善用错误效应 提高教学的有效性

☉江苏省张家港市凤凰中学 许春红

善用错误效应 提高教学的有效性

☉江苏省张家港市凤凰中学 许春红

一、错误是正确的先导

1.正确面对数学学习中的错误

学习错误是学生在数学学习过程中必然产生的，有教学经验的教师很容易发现：每届学生在学习过程中常常犯一些类似的错误，这说明这些错误是数学认知中的盲点.在国内较大的数学论坛K12中，我们有时可以看到学生提出此类问题：“老师上课的内容我听的懂啊，但是当自己做题目时却往往有各种各样的错误，有些是计算上的，有些是知识理解上的，有些是方法选择上的，最难的是无从下手的！可是一听老师讲，怎么就这么简单.这该怎么办呢？”这一现象，我们称之为数学学习中的“懂而不会”，在初中生学习数学的过程中普遍存在，久而久之，有些学生因此而丧失了学好数学的信心.

2.认真分析错误产生的原因

在数学学习中，通过展示以往或现在的学生和教师在学与教的过程中产生的偏差或错误，通过多边互动，在集体识错、思错和纠错的过程中，促使认知结构进行新的同化和顺应，使学生在情感、能力和学习效果上产生的积极作用，这就是数学教学中的错误效应.

分析学生数学学习过程中错误产生的原因，是帮助教学更有效的一种手段，它不仅能使教师清晰地认识到教学过程中出现的不足并及时进行修补，而且从有效性的角度而言，利用错误产生的效应缩短了解决问题的时间，笔者认为这正是错误效应的最大好处，大大有利于改善我们的教学.另一方面，从这些错误的原因来看，与初中数学章节知识难度的上升、学生学习习惯带来的差异、学习心态稳定与否的区别、家庭教育的全面性与稳定性等都有一定的关系，本文将从数学知识的角度来进行分析.

3.有效利用错误效应资源

笔者认为，学生在进入初中之后，随着初中数学更具形式化、更抽象，学生对知识的理解遇到了困难.众所周知，因为进度较快和对数学形式化的结果不能熟练理解与掌握，久而久之，困难堆积形成了思维障碍，这些障碍造成了学生学习过程中大量错误的积累，在得不到及时的解决后造成了数学科成绩较低，这种现象普遍存在于如今的初中新生之中.因此，应将这些错误的成因进行归类，并利用这些常见的错误引导学生分析、理解，利用错误产生的效应对教学产生一些积极的、指导的作用，减少其学习过程中类似错误的产生，提高数学教与学的有效性，使学生正确看待错误产生的缘由，并帮助其提高数学的思维能力，这对教师而言是具有重要意义的一项工作.

二、错误效应的有效应用

④x=4时的函数值与x=2008时的函数值相同，则对称轴为直线则所以m=1006，原函数为y=x2-2012x-3，则x=2012时的函数值为-3，故本命题正确.

1.基本功错误效应

数学的基本功，也就是传统的双基教学，一直是我国数学教学的优良传统，也是课程改革中坚持并发扬下来的东西.从初一到初三上学期，学生一直致力于学习数学的新知，在此过程中打下坚实的基础显得尤为重要.相比小学数学，初中数学学习的特点发生了巨大的变化：新知的进度完全超乎学生的想象，使得初一新生学习数学非常疲惫；正是因为对形式化数学概念、定理等没有本质上的深刻认知，导致学生觉得数学的题型变化多端，即使能理解教材中的数学基本知识的表象，也难以完全应对千变万化的试题；初中数学中运算水平要求的层次陡然上升，在计算上一般计算水平的学生止步不前等.这些都是双基缺失的具体表象，在这些困难的背后，造成学生不断在数学学习中出现错误.如何解决和利用这些错误，使得学生学习更坚实、更有效，进而提升学生的思维能力呢？来看一个案例.

案例1：（2012年张家港模拟）已知二次函数y=x2-2mx-3，给出下列命题，则正确的是_______.

①该二次函数的图像与x轴一定有两个公共点；

②当自变量x≤1时，y随x的增大而减小，可知此时m=1；

③将图像向左平移3个单位后，若经过原点，可知此时m=-1；

④若x=4时的函数值与x=2008时的函数值相同，则x=2012时的函数值为-3.

识错：（1）学生对问题的错误成因并非教师所能掌控的.对于①，一般学生能正确分析二次函数的图像与x轴的交点，错误原因在于对判别式的错误理解和不会使用判别式判断公共点的个数.对于②，错误原因在于没有利用数形结合思想，不能正确分析二次函数增减变化与其对称轴之间的关系.对于③，学生对问题没有基本的反转思想，是最容易出错的一个选项.对于④，错误的成因在于学生不能理解函数值相同的两个点关于二次函数的对称轴对称，不知道从这一环节突破可大大减少问题的运算量.

