机器人多模型反演滑模控制策略研究

姜寅令，于显利

(1.东北石油大学电气信息工程学院，黑龙江大庆163318;2.吉林大学地球探测科学与技术学院，长春130026)

0 引言

N关节机器人系统具有很强的非线性，所建立的模型通常具有不确定性，是一类自然不稳定系统［1，2］。传统的鲁棒控制方法，如滑模变结构控制，由于其较高的抗干扰特性、良好的瞬态特性受到了广泛关注［3-5］，被认为是最具影响力的非线性鲁棒控制器之一。然而传统的鲁棒控制和自适应控制都是基于精确模型的控制设计思想，仅能实现对含有较小的或恒定不确定性的系统进行较精确的控制［2］。机器人系统由于工作环境多变，如陆地环境、水下环境、高温和低温环境等，工作环境的改变对系统模型的影响有时是不可忽视的，加大了其控制难度，因此有必要在滑模变结构控制的基础上引入多模型控制，以适应机器人工作环境变化对系统模型产生的影响，达到较好的控制目的。

多模型控制引入了一个监控机制，当被控对象发生大的跳变时，监督机构能快速识别其变化并做出决策，使控制器能有效控制对象［6］。多模型控制通常设定一个指标函数(例如误差信号)，随时测试该指标函数的优劣，如果指标函数呈现向不好的方向倾斜，则控制器将会切换到更加合适的模型，以便使控制指标更优。因此，如果在不同的工作环境下，机器人模型可近似获得，多模型控制是一个获得较高控制品质的途径。笔者针对机器人工作环境多变的特点，设计了一种基于反演和滑模相结合的多模型控制器，并对多模型控制的指标函数进行了改进。

1 机器人数学模型

拉格朗日方程得到描述N关节的机械人系统的动力学方程［7］

图1 二自由度机器人结构图Fig.1 Two-link robotic manipulator

其中M(q)为广义惯性力矩阵，C(q，˙q)为哥氏力和离心力项，G(q)为重力或广义弹性力，f为干扰或不确定项，y为系统输出，q=［q1，…，qn］T为 N 个关节的端点位置向量。

式(1)所描述的N关节机器人系统状态空间表达式可写成

其中取关节的位置及位置的导数为状态变量x1=q，x2=˙q。

由于N关节的机械人系统为自然不稳定系统，控制目标迫使各个关节端点位置跟踪上一个有界的参考输入信号xd=［x1d，…，xnd］T，其约束条件是qd和q的N-1阶导数存在，广义惯性力矩阵M(q)为有界、非奇异矩阵。

2 反演滑模控制器的设计

反演控制方法是将单变量控制方案应用到多变量控制系统。它首先处理一个变量而假定其他变量可以任意分配;然后，其余的状态方程与其他变量也用同样的方法进行处理，这种处理方法能简化复杂系统。N关节机器人系统可将各关节作为一个反演控制的子系统，为每个子系统设计虚拟控制量，使关节位置误差信号为零。反演控制与滑模控制的结合可增加系统的鲁棒性，增强抗干扰能力。反演控制可认为是一种自适应控制，SMC(Sliding Mode Control)是一种鲁棒控制方法，二者的结合可以发挥各自的优势。

定理1 考虑被控对象式(2)，若选取反演控制律

则系统渐进跟踪有界参考信号xd，且系统全局稳定。其中k＞0，c＞0，h＞0，ρ＞0。

证明 设关节的期望位置为xd，则关节的位置误差和速度误差分别为

又定义误差其中α1是x1的估计，反演控制是一种闭环反馈控制［8，9］，α1是作为系统的控制输入，因此设计目的是取合适的α1，使e2为零。

定义中间虚拟控制量为α1=ce1，c＞0。

选择Lyapunov函数

设计传统滑模面

利用Lyapunov法证明误差系统的稳定性。选择Lyapunov函数

这里F为所有不确定项之和。

为满足˙V2＜0，取等效控制项

为补偿一定干扰，滑模控制可增加切换控制项τvss，该项由系统惯性项、滑模面及符号函数等构成。二关节刚性机器人反演滑模控制器设计为

其中τvss=-M-1h(s+ρsgn(s))，h和ρ为正的常数构成的列向量。

所以，定理1得证。

3 多模型控制

多模型控制的机理是时刻检测系统的性能指标，从而选择更为适合当前环境的模型，并产生一个更为合适的控制信号。所以多模型控制可分成检测部分和控制部分。

1)多模型控制的检测部分。检测部分由预先设定好的多个模型和切换机构组成。多个模型的建立，一般是依据被控对象在不同的工作环境中(如温度变化、外界扰动等因素)对系统本身的影响有所不同，从而建立了多个适应不同环境的模型。切换机构的作用是决定哪个模型更适合当前的被控对象，从而切换到那个模型上去。目前已有很多方法确定更为适合的当前模型，即切换标准。应用最多的是系统误差最小法，即系统误差最小的模型就是当前最优模型。

目前已有多种性能指标函数用作切换标准，笔者结合文献［10，11］选择带遗忘因子的 PID(Proportion-Integral-Differential)型性能指标，并在此基础上做一定的改进，增加PID权值

