水准标尺偏斜误差研究

王芳洁，李 平

（1.宜昌市测绘大队，湖北 宜昌443000）

迄今为止，对仪器的i角误差、调焦误差、地球曲率等观测条件引起的误差的研究比较广泛和深入[1]，也有许多学者针对不同的误差类型提出了一些减弱或消除误差的方法和措施[2,3]。理论上，进行水准测量时，水准标尺分划中心零点应严格置于测点上，否则就属于标尺偏心测量。长期以来，大家默认将标尺底面几何中心置于测点上，疏忽了实际测量过程中标尺底面几何中心与分划中心零点不一致这一重要的基本事实。严格地说，实际的测量过程也存在着偏心。水准测量中单纯的研究偏心测量是没有意义的，但水准标尺存在倾斜时如果底面几何中心与分划中心零点不一致，就会增大倾斜误差的影响。因此，笔者认为考虑偏心在水准测量中的影响以及削弱此类影响是必要的。

标尺偏心的现象在矿山、隧道及其他地下工程中十分普遍。例如矿山巷道，通常都以埋设在两边的金属棒作为水准点，为了不妨碍矿车和人员通行，水准点的外露部分一般只有2～3 cm，而钉在木支架上的水准标志外露部分也只有3～5 cm。由于巷道一般都是梯形或拱形断面，水准测量时为了竖直标尺，测量人员只能尽量将其底面向墙外挪，有时甚至只能勉强将标尺底面的一个尖角支在测点上。

水准标尺倾斜也是水准测量误差的重要来源之一，若标尺偏心的同时又发生了倾斜，就会产生偏斜误差，此时水准测量就称为偏斜测量。过去关于水准尺倾斜误差的讨论较多[4-6]，但标尺偏斜误差却很少提及。本文依据实际测量过程中标尺分划中心点与底面几何中心不一致这一重要的基本事实，从实践出发，对标尺分划中心零点偏离测点与尺身倾斜共同引起的误差进行了研究，提出了水准测量中的偏斜误差数学模型，通过实例分析了偏斜误差对水准测量的影响。

1 标尺偏斜误差的数学模型

1.1 标尺倾斜误差数学模型

如图1所示，设P点为测点标志中心，OB为水准标尺分划中心线，O为分划中心零点。当标尺正确竖直时，O与P重合，OB铅直，标尺上的正确读数为OC。若标尺分划中心零点O不动，OB倾斜至OB1，而水准仪水平视线保持原位不变，测得此时标尺上的读数为OC1，它所含的误差∆h1可表示为：

式中，α为标尺倾角；∆h1为标尺倾斜误差[6]。

1.2 标尺偏斜误差数学模型

在标尺倾斜的同时，若标尺分划中心零点O偏离P点至O2，且标尺分划中心线OB向下偏斜至O2B2，而水准仪视准线保持原位不变，则此时标尺上的读数为O2C2（见图2），它所含的误差∆h2可表示为：

若标尺分划中心零点O偏离P点至O3，且分划中心线OB向上偏斜至O3B3，而水准仪水平视线仍保持原位不变，测得此时标尺上的读数为O3C3（见图3），它所含的误差∆h3可表示为：

设标尺读数h，标尺分划中心零点O偏离测点的距离为d，标尺向上翘起的倾角为正，标尺向下倾角为负，标尺偏斜引起的读数误差为∆h，则上述3式可综合表示为：

图1 标尺倾斜误差分析图

图2 标尺向下偏心时偏斜误差分析图

图3 标尺向上偏心时偏斜误差分析图

2 标尺偏斜误差分析

偏斜误差通用公式即式（4）右边第1项(1-cosα)×h与标尺读数及倾角大小有关，第2项d×sinα则与标尺偏心距离及倾角大小有关。因sinα为奇函数，cosα为偶函数，当α为正值时，第1项为正，第2项为负，两者有相互抵消之趋势；但当α为负值时，第1、2项皆为正值，此时2项误差相互叠加，影响最大。

目前常用的水准测量标尺分划面宽约为80 mm，侧面宽约为30 mm，中间厚25～30 mm（见图4）。也就是说，水准测量时要是将标尺底面的几何中心立在测点上，标尺分划中心零点将偏离测点10 mm以上；要是不考虑标尺对中而随意立尺，标尺分划中心零点可能偏离测点0～45 mm。

