构造法在求解微分方程中的应用

刘华

[摘要]构造法是一种常见的化归策略，在高等数学中有着重要的应用，本文将介绍构造法在不同类型微分方程求解中的应用。

[关键词]构造法 微分方程

构造法是一种常用的数学方法，它指的是根据所要解决问题的具体特点构造出特定的数学形式，达到化简、转化和桥梁的作用，进而能够方便地解决问题。历史上不少数学家都曾经运用该方法，解决了数学难题，比如柯西、欧拉、费马、拉格朗日等。这种方法体现了思维的转换，有利于培养创新意识及创新能力。

构造法在高等数学中有着普遍的应用，比如通过构造函数证明等式、不等式，证明微分中值定理，通过构造级数求极限，通过构造数列、积分等解决相应问题。这种方法在微分方程求解中的应用尤为突出，从一阶线性微分方程到二阶（高阶）常系数齐次线性微分方程，再到二阶（高阶）常系数非齐次线性微分方程，无不体现出构造法的便利之处。下面介绍构造法在求解微分方程中的应用。

一、构造法在不同类型微分方程求解中的应用

1.

通过对比一阶线性齐次微分方程和非齐次微分方程的特点，找出其内在联系，根据一阶线性齐次微分方程的通解y（x）=Ce-∫p（x）dx，构造出一阶线性非齐次微分方程的通解

y（x）=C（x）e-∫p（x）dx，

借鉴待定系数法的思想，容易求出一阶线性非齐次微分方程的通解为

y（x）=e-∫p（x）dx[∫Q（x）e-∫p（x）dxdx+c]。

2.y``+py`+qy=0

通过对五类基本初等函数的逐一分析，考虑到指数函数求导的特点，构造该方程特解的形式为y*（x）=erx，根据构造的这种形式，可以将微分方程的求解问题转化为一元二次方程r2+pr+q=0（特征方程）求根的代数问题，根据方程根的不同形式可以进一步得到该微分方程的通解。在特征方程有二等实根的情况下，进一步利用构造法构造出另一与y1（x）=erx线性无关的特解y2（x）=u（x）erx，可求得这一特解为y2（x）=xerx。上述构造法的运用可以推广到高阶齐次线性微分方程。

3.y``+py`+qy=Pm（x）eλx（其中Pm（x）为m次多项式函数）

根据该微分方程右端自由项的特点，可以构造出特解形式为y*（x）=Qm（x）eλx，将其代入微分

方程整理可得

Q``m（x）+（2λ+P）Q`m（x）+（λ2+pλ+q）Qm（x）=Pm（x）

由此结果不难发现，当λ是特征方程r2+pr+q=0的单根或二重根时，上式不可能成立，构造的特解形式将不再适合该微分方程的求解。究其原因是因为等式两端多项式函数的次数不等，于是调整后特解的形式为

y*（x）=xkQm（x）eλx （k=0，1，2）

当λ不是特征方程r2+pr+q=0的根时，k取0，当λ是特征方程r2+pr+q=0的单根时，k取1，当λ是特征方程r2+pr+q=0的二重根时，k取2。借鉴待定系数法的思想可以求出Qm（x），进而得到该微分方程的特解，利用相对应的齐次微分方程的通解，可以进一步地求得该微分方程的通解。

特别地，当λ是特征方程r2+pr+q=0的二重根时，可直接构造z（x）=x2Qm（x），使得其二阶导数等于Pm（x）即可，这样以来可以更为简单方便地得到其特解y*（x）=z（x）eλx。

当上述微分方程右端自由项f（x）=eλx[P1（x）cosωx+Pn（x）sinωx]时，其特解形式可以类似地构造为

当λ+iω不是特征方程r2+pr+q=0的根时，k取0，当λ+iω是特征方程r2+pr+q=0的单根时，k取1。

二、典型例题分析

例1.求微分方程y``-6y`+9y=（x2+1）e3x的特解。

解法一： 由于e3x中x的系数a=3是对应齐次方程特征方程的二重根.因而该方程特解的形式可构造为

y*（x）=x2（Ax2+Bx+C）e3x

将它代入方程左边求导，化简并和方程右边比较系数可得方程组

于是，可求得其特解为

解法二：构造其特解y=z（x）eax（z（x）=x2（Ax2+Bx+C）且z（x）满足

z``（x）=x2+1.

因此有

z``（x）=12Ax2+6Bx+2C=x2+1.

比较系数得12A=1，6B=0，2C=1，即 ， 所以原方程的特解为

例2.求微分方程y``+y=sin2x的特解

解法一：由于对应齐次方程的特征根为λ=±i，所以可构造该方程的特解为

y*（x）=Acos2x+Bsin2x

将上式代入原方程整理可得

-3Acos2x-3Bsin2x=sin2x

比较等式两端可得

求解方程组可得 ，所以原方程的特解为

解法二：由于第一个方程右边只有正弦函数，左边不含一阶导数项，若y是正弦函数，则y``也必是正弦函数.因此可以构造其特解为

y*（x）=Asin2x

将上式代入原方程可得

-3Asin2x=sin2x

比较上式两端，可得 ，于是原微分方程的特解为

构造法是一种富有探索性、技巧性和创造性的方法，在不断探索、发现、创造的基础上，往往可以构造出更为简洁、有效地形式，从而更便于解决问题。构造法的应用不仅能够巧妙、简便地解决问题，还能够激发创新思维，培养创新意识，提高创新能力。

[参考文献]

[1]数学思想方法通论【M】，解思泽，赵树智，北京，科学出版社

[2]高等数学【M】，同济大学数学系，北京，高等教育出版社

（作者单位：第二炮兵工程大学 陕西西安）