谱Legendre-Galerkin方法求解线性积分微分方程的超几何收敛性分析

李气发，谢资清，，陶 霞

(1.贵州师范大学数学与计算机科学学院，中国 贵阳 550001；2.湖南师范大学数学与计算机科学学院，中国 长沙 410081)

Volterra积分微分方程广泛应用于物理、生物、控制论等自然科学领域.该类方程中的积分项反映了实际过程中的记忆或反馈性质，使得它与传统的微分方程有着本质的区别.如何快速、高效而准确地求解这类问题是科学计算中的重要问题.

早期关于积分微分方程的数值方法主要是差分方法[1].近年来，Hesthven[2],Tang[3-4], Guo[5]和Wang[6]等在用谱方法求解积分微分方程方面做了大量的工作,使得这方面研究逐渐引起了学者们的关注.事实上，谱方法具有“无穷阶”的收敛性，即如果原方程解无限光滑，那么适当的谱方法求得的近似解将以N-1的任意幂次速度收敛于精确解.特别是谱方法适合于求解非常规则而几何区域维数非常大的问题.

最近，Tang[14]等采用节点上的谱配点法求解带光滑核的第二类积分方程.在此基础上，Xie[15]等采用谱和伪谱Jacobi-Galerkin方法求解第二类Volterra积分方程，并进行了严格的收敛性分析.他们最近又进一步证明了M-条件，以及Galerkin谱方法求解上述积分方程的超几何收敛性.

本文采用谱Legendre-Gelerkin方法求解第二类Volterra积分微分方程，在一定的假设条件下，证明了解满足M-条件，并证明了谱Legendre-Galerkin方法在L2和L∞意义下的超几何收敛性质.事实上其结果相比文献[17]中的谱Petrov-Galerkin方法能够达到更高的收敛率.

首先考虑具有如下形式的一般线性Volterra积分微分方程(VIDEs):

(1)

y(0)=y0,

(2)

事实上，方程(2)等价于

(2′)

(3)

(4)

(5)

(6)

1 谱Legendre-Galerkin方法

(7)

首先讨论谱Legendre-Galerkin方法的数值实现.令PN是定义在[-1，1]上的次数不超过N的多项式构成的空间，Lj(x)是j次Legendre多项式，j=0,1,…,N.即有PN=span{L0(x),L1(x),…,LN(x)}.

谱Legendre-Galerkin方法为：对(7)式寻求uN∈PN,vN∈PN,使得

(vN,wN)-(uN,wN)-(SuN,wN)=(g,wN),∀wN∈PN,

(8)

(uN,wN)-(KvN,wN)=(u0,wN),∀wN∈PN,

(9)

(10)

将式(10)分别代入(8)和(9)，并取wN=Li(x),i=0,1,…,N,可得

(11)

(12)

2 一些有用的引理

定义正交投影算子ΠN:L2(I)→PN,使得对任意的u∈L2(I)都有(ΠNu,wN)=(u,wN),∀wN∈PN.

最后，考虑方程(7)，为使解满足M-条件，需要作以下假设：

令D={(x,τ):-1≤x≤1,-1≤τ≤x},I=[-1,1].

(A1)g(x)和k(x,τ)分别在I和D上充分光滑，且k(x,τ)=k(x-τ).

引理2(M-条件)如果条件(A1)和(A2)成立，则存在常数c和M≥max{r0,r1},使得方程(7)的解u和v满足‖u(n)(x)‖L∞(I)≤cMn,‖v(n)(x)‖L∞(I)≤cMn,n=0,1,2,….

证由文献[17]中定理3.1可直接得到.

3 谱Legendre-Galerkin方法的超几何收敛性分析

根据式(8)，(9)和投影算子ΠN的定义，(8)，(9)等价于

vN-uN-ΠNSuN=ΠNg,

(13)

uN-ΠNKvN=u0.

(14)

定理1满足方程(8)和(9)的谱Legendre-Galerkin解存在且唯一.

