基于一维间距调制型光子晶格的光传输现象*

齐新元 曹政 白晋涛

1 引言

衍射和色散是光子晶格中最基本的光学现象[1].在一维均匀波导阵列构成的光子晶格中,窄光束可以发生分立衍射现象,宽光束可以发生正常衍射、无衍射以及反常衍射的光传输现象,这些光传输行为都遵循周期性结构中的衍射机制[1,2].近些年来,关于光波在含有缺陷的波导阵列中的动力学传输理论和实验得到了广泛和深入的研究[3,4].常见的缺陷可以概括为：均匀波导阵列中引入折射率缺陷,波导阵列沿着传输方向被调制,波导阵列的折射率深度按一定规律被调制等.当周期性结构被破坏时,光束的传输行为会发生改变[5-8].另外,人们发现某些含有缺陷的结构可以支持局域模式,光能量在波导间还能发生遂穿的相干破坏现象,实现光束的局域态传输[9,10].此外考虑到探测光非线性作用时,当探测光束足够强时,衍射将被平衡,形成孤子态[11-13].因此通过缺陷和非线性等作用调控光波的衍射行为,可以有效地控制光波的传输行为.

最近人们发现,通过改变相邻波导的间距来调控波导件的耦合效应,相当于在晶格体系中引入一种势垒作用[14].例如,间距减小的不均匀波导阵列可以实现光波的无反射传输[14-16].这种波导全同但间距不均匀的波导阵列所形成的缺陷结构是一种非对角线无序的晶格体系.此类缺陷存在共轭的局域模式,而且支持光波的局域态传输[17-19].

本文将非线性薛定谔方程(NLSE)作为理论基础,波导间距遵从两个正(负)双曲正割函数和正(负)矩形函数,并将两个函数极值形成的势垒中间部分作为势阱,研究窄高斯光束在正双曲正割(和正矩形)势垒处和势阱处入射时的衍射行为和周期性振荡现象.此外,还利用负双曲正割势垒和负矩形势垒支持局域模式的特性,研究在负势垒结构体系中宽光束的能量耦合现象,以及在引入非线性作用后发生的局域现象.

2 模型分析

首先介绍间距调制型光子晶格的理论基础.归一化的非线性薛定谔方程可以表述为[20]

其中u(x,z)为光场的包络函数,z为传播方向,x为横向.xs=10µm和zs=1 mm分别为x和z方向上的归一化系数.真空中光波的波长λ=532 nm,波导阵列的平均折射率为n0=2.35.γ为非线性系数,当γ=0时对应线性情况;当γ=1时,对应自聚焦非线性情况.方程V(x)为折射率包络函数,用来描述一维间距调制型光子晶格的结构.用高斯函数的级数叠加描述V(x),形式如下

ξ=2.5×10-4为折射率调制深度,N=30为波导总数目,n代表从1到N的每一个波导,ω=5µm为高斯函数半高宽(HWFM),d为相邻波导间的距离,其变化规律遵循正、负双曲正割和矩形四种不同的势函数[14].当d=d0=17µm,ω=5µm时,对应间距全同的均匀波导阵列;当d=±A×sech(m-na)/ω2±A×sech(m-nb)/ω2+d0时,分别对应间距为两个正 ‘+’(或负[‘-’)双曲正割函数型波导阵列;当d=±A×exp-(m-na)/ω316±A×exp-(m-nb)16/ω316+d0时,分别对应间距为两个正‘+’(或负‘-’)矩形函数型波导阵列.其中,间距调制振幅A=5µm反映势函数的深度,m为间距序号,na和nb分别是两个函数的中心位置,ω2和ω3分别反映双曲正割函数和矩形函数的宽度,模拟中分别取16µm和13µm.通过改变间距d,临近波导间的耦合系数便可被调制.同时,假设波导是全同的并且每个波导只能支持一种传输模式.