加上遗忘因子是为了不断减小老数据的权值，所以，之前的数据对结果的影响将逐渐减少。

2)控制部分。控制部分采用反演滑模控制器，即式(10)所示的控制器，控制部分整体框图如图2所示。控制器采用n个独立的等效控制器ueq1，…，ueqn，每个控制器拥有不同的等效控制τeq的增益γ1，…，γn，且等效控制器的增益γ1，…，γn都是针对预先设计的模型单独设计。其中输入信号为关节位置信号q及其导数˙q。滑模面选择传统的线性滑模面s=ke1+e2，k＞0。模型1～模型n为预先设计的多关节机器人模型，与模型为并列关系。每个模型的输出为关节位置向量及其导数向量，分别为q1，˙q1，…，qn，˙qn。当性能指标函数Ji(t)检测到某时刻最小的输出误差时，系统选择该误差所对应的模型。

图2 机器人多模型控制结构图Fig.2 Block diagram of multi-model back-stepping sliding mode control

4 仿真实例

采用二关节机械手系统作为仿真对象，动态模型如下［12］

该仿真试验共采用3个模型，具体系统参数如表1所示，控制器参数如表2所示。图3为关节1、2的轨迹跟踪图，从图3可以看出，即使增加较强的随机干扰，关节也能很快跟踪设定的轨迹。图4～图6分别为3个模型的控制输入。

表1 二关节机器人系统参数表Tab.1 The parameters of two-link robot

表2 控制器参数表Tab.2 The parameters of controllers

图3 关节1、2的位置跟踪输入Fig.3 Desired and actual trajectory for joint 1 and 2

图4 模型1的控制输入Fig.4 Input applied to model 1

图5 模型2的控制输入Fig.5 Input applied to model 2

图6 模型3的控制输入Fig.6 Input applied to model 3

5 结 语

笔者针对当今机器人控制热点问题提出了一种机器人多模型反演滑模控制策略，并对传统多模型控制的PID型切换指标进行了改进，形成了带权值和遗忘因子的PID型切换指标。针对传统的反演控制中采用先前估计虚拟控制输入作为当前控制输入的问题，定义滑模面并得出虚拟控制输入，从而消除了机器人运动模态的导数项，简化了控制律，并应用Lyapunov定理证明了所提方案的合理性。最后利用二关节机器人作为控制对象，仿真验证了控制方案的有效性。笔者的研究对多自由度机器人控制的推广应用也有一定的参考价值。

［1］FARZIN PILTAN，SOBHAN SIAMAK，MOHAMMAD AMIN BAIRAMI，et al.Gradient Descent Optimal Chattering Free Sliding Mode Fuzzy Control Design:Lyapunov Approach［J］.International Journal of Advanced Science and Technology，2012(45):73-77.

［2］SOLTANPOUR M R.Sliding Mode Robust Control of Robot Manipulator in the Task Space by Support of Feedback Linearization and BackStepping Control［J］.World Applied Sciences Journal，2009，6(1):70-76.

［3］XIA Yuanqing，FU Mengyin，SHI Peng，et al.Adaptive Backstepping Controller Design for Stochastic Jump Systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2010，54(12):2853-2859.

［4］FARZIN PILTAN，ATEFEH GAVAHIAN，NASRI SULAIMAN，et al.Novel Sliding Mode Controller for Robot Manipulator Using FPGA［J］.Journal of Advanced Science and Engineering Research，2011，1(1):1-22.

［5］王海洋，王江，李红利，等.基于Termiral滑模的Hindmarsh-Rose神经元放电同步控制［J］.吉林大学学报:理学版，2011，49(6):1087-1094.WANG Haiyang，WANG Jiang，LI Hongli，et al.Unidirectional Synchronization for Hindmarsh-Rose Neurons via Terminal Sliding Mode Control［J］.Journal of Jilin University:Science Edition，2011，49(6):1087-1094.

［6］NASSER SADATI，RASOUL GHADAMI.Adaptive Multi-Model Sliding Mode Control of Robotic Manipulators Using Soft Computing［J］.Neurocomputing，2008，71(13/15):2702-2710.

［7］QU Zhihua，DARREN M DAWSON.Robust Tracking Control of Robot Manipulators［M］.New York:IEEE Press，1996.

［8］CHEN Naijian，SONG Fangzhen，LI Guoping，et al.An Adaptive Sliding Mode Backstepping Control for the Mobile Manipulator with Nonholonomic Constraints［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2013，18(10):2885-2899.

［9］王艳全，赵衍辉，杨晓翠，等.神经网络广义Backstepping预测控制［J］.吉林大学学报:理学版，2010，48(5):828-834.WANG Yanquan，ZHAO Yanhui，YANG Xiaocui，et al.Neural Networks Predictive Control via Generalized Backstepping［J］.Journal of Jilin University:Science Edition，2010，48(5):828-834.

［10］ILYAS EKER.Sliding Mode Control with PID Sliding Surface and Experimental Application to an Electromechanical Plant［J］.ISA Transactions，2006，45(1):109-118.

［11］CHEN CHIH-YANG，LI TZUU-HSENG S，YEH YING-CHIEH.EP-Based Kinematic Control and Adaptive Fuzzy Sliding-Mode Dynamic Control for Wheeled Mobile Robots［J］.Information Sciences，2009，179(1/2):180-195.

［12］CRAIG J J.Introduction to Robotics:Mechanics and Control［M］.［S.l.］:Addison-Wesley Publishing Company，1989.