思错：本题考查了二次函数的性质、二次函数的图像与几何变换、抛物线与x轴的交点，综合性较强，体现了二次函数的特点.二次函数基本问题是中考的必考问题，对此类问题的教学注重教师引导下的错误效应分析，即以学生错误分析为主的启发式教学，从方向性上给这种问题以探求的指点.此题属于二次函数的基本功题目，基本概念和基本运算体现的较为突出，需要教师引导学生从错误入手分析，指导学生分步解答.

纠错：本题是考查二次函数基本知识的一道试题，可以说是基本功的再现.对于这样的问题，二次函数的基本图形、对称轴的变化、与x轴的交点判断、利用对称思想求解对称轴、解决二次函数的平移等知识是二次函数基本功的重要组成.在这样的问题中还体现了数形结合思想和函数与方程思想.

分析：①根据函数与方程的关系，利用判别式解答.

②利用条件分析二次函数的对称轴，利用数形结合可得函数的增减变化趋势.

③将m=-1代入二次函数y=x2-2mx-3的解析式，求出其与x轴的交点坐标，然后进行判断.

④利用对称思想，可知该二次函数的对称轴，进而可得m的值，将x=2012代入解析式进行检验即可.

解析：①由Δ=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0，得它的图像与x轴有两个公共点，故本命题正确.

③将m=-1代入解析式，得y=x2+2x-3.当y=0时，得x2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得x1=1，x2=-3，将图像向左平移3个单位后不过原点，故本命题错误.

故答案为①④.

2.整合能力错误效应

有别于基本功的错误，这里笔者要谈的正是整合能力方面的错误.整合能力，是学生学习到一定程度，将知识进行系统化后出现的.这方面的错误效应，其错误的体现相对级别更高、难度更大，要求教师精心分析学生的错误产生的缘由，并在整合能力上对教学进行下一步的思考，来提高知识衔接处的教学的有效性.

图1

案例2：（2009年浙江嘉兴）如图1，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1.以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x.

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值.

识错：本题是一道综合性、整合性较强的试题.学生错误的原因在于：其一，对△ABC成为直角三角形的情形分类不够；其二，在正确分类的前提下，对求解过程中x的值是否满足（1）中的结论没有考虑.

思错：本题属于函数问题中的探究整合性问题，主要考查分类讨论思想和学生的运算能力.笔者发现很多学生在分类讨论思想上忽视或欠缺，如做第二问时只考虑一种情况等，因此教学中要提醒学生分类的标准，做到不重不漏.整合性问题是学生做题时错误较多的问题，又是值得教师挖掘和关注的问题，从整合性问题中得到的典型错误，将这类错误的效应集中体现在教学之中，既丰富了教学的真实性，也提高了整合性问题教学的有效性.

纠错：对这样的问题，应将问题分解成基本、简单的小型问题，请学生针对解答中出现的错误分组求解，请学生自行分析他人出现错误的缘由，通过组与组之间的比较来突破整合性较强的问题.

分析：（1）根据三角形的基本性质：两边之和大于第三边以及两边之差小于第三边，找寻关于x的不等式，进而得出x的取值范围.

（2）对Rt△ABC进行分析，用勾股定理对存在性进行分类讨论.

（2）①若AC为斜边，则12=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，此方程无实根.

②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+12，解得，满足1＜x＜2.

③若BC为斜边，则（3-x）2=12+x2，解得，满足1＜x＜2.

三、巧用错误出精彩

利用错误效应来改善教学，大大提高了教学的效率，而且消除了教学中易错问题发生的可能性.笔者认为，在如今的初中数学课堂教学中值得教师去尝试和运用，笔者有以下一些思考.

（1）初中数学教学不仅仅是传递知识，也要关注学生的情感、态度、价值观等.从错误效应入手的教育观念就是改变过去教学中过于抓难题、重训练，而不注重知识反思的倾向，关注学生从错误中去寻找学习能力的培养和学习能力的获得，也让教师体会到从错误中找寻数学教学不同方式的可能性，为创新教学方式开辟新的道路.

（2）结合“错误效应”教学方式，把学习知识的过程变成教学、反思、小结、吸收的过程，需要教师将解题教学的内容更细致化、网格化.教师要多引导学生走进自己错误的地方，走向自身问题所在的节点.新课程改革不只是局限于教师改变传统的课堂教学方法，还应注重从多元化的角度去教学、思考、反思教师自身，让学生学会从错误效应中学习、巩固、提高，使学生真正地善于发现问题、改善思维、规避错误、有自主学习能力.

课堂因差错而精彩.笔者在数学基本功和整合能力两个方面的数学教学中，正是从错误效应的视角出发，以错误为载体，寻找应对这些典型错误的方法，让学生在纠错和改错中感悟道理、领悟方法、发展思维、实现创新.可以说，学生出错对教师而言也是一种机遇和挑战.期待我们在数学教学中能闪耀出更多的教育智慧.

1.展国培.有效教学，从关注学生开始［J］.中小学数学（初中），2013（1）.

2.崔景南.当学生偏离教师航向时［J］.数学通报，2008（9）.

3.金凤明.庖丁解牛与数学解题［J］.上海中学数学，2008（4）.