证设uN,vN为(8)和(9)的谱Legendre-Galerkin解.由于解空间是有限维，且问题(8)和(9)与(13)和(14)等价，为此只要证明(13)和(14)中，当g=0,u0=0时，uN=0,vN=0即可.为此考虑

vN-uN-ΠNSuN=0,

(15)

uN-ΠNKvN=0.

(16)

将(16)代入(15)得

vN-ΠNKvN-ΠNSuN=vN-KvN+(KvN-ΠNKvN)-SuN+(SuN-ΠNSuN)=

vN-KvN+(KvN-ΠNKvN)-S[ΠNKvN]+(SuN-ΠNSuN)=0.

(17)

即有

vN=KvN+S[ΠNKvN]-(KvN-ΠNKvN)-(SuN-ΠNSuN).

(18)

对上式的第2项，根据k(x,τ)的光滑性，并运用Dirichlet公式

(19)

可得

|S[ΠNKvN]|=|S[KvN-(KvN-ΠNKvN)]|≤|S(KvN)|+|S(KvN-ΠNKvN)|≤

(20)

由(18)，(20)可得

(21)

根据([6]p.239,Lemma 3.7)有

(22)

令H1=SuN-ΠNSuN,H2=KvN-ΠNKvN,由(21)，(22)及引理4可得

C(‖H1‖+‖H2‖).

(23)

根据引理3有

CN-1‖uN‖.

(24)

同理可得

‖H2‖≤CN-1‖vN‖.

(25)

由(23)～(25)可得，当N足够大时

‖vN‖≤CN-1‖uN‖.

(26)

由(16)，(22)和(25)可得

‖uN‖≤‖KvN‖+‖KvN-ΠNKvN‖≤C‖vN‖+CN-1‖vN‖≤C‖vN‖.

(27)

从(26)，(27)可以看到，当N充分大时，uN=0,vN=0.从而存在唯一性得证.

证分别将(7)中的第1，第2式与(13)，(14)相减得

v-vN-(u-uN)-(Su-ΠNSuN)=g-ΠNg,

(28)

(u-uN)-(Kv-ΠNKvN)=0.

(29)

Su-ΠNSuN=Su-ΠNSu+ΠNS(u-uN)=Su-ΠNSu+S(u-uN)-{S(u-uN)-ΠNS(u-uN)}=

(-g+v-u)-ΠN(-g+v-u)+S(u-uN)-{S(u-uN)-ΠNS(u-uN)}=

-g+ΠNg+(v-ΠNv)-(u-ΠNu)+Se-(Se-ΠNSe).

(30)

同理可得

(31)

将(30)，(31)分别代入(28)，(29)得

(32)

(33)

(34)

对(34)第2个等号右边第3项，运用公式(19)可得

(35)

由(34)，(35)及k(x,τ)的光滑性可知,

(36)

由(36)，(22)和引理4知，

‖J3‖+‖J4‖).

(37)

由假设(A1)和(A2)，(7)的解满足M-条件.根据引理3，有

(38)

(39)

将(38)，(39)代入(37)得到

(40)

由(33)，(22)可得

(41)

另一方面，由(36)和引理4有

C(‖J1‖L∞‖+‖J2‖L∞+‖J3‖L∞‖+‖J4‖L∞‖).

(42)

再由引理3有

(43)

(44)

将(43)，(44)代入(42)式并整理得

(45)

又由(33)，(43)得

(46)

4 数值算例

考察式(11)，(12)，采用谱Legendre-Galerkin方法求解算例.表1为谱Legendre-Galerkin方法近似解及近似导数解的L2和L∞误差，分别与图1(a)、(b)相对应.从误差数据和图中可以看出，该方法具有超几何收敛性.

表1 谱Legendre-Galerkin方法的误差

图1 (a)谱Legendre-Galerkin法近似解的误差 (b)谱Legendre-Galerkin法近似导数解的误差 Fig.1 (a) The error of approximate solution for the spectral (b) The error of approximate derivative solution for the spectral Legendre-Galerkin method Legendre-Galerkin method

参考文献：

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