基于压缩感知的MIMO-OFDM系统稀疏信道估计算法

陈恩庆，相小强，穆晓敏

(郑州大学 信 息工程学院，河南 郑 州450001)

0 引言

MIMO-OFDM(Multiple-Input Multiple-Output Orthogonal Frequency Division Multiplexing)技术能有效对抗频率选择性衰落和窄带干扰，在不增加带宽的条件下成倍提高通信系统的容量和频谱利用率.然而其系统下的无线信道的传播路径复杂多变并且难以预测，因而研究能够准确有效获取信道状态的信道估计技术十分重要.目前，大量研究测试实验表明:无线多径信道在时域上多呈现稀疏性，即信道冲激响应的绝大多数能量集中在少数几个多径分量上［1］.传统的MIMO-OFDM信道估计方法均没有充分利用信道内在稀疏性这一先验知识，信道估计的准确性和有效性有待提高.压缩感知［2-3］(Compressed Sensing，CS)技术可以从稀疏信号中高效重构原始信号，已在包括图像处理、数据压缩、雷达等多个领域得到应用，也为稀疏信道估计提供了一种新的有效途径［4］.文献［5］利用信道的时域稀疏性，采用压缩感知作为OFDM系统的信道估计方法，获得了不错的效果.文献［6］在多天线的MIMO-OFDM水声通信系统中将Doppler频移的影响考虑在内，在压缩感知理论下通过设计合理的过完备字典来进行信道估计.笔者在MIMO-OFDM系统中运用(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)［7］和 (Subspace Pursuit，SP)［8］两种CS重构算法进行信道估计，同传统的LS信道估计算法相比，所提算法有较好的估计性能和较高的频谱利用率.

1 压缩感知基本理论

压缩感知是针对可压缩信号即稀疏信号抽样和压缩同时进行，并通过较少的测量值就可以重构出原始信号的技术.基本原理如下:对信号x∈Rn，如果x中只有K个(K≪N)非零元素，而其它N-K个元素都为零，则称x是K-稀疏的.通过观测矩阵ΦM×N(M ＜N)可以获得x的观测值:

式中，e为噪声.若M≥K·lg N，且观测矩阵Φ满足有限等距特性(Restricted Isometry Property，RIP)，则可以通过寻找式(1)的最稀疏解来恢复信号x.然而式(1)是一个欠定方程组，未知解的个数不唯一，无法直接从y重建出x，因此如何有效地从测量信号y恢复出原始信号x是实现压缩感知的关键之一.对式(1)解的问题传统上可通过求解最小l2范数解决.

该优化问题所得到的最优解并不是一个稀疏解;另一方面，寻找最稀疏解的最可靠的方法是求解如下l0范数最优化问题:

用式(3)只需要M=K+1个独立同分布的测量值就可以高概率重构出K-稀疏信号，但是它的计算复杂度是NP的，实现非常复杂.目前很多文献重点研究了基于l1范数的最优化问题.

当满足条件，同样可以高概率恢复出原始信号.

目前比较有代表性的重构算法有基追踪(BP)算法［9］和贪婪追踪算法.基追踪算法重构精度较高，但复杂度大，不适合实时场合的应用.贪婪追踪算法的运算量小且更易实现，常见的包括匹配追踪(MP)［10］、OMP、正则正交匹配追踪(ROMP)［11］和SP算法等.信道估计算法需要具有实时性，同时信号重建的维数较小，相比较下贪婪算法更适合被应用在信道估计中.笔者采用OMP和SP两种算法进行MIMO-OFDM系统信道估计.

2 系统和信道模型

假设在MIMO-OFDM系统中有NT根发射天线和NR根接收天线.图1所示为MIMO-OFDM的系统原理框图.

图1 MIMO-OFDM系统原理框图Fig.1 MIMO-OFDMSystem Model

将发送端发送的数据分成Nt个不同的数据块X(i)，分别对这Nt个数据块进行N点IFFT变换，并插入循环前缀(CP)，CP的长度要大于最大的路径时延，如此可以忽略系统的载波间干扰ICI和符号间干扰ISI.同时，一个OFDM符号的周期小于信道的相干时间.在接收端，经过CP和FFT变换后，第j根天线接收到的信号可表示为

提取第j根接收天线的接收信号:

3 基于CS的信道估计

无线信道通常呈现稀疏性，即h(i，j)=［h(i，j)1，…，h(i，j)N］T为稀疏向量，对比式(1)和(9)可以看出，由求h(i，j)的过程可以建模为从有噪测量值中重建稀疏信号的问题.如式(9)所示，令，此时，只要选择合适的重构算法，就可以恢复出h(i，j).目前常用的是OMP算法:从原子选择方式上实现了单个原子的精确选择，保证了每次迭代的最优性，具有较低的运算复杂度.由于要对已选原子进行正交化处理，对一些高速率信号的处理具有较大复杂度，此时OMP算法无法使用.

为了适应高数据率传输的需求，可以应用SP算法进行信道重建.SP算法是在贪婪算法的基础上借用回溯的思想来实现，跟OMP算法相比具有更低的计算复杂度.基于SP的信道估计算法步骤如下:

输入:y(R(i，j)=y)，Φ(C(i)mF= Φ);

初始化:初始余量r0=y，迭代次数n=1，索引值集合

输出:x 的稀疏逼近信号 x^，即h(i，j).