对于线性离散模型,波导间能量的相互耦合满足耦合波方程[21],

其中En为每个波导中的电场分布,Cn,n+1为第n个和第n+1个波导间的耦合系数.将En写为En=En(x)·exp(-iβnz)后代入 (3)式,可以得到递推关系式

考虑到边界条件,当n≤0时,En=0;当n＞N时,En=0.由于波导全同,故而有β1=β2=···=βn=常数.对于由N个波导构成的阵列而言,光场在所有波导中的分布均满足方程(4)式,用矩阵形式描述可写为A·X=0.

其中

3 一维间距调制型光子晶格

研究中,我们采用分步傅里叶变换光束传输法(SSFT-BPM)研究光波在晶格中的传输规律,模拟结果如图1所示.当间距函数d的变化满足正双曲正割函数或正矩形函数时,相当于在均匀波导阵列中引入正双曲正割势垒或正矩形势垒.在具有两个正双曲正割势或正矩形势垒的晶格结构中,当窄高斯光束入射在任意一种势垒的中心区域时,光能量都会发生类似于“分立衍射”的效应.图1(a),(c)分别描述了正双曲正割势垒和正矩形势垒被窄光束单波导激励时,随着传播距离的增加,光能量在两个势垒之间耦合传输,并有相当一部分能量泄露出势垒无法产生局域传输现象.图1(c),(d)分别描述了宽光束以布拉格角斜入射时,先发生反常衍射现象;当光波到达正双曲正割势垒边缘时,大部分能量被反射,还有不小部分能量透射经过势垒[如图1(c)].当光波到达正矩形势垒边缘时,几乎所有的能量都被反射(如图1(d)).

为进一步研究在这种结构体系中的光场分布规律,我们计算了该结构体系的线性模式.研究发现,这两种间距变化的波导阵列都属于非对角元无序晶格,这样的晶格体系存在一对共轭的本征模式,而本征模式恰好分布在势阱位置,这就是说势阱部分可以支持局域模式,即光波可以在势阱处保持局域态的传播.图2(a),(b)分别展示了在这两种调制型晶格中的一对共轭的本征模.当窄高斯光束入射在这两种调制型晶格的势阱中心时,在300 mm的传输过程中大部分能量被局域在势阱范围内,很少有能量泄露出去.随着传播距离的增长,当光束衍射碰触到势垒部分时,能量被对称地反射回来并如此往复向前传输.由于窄光束入射,势阱被分别激发成两对共轭模式[15],共轭模式之间会发生能量转移从而出现如图2(c),(d)所示的振荡局域传输图样.

图1 高斯光束在具有两个正双曲正割势垒(a),(b)和两个正矩形势垒(c),(d)的一维调制型光子晶格中传输;(a),(c)为窄光束正入射到一个势垒中央的情况;(b),(d)宽光束以布拉格角斜入到一个势垒边缘的情况;右侧点状插图为波导间距示意图,Cn,n+1表示第n个波导与第n+1个波导之间的耦合系数,白色线段标注的是晶格中的势垒位置

图2 一维调制型光子晶格中共轭本征模式(a),(b)和窄高斯光在其中的局域传输(c),(d);(a),(c)正双曲正割势阱;(b),(d)正矩形势阱;红色点和黑色点分别表示一对共轭本征模式;白色线段标注的是晶格中的势垒位置

当波导间距函数d的变化遵从负双曲正割函数或负矩形函数时,相当于在均匀波导阵列中引入负双曲正割势垒或负矩形势垒.当负双曲正割势阱的中心波导被激励时,势阱部分不存在共轭的局域模式.在100 mm的传输长度内,光能量能无反射地穿透两侧的势垒并继续沿着分立衍射的方向向前传输而几乎不发生任何畸变(图3(a)).在传输中能量很好地保持了其对称性,这点与分立衍射现象类似,只是发生了能量的平移和形状的放大现象.由负矩形势垒构成的势阱同样不支持局域传输模式,部分能量碰到势垒后会被对称反射回来,同时又有部分能量会穿透势垒,所以能量只能在里面发生振荡衰减,而无法形成稳定的局域状态(图3(b)).

