际运动点，而跟踪误差Ep在实际运动点P1(t)切线方向的投影长度为L，并在期望轨迹上寻找R2(t)点，使得R2(t)点与R1(t)点的距离等于L，将实际运动点P1(t)与R2(t)点的最短距离εc作为轮廓误差的近似模型，即

式中:ex、ey为系统跟踪误差Ep在X、Y轴的分量;φ为通过R2(t)与R1(t)的直线与X轴的夹角;R1x(t)、R1y(t)分别为R1(t)在X、Y轴的分量;R2x(t)、R2y(t)分别为R2(t)在X、Y轴上的分量;R2(t)位置点可计算为

式中:vx、vy为系统X、Y轴的速度;vx1、vy1分别为R1(t)点在X、Y轴的切向速度;vx2、vy2分别为R2(t)点在X、Y轴的切向速度。在自由轨迹轮廓跟踪任务中，系统X、Y轴的进给速度并不总是常值，vx2与vy2的值不能准确求出，因此，假设R2(t)与P1(t)有相同的切向速度，式(10)可重写为

综上，将式(8)～式(11)带入到式(7)中得到自由轨迹的实时轮廓误差数学模型。

在连续轨迹控制系统中，不仅对单轴跟踪精度有严格要求，而且在双轴联动时，还要求各轴有较好的动态配合，而轮廓误差的减小并不能保证系统会完全跟随指令运动，因此，将实时轮廓误差εc与切向跟踪误差εt共同构成新的状态变量εp为

3 基于摩擦观测器的轮廓控制器设计

3.1 状态观测器设计

为了模拟摩擦动态而构造的刚毛形变量z是不可测的，因此，必须设计状态观测器对其进行观测。基于式(1)～式(6)构造状态观测器为

当系统引入状态观测器，必须对观测误差动态系统(15)的有界性进行分析。为了分析观测误差系统(15)是的有界性，定义新的观测误差状态为，系统(15)变为

式中，Ξ=M－1Σ2M－1Σ1，上述系统等效为一个互联系统，其由一个线性子系统和一个非线性子系统构成，如图2所示。

图2 互联系统Fig．2 Interconnect system

图中，线性时变子系统状态空间为

3.2 轮廓控制器设计

图3中，η1表示X轴位移、速度及刚毛形变状态量，η2表示Y轴位移、速度及刚毛形变状态量，分别表示 η1、η2的观测值分别表示 X、Y轴位移、速度及刚毛形变状态量的观测误差。为了推导轮廓控制律¯u，将式(20)、式(21)代入式(1)，得到系统跟踪误差动态方程为

为了方便推导，将式(13)改写为

将式(23)～式(25)代入式(22)中得到轮廓控制律为

式中:KP和KV为常系数矩阵为εv的估计值，其表达式为

图3 XY平台系统控制框图Fig．3 Block diagram for XY table control system

4 仿真结果及分析

为了验证所提出控制策略的可行性及正确性，基于Matlab建立了图3所示的XY平台控制系统模型。表1给出了XY平台控制系统参数。系统的指令路径为长轴长为a=0.06 m，短轴长为b=0.04 m的椭圆形轮廓轨迹，即:X、Y轴的位置输入指令分别为 xd1(t)=0.06sin(πt)m，xd2(t)=0.04cos(πt)m。

当系统摩擦非线性因素以及外部扰动均存在时，当仿真采样时间为0.000 1 s时，得到仿真曲线如下。图4为XY平台的指令输入与实际输出轨迹曲线。可以看出，在基于摩擦补偿的轮廓控制器作用下，实际轨迹与指令轨迹重合。

表1 系统仿真参数Table 1 Parameters of system in the simulations

图4 椭圆指令轨迹与实际轨迹Fig．4 Elliptic desired path and output path

为了满足系统观测条件，分别对X、Y轴进给速度以及刚毛形变量的观测状态进行仿真，得到观测误差曲线如图5、图6所示。可以看出，在控制器的连续作用下，X、Y轴的速度及刚毛形变量的观测误差均趋近于零，这是由于大多数多轴平台材料为钢，其刚度系数很大，则进给速度以及刚毛形变量的观测误差上界充分小，即式(15)所述系统能够满足状态观测的观测条件。