根据式（4）估算标尺偏斜误差，表1～表3为当α为负值（-0.5°～-3.0°）、偏心距为0～45 mm时标尺偏斜对不同标尺读数产生的误差值统计表。

图4 常用水准标尺尺寸

表1 水准标尺偏斜误差统计分析表

表2 水准标尺偏斜误差统计分析表

表3 水准标尺偏斜误差统计分析表

从表1可知，标尺偏斜误差比标尺单纯倾斜误差（即d=0时的误差）大得多；水准尺倾斜度越大，偏斜误差越大；标尺偏心越大，偏斜误差越大；标尺读数越小，偏心影响越明显。例如，设α=-1.5°，当标尺读数h=3 000 mm、标尺偏心距为45 mm时的误差（2.21 mm）仅约为单纯倾斜误差（1.03 mm）的2倍；而当标尺读数h=1 000 mm、标尺偏心距为45 mm时的误差（1.52 mm）约为单纯倾斜误差（0.34 mm）的5倍。

矿井、隧洞、地下室等地下工程的水准测量中通常使用2 m的水准标尺，水准测量时标尺读数范围主要在0.5～1.5 m之间。因此，标尺偏心误差的影响在地下工程的水准测量中表现得更加明显。

3 工程实例

达万铁路青龙咀隧道位于重庆市万州区境内，长约320 m，五心拱形断面，单向分层施工，隧道出口处紧接菜地沟特大桥。隧道掘通后，为后续施工需要，用S3水准仪和3 m红黑面水准标尺检测了隧道边墙上原设的6个施工高程点。开始使用一般的3 m长的标尺进行测量，但是由于边墙为拱形，3 m标尺在墙面测点上很难完全立正和竖直。检测结果精度偏低，导线单程长约350 m，往返较差达14 mm。

对闭合差偏大的原因进行分析后，改用2 m长的标尺进行了复测。复测过程中，严格要求标尺分划中心零点对中测点并保持铅直。复测结果为往返较差3 mm。这一实践有力说明，第1次检测时往返较差偏大的原因是观测墙上水准点时标尺的偏心和倾斜所造成的。

4 结 语

根据以上统计以及实例分析，对于水准测量中的偏斜误差，得出以下结论：

1）水准测量时，应将标尺分划中心零点（而不是标尺底板几何中心）支在测点上，否则就会造成标尺偏心。

2）标尺倾斜和偏斜（即标尺在偏心的同时又不铅直）都会产生误差，但偏斜误差比单纯的倾斜误差大得多。

3）虽然轻微的标尺倾斜难以避免，但由于标尺对中状态下的倾斜误差永远为正（读数总是偏大），具有一定的系统误差性质，有时可采用适当方法（如根据统计分析加入标尺倾斜改正数或用摇尺法取多次测量的最小读数）减弱其影响；而标尺偏斜误差却有正有负，增添了误差改正的难度。所以，观测时应严格将标尺分划中心零点对准测点。

4）实践中若遇到无法以标尺分划中心零点支在测点上的情况，应保持该测点前视观测和后视观测（或该点在不同周期观测）时标尺偏心距离、倾角及读数大小基本不变，以消除或减弱标尺偏心误差的影响。例如，建筑物沉降观测点一般都埋设在墙上或柱子上。有时由于施工原因导致柱面墙面凹凸不平，或受局部装修影响使标尺在测点上无法对中和铅直。在这种特殊情况下进行的标尺偏心测量，应保持每次观测时标尺偏心距倾角及标尺读数基本一致，以减少标尺偏斜误差的影响。

[1]梁振英，董鸿闻，姖恒炼，等.精密水准测量的理论和实践[M].北京:测绘出版社，2004

[2]潘正风.数字测图原理与方法[M].武汉：武汉大学出版社,2004

[3]蓝志强.公路工程中水准测量的误差控制[J].科技创新导论,2010(1):102-103

[4]于春娟.水准测量误差分析及注意事项[J].内江科技,2009,51:45-46

[5]徐万祥，柴本红.水准测量中标尺倾斜误差分析与改正[J].地矿测绘,2010, 26(2):16-18

[6]张正禄，李广云，潘国荣，等.工程测量学[M].武汉：武汉大学出版社，2005

[7]武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础[M].武汉：武汉大学出版社，2003