图3 一维调制型晶格中,(a)窄高斯光束入射到两个负双曲正割势垒间的势阱处发生的无反射传输;(b)窄高斯光束入射到两个负矩形势垒间的势阱处发生的振荡衰减现象;白色线段标注的是晶格中的势垒位置;右侧点状插图为波导间距示意图,Cn,n+1表示第n个波导与第n+1个波导之间的耦合系数;白色线段标注的是晶格中的势垒位置;两个势垒中间所夹区域即为势阱位置

图4 宽高斯光束在一维间距调制型光开关中的动态耦合;左右两列图分别对应负双曲正割势垒和负矩形势垒的情况;(a),(d)两对共轭的本征模式;(b),(e)为光强传输俯视图;(c),(f)为两个势垒中光强关于传播长度的变化曲线;白色线段标注的是晶格中的势垒位置,黑色和红色分别对应1势垒和2势垒中的光能量

类似地,我们通过计算发现,对于含有两个负双曲正割势垒和两个负矩形势垒的晶格结构,也存在一对共轭的本征模,只是它们都分布在势垒部分,而且这样的一对共轭模式均可以看作是每个势垒所支持的基态模式的线性叠加[15,16](图4(a),(d)).当两个势垒之间的距离足够近时,基态模式之间也能发生能量转移和耦合(能量遂穿)效应,图4(b),(e)即为分别在具有两个负双曲正割势和负矩形势的结构中,当两个势垒之间的距离仅为一个波导宽度时,一束与势垒宽度相当(4—6个波导周期)的宽光束正入射到一个势垒的传播图样.显然,随着距离的增长,光波能量将局域在两个势垒中并来回耦合.这是因为光波在两个势垒之间耦合传输光波在任意一个势垒中均存在基态模式,随着传输距离的增大,两个基态模式之间来回跳跃实现耦合,并最终使得光波能量在两个势垒之间来回振荡.在300 mm的传播距离中,光强在由负双曲正割势组成的光开关中能耦合两次,对于负矩形情况,在350 mm的传输距离中,在334 mm处能量发生第一次完全耦合,这主要是由于高斯型势垒函数是渐变的,而矩形势垒函数则是突变的.图4(c),(f)为两种结构中光波能量随着传输距离的变化曲线.由于存在散射效应,曲线最大值均不能达到1.从图(b)—(f)还可以发现两个势垒之间的耦合作用强弱不仅取决于势垒函数,还取决于它们间的中心距离,与波导之间的耦合相类似的,势垒之间的间距越大,两种基态模式之间的能量转移也越弱.这两种结果表明间距调制型光子晶格在全光开关方面是很有价值和意义的.

当入射光的非线性效应足够强时,研究发现这种效应会破坏如图4所示的耦合效应,使能量不能在两个势垒中来回发生遂穿(振荡耦合),而是使得光波在传输过程中一直被局域在入射的那个势垒中.图5展示了光波能量在非线性作用下,被局域在一个势垒中的现象,实现了光路中实时“开”和“关”的功能和对于不同的入射光波的定向选择传输的目的,是一种新型的光学开关.

图5 非线性作用后分别在由两个负双曲正割势垒(a)和负矩形势垒(b)所构成的光开光中的能量局域传输效应;白色线段标注的是晶格中的势垒位置;γ=1,当入射光强(归一化后)分别增大到I1=0.1225和I2=0.0625时,在两个势垒中出现局域传输效应

4 结论

综上所述,本文数值研究了高斯光束在四种不同间距调制型光子晶格中的传输规律.通过在这四种晶格中不同位置入射不同的高斯光束,发现在对于波导间距变化满足正双曲正割函数和正矩形函数的调制型晶格,势阱部分可以支持稳定的局域传输现象.对于间距变化满足负双曲正割函数和负矩形函数的情况,势阱部分不存在本征局域模式而不能支持光波的局域态,光束在其中分别将发生无反射遂穿和振荡衰减过程;但是势垒部分却可以实现局域传输.因此具有负双曲正割势垒和负矩形势垒的光子晶格可以被用作全光开关.在线性情况下,光束在两个势垒间来回振荡耦合传输;在非线性情况下,光波将发生局域现象.研究结果在光信号处理和光调制方面有着潜在的应用价值.

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