一个数论命题及其应用

宋述刚 (长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

文昌敏 (荆州市沙市教育科学院，湖北 荆州 434000)

一个数论命题及其应用

宋述刚 (长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

文昌敏 (荆州市沙市教育科学院，湖北 荆州 434000)

建立了如下数论命题:设p,q∈N+,0N与j(0

互素； 整除 ；有界函数

在华东师范大学数学系编写的《数学分析》有如下一道习题[1]:

例1设：

证明:∀x0∈(0,1)与δ>0，满足(x0-δ,x0+δ)⊂(0,1)，都有函数f(x)在(x0-δ,x0+δ)上无界。此处(p,q)表示p,q的最大公约数，(p,q)=1表示p,q互素。

由此,笔者考虑如下数论命题。

猜想1设p,q∈N+, 0

(mp+j,mq)=1

但遗憾的是，此猜想并不成立，有如下反例。

例2[2-3]取p=3,q=7,m=6!×5=3600，可以计算：

(3×3600+1,7×3600)=7 (3×3600+2,7×3600)=2

(3×3600+3,7×3600)=3 (3×3600+4,7×3600)=4

(3×3600+5,7×3600)=5 (3×3600+6,7×3600)=6

即：

(3×3600+j,7×3600)≠1 (j=1,2,3,4,5,6)

既然此猜想对所有正整数不成立，是否对无穷大的或无穷多个正整数n成立呢？进而，笔者将上述猜想进行改进。

引理1设p,q,e∈N,e|p,e|q,则∀m,n∈N,有e|(mp+nq)。

命题1设p,q∈N+,0N与j(0

(np+j,nq)=1

证明取n=qx，其中x是正整数，使得qx>N，令j=q-1，则必有(qxp+q-1,qxq)=1。

事实上，若：

(qxp+q-1,qx+1)=e

则e|(qxp+q-1),e|qx+1,从而由引理1有：

e|[q(qxp+q-1)-pqx+1]

即：

e|q(q-1)

同理：

e|[qx-1q(q-1)-qx+1]

即：

e|qx

再由e|q(q-1),e|qx可得：

e|[qx-2q(q-1)-qx]

即：

e|qx-1

由归纳法可得e|q0，即e|1，故e=1。得证。

根据前述命题，∃j:0

f(xn)=nq(q>1)

由于n可充分大，故f(x)在(x0-δ,x0+δ)无上界，从而f(x)是(x0-δ,x0+δ)上的无界函数。

[1]华东师大数学系.数学分析[M].第4版. 北京：高等教育出版社，2010.

[2]冯克勤.初等数论及其应用[M]. 北京：北京师范大学出版社， 2003.

[3]潘承洞，潘承彪.初等数论[M].第3版.北京：北京大学出版社，2013.

[编辑] 洪云飞

O174；O156

A

1673-1409(2013)25-0012-02

2013-06-13

宋述刚(1961-)，男，教授，现主要从事函数论及数学史方面的教学与研究工作。