图5 速度观测误差Fig．5 Velocity observed error

图6 系统刚毛形变量观测误差Fig．6 Observation error of the bristle deflection

图7为系统轮廓误差与切向误差曲线。可见实际轮廓误差在 －1～1 μm之间，切线误差 －0.7～0.7 μm之间，与文献［11－12］中不同控制方法下的轮廓误差进行比较，结果表明在基于摩擦补偿的轮廓控制方法作用下，系统的摩擦非线性和外部扰动均存在时，轮廓误差并未出现大幅度变化，即保证系统具有较强鲁棒性的同时轮廓跟踪精度大大提高。

图7 椭圆轨迹轮廓误差与切线误差曲线Fig．7 Contour error and tangential error of elliptic path

5 结语

采用基于摩擦补偿的轮廓控制方法对直线电机XY平台进行控制。所设计的基于LuGre模型的状态观测器以及摩擦估计器补偿了摩擦非线性对系统的影响。利用实时误差法建立可用于自由曲线跟踪的轮廓误差与切向误差模型，并结合观测状态，设计基于摩擦补偿的轮廓控制器，通过轮廓控制器的连续控制，有效地减小了系统的轮廓误差，消除系统不确定因素对系统性能的影响，使直线电机XY平台达到高精度加工要求。仿真结果表明所设计控制系统能够提高XY平台的轮廓加工精度。

［1］郭庆鼎，王成元，周美文，等．直线交流伺服系统的精密控制技术［M］．北京:机械工业出版社，2000:5－9．

［2］王先逵．现代制造技术及其发展趋向［J］．现代制造工程，2008，1(1):1 －8．

WANG Xiankui．Modern manufacturing technology and its development［J］．Modern Manufacturing Engineering，2008，1(1):1－8．

［3］赵希梅，郭庆鼎．为提高轮廓加工精度采用DOB和ZPETC的直线伺服鲁棒跟踪控制［J］．电工技术学报，2006，21(6):111－114．

ZHAO Ximei，GUO Qingding．Linear servo robust tracking control based on DOB and ZPETC to improve the contour machining precision［J］．Transactions of China Electrotechnical Society，2006，21(6):111－114．

［4］YAN Zugen，SUN Lining，HUANG Bo．Research of a novel XY-table based on error compensation［C］//Proceedings of IEEE Conference on Mechatronics and Automation，July 29 － Aug．1，2005，Niagara Falls．Canda．2005:61 －64．

［5］王丽梅，武志涛，孙宜标，等．直接驱动XY平台轮廓误差分析及法向交叉耦合控制［J］．电机与控制学报，2010，14(9):63－68．

WANG Limei，WU Zhitao，SUN Yibiao，et al．Contour error analysis and normal cross-coupled control for direct drive XY table［J］．Electric Machines and Control，2010，14(9):63 －68．

［6］GEORGE T-C Chiu，TOMIZUKA M．Contouring control of machine tool feed drive systems:a task coordinate frame approach［J］．IEEE Transactions on Control System Technology，2001，9(1):130－139．

［7］丛爽，刘宜．多轴协调运动中的交叉耦合控制［J］．机械设计与制造，2006(10):166 －168．

CONG Shuang，LIU Yi．Cross-coupling control in multi-axis coordinated motion ［J］．Machinery Design and Manufacture，2006(10):166－168．

［8］CHIU G T C，TOMIZUKA M．Contouring control of machine tool feed drive systems:a task coordinate frame approach［J］．IEEE Transactions on Control System Technology，2001，9(1):130－139．

［9］王丽梅，金抚颖，孙宜标．基于等效误差的直线电机XY平台二阶滑模控制［J］．中国电机工程学报，2010，30(6):88－92．

WANG Limei，JIN Fuying，SUN Yibiao．Second order sliding mode control for linear motor XY table based on equivalent errors method［J］．Proceedings of the CSEE，2010，36(6):88－92．

［10］CHENG Mingyang，LEE Chengchien．Motion controller design for contour－following tasks based on real－time contour error estimation［J］．IEEE Transactions on Industrial Electronics．2007，54(3):1686－1695．

［11］YEH S S，HSU P L．Estimation of the contouring error vector for the cross-coupled control design［J］．IEEE Transactions on Mechatronics，2002，7(1):44 －51．

［12］CHEN S L，WU K C．Contouring control of smooth paths for multi-axis motion systems based on equivalent errors［J］．IEEE Transactions on Control System Technology，2007，15(6):1151－1158．