SP算法是在稀疏度K已知情况下进行的，步长设置为K(K≥S)，每一次迭代都保证支撑集中有K个原子，因而候选集中最多不会超过2K个原子，原子每次剔除的数目最多不超过K个.文献［12］证明即便剔除了已经选定的部分原子依然可以保证留下的原子是最优的，从而精确重建信号.

4 仿真分析

为了验证MIMO-OFDM系统中压缩感知信道估计算法的有效性，笔者选择了OMP与SP两种方法，同时还用传统的LS方法作为比较.系统仿真参数如下:Nt=2，Nr=2，即2×2的MIMO-OFDM系统;子载波个数N为256;调制方式为QPSK;传输信道长度L=50，采用其中主要路径数为6，即稀疏度K=6;并且假设信道在一个数据符号内是不变的.

图2给出了3种不同方法的BER曲线.仿真时LS法的导频均匀放置，而OMP和SP的导频随机放置.从仿真结果来看，在相同导频数的时候LS的误码率最高，随着信噪比的增大几乎没有变化.随着信噪比的增大，且当信噪比大于15 dB时，SP比OMP的误码率要低一些.

图3为3种不同方法的MSE曲线图.在导频数相同的时候，随着信噪比增大，OMP和SP的MSE几乎重合，他们所获得的MSE要比LS小25 dB左右.

图4为不同信道估计方法的MSE性能比较.在图4中，OMP与SP的导频数P都是36，而LS的导频数P分别是36，72和128.当LS的导频数是36时得到的信道估计性能很差，但随着导频数增加性能有所改善.当导频数是128时所获得的MSE仅比其他两种方法略小一些.换而言之，如果要获得导频数是128时的LS信道估计性能，用OMP与SP仅需要P=36即可.所以，用压缩感知的方法将会大大减少导频的数量，提高整个系统的吞吐量.

在前面的仿真中，先验的稀疏度与实际相同K=6.而在本次仿真中，假设先验的稀疏度K分别为 1，5，6，7，10，实际的信道稀疏度是 K=6，重构算法是标准的OMP.如图5所示，当先验稀疏度K=1和K=5的时候，信道估计性能很差;但当K是6，7，10的时候，估计性能几乎一样.这说明先验的信道稀疏度需要等于或大于实际的信道稀疏度，才可以获得较好的信道估计性能.因此，在实际工程应用中当没有信道稀疏度先验信息的情况下，可以假定一个较大的信道稀疏度进行信道压缩感知估计，以获得较好的估计效果.

图5 OMP算法在先验信道稀疏度不同时的BER性能比较Fig.5 The BER com parison of OMP for different sparsity

5 结论

笔者围绕MIMO-OFDM系统稀疏信道估计问题，研究了基于压缩感知的信道估计方法，重点研究了压缩感知中的SP重构算法.该算法利用回溯的思想，保证了每次迭代中支撑集中的原子个数不变，通过剔除部分原子，留下最优的原子，从而保证算法的精度.同时与OMP算法相比，不需要进行原子的正交化处理，更适合处理高数据率的信道估计问题.信真表明，基于压缩感知的信道估计方法用少量的导频就能获取同等条件下相同的信道估计性能，从而节省导频数量，提高了频谱利用率.同时，在未知稀疏度的情况下，可以通过估计的方法设定一个较大稀疏度值.

［1］ LIWei-chang，PREISIG JC.Estimation of rapidly time-varying sparse channel［J］.IEEE JOcean Eng，2007，32(4):927-939.

［2］ DONOHO D L.Compressed sensing［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(4):1289-1306.

［3］ CANDES E，TAO T.Near optimal signal recovery from random projection:universal encoding strategies?［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(12):5406-5425.

［4］ BAJWA WAHEED U，HAUPT J，SAYEED A M.Compressed channel sensing:a new approach to estimating sparse multipath channels［J］.Proceeding of the IEEE，2010，98(6):1058-1076.

［5］ 何雪云，宋荣方，周克琴.基于压缩感知的OFDM系统稀疏信道估计新方法研究［J］.南京邮电大学学报:自然科学版，2010，30(2):60-65.

［6］ 于华楠，郭树旭.基于压缩感知的MIMO-OFDM水声通信信道估计算法［J］.系统工程与电子技术，2012，34(6):1452-1456.

［7］ TROPP J，GILBERT A.Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2007，53(12):4655-4666.

［8］ DAIW，MILENKOVIC O.Subspace pursuit for compressive sensing signal reconstruction ［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2009，55(5):2 230-2249.

［9］ CANDESE，TAO T.Decoding by linear programming［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2005，51(12):4203-4215.

［10］ MALLAT S，ZHANG Z.Matching pursuitwith timefrequency dictionaries［J］.IEEE Transaction on Signal Processing，1993，41(12):3397-3415.

［11］ NEEDELL D，VERSHYNIN D.Uinform uncertainty principle and signal recovery via orthogonalmatching pursuit［J］.Foundations of Computational Mathematics，2009，9(3):317-334.

［12］ NEEDELL D，TROPP J.CoSaMP:iterative signal recovery from incomplete and inaccurate samples［J］.Applied and Computational Harmonic Analysis，2009，26(3):301-321.