回音壁模式圆盘形微谐振腔的设计及特性研究*

金 虎，陆理科，王 鹏

(1. 兰州文理学院师范学院，甘肃 兰州 730000;2. 中山大学光电材料与技术国家重点实验室，广东 广州 510275;3. 兰州大学物理科学与技术学院，甘肃 兰州 730000)

基于回音壁模式WGM的微谐振腔有奇特的线性、非线性光学性质，由于大部分光场被封闭在腔内，腔外的光场为近场，是局限于腔表面附近的倏逝波，光场的振幅沿着矢径方向指数下降，因此从腔内透出到腔外的平均能流为零，这就使WGM微腔具有极高的品质因数和极小的模式体积，导致了各种非线性相互作用的谐振增强[1-3]，使其在集成光学、医药、探测等领域均有着重要的研究价值和应用前景。WGM微谐振腔已被广泛应用于光通信系统的密集波分复用器DWDM中，通过把一个或多个微腔放置于传输波导之间，某些特定频率的光可以耦合进入微腔中，从而可以实现上下话路的信道滤波器或光开关的功能[4]；而WGM的谐振频率由腔的性质(几何形状或光学特性)以及环境直接决定，所以任何附着在微腔表面的微粒都会导致WGM谐振频率的移动，这一移动量与微粒的数量和质量成比例，也与吸收分子的光学特性有关[5]，这个特性使WGM微腔可以作为一种新型的光电探测器，由于WGM探测器具有极高的灵敏度，很小的体积，低廉的价格并且不受电磁干扰，很适用于物理或化学微粒和生物病原体的测量，使得它在探测、生命科学和药学的研究方面已经成为一种有效的工具[6]；WGM谐振腔在荧光效应和Raman散射中的影响也被广泛研究[7-9]。WGM谐振腔的制作工艺简单且造价低廉，与传统的谐振腔相比，它的小体积同时也产生了良好的机械稳定性，对腔的参数也更易调控，而这些特点又使其适于集成在光网络系统中。对谐振腔的光谱研究非常重要，因为它能正确反映出谐振腔的内部机制，WGM谐振腔的光谱特性取决于腔形状和腔内折射率的空间分布，不存在一个一般通用的解析解法，但许多轴对称结构的WGM谐振腔的模式结构和光谱都有数值解法和近似的解析解法[10-11]，本文的计算和模拟中，采用的是时域有限差分FDTD方法[12-13]。

1 模 型

在各种几何形状的WGM微谐振腔中，圆形微盘是比较好的一种腔结构。它制作简单，体积小，易于集成。WGM圆盘微腔利用光在不同折射率材料之间的曲面边界上发生内全反射，使得符合谐振条件的特定波长的光得以在微盘内绕着微盘壁循环传播，而不会从微盘内出射到周围低折射率的介质中去。本文的计算中，WGM微谐振腔系统中的传输波导为基于Si材料的矩形波导，波导的宽度w= 0.3 μm，高度h= 0.45 μm，长度为无限长。

一个标准的圆盘形WGM微谐振腔的结构示意图如图1所示，它是由一个圆盘形微腔和两条平行放置的传输波导组成。其中，圆盘微谐振腔和传输波导的材料为Si，折射率n= 3.5。考虑微腔系统的厚度h= 0.45 μm，通过有效折射率法(EIM)计算得到其有效折射率为neff= 3.2[14]。整个系统放置于真空中，真空的折射率为1.0，微盘的半径为r= 2.5 μm，输入、输出波导的宽度均为w= 0.3 μm。

图1 标准的圆盘形WGM微谐振腔结构示意图

2 讨 论

WGM微谐振腔的耦合效率是由传输系数和耦合系数共同作用决定的[15]。较大的耦合系数有利于微腔获得较高的耦合效率，讨论微腔的几何参数对耦合系数的影响以及Q值的变化情况，目的是要找到一个优化的结构。需要指出的是，耦合系数应该是关于微腔结构对称的，也就是说，单一次输入波导AB和微腔之间的耦合输入系数应该与微腔和输出波导CD之间的耦合输出系数相等，因此在计算中仅考察输入波导与微腔的耦合情况。

作为一个重要的设计参数，传输波导和微腔之间的间距g可以改变耦合区域的大小，进而改变耦合进入谐振腔的能量百分比，即耦合系数，图2给出了FDTD计算得到的输入波导与WGM微腔之间的耦合系数。图中考虑的是横电模的耦合系数，其频率范围从175～249 THz的光波的耦合情况。

当间距g的大小在0～0.30 μm之间变化时，从图2(a)可以看到两个明显的变化趋势，即：耦合系数会随着间距g和频率f的变化而变化。首先，对于一个给定的频率f，耦合进入微腔的光能量随着间距g的增大而减少，耦合系数亦呈递减趋势。为了能够更清楚的看到这一点，特抽取图2(a)中的一个频率为f= 201 THz的光波进行考察，其耦合系数随着间距g的变化情况如图2(b)所示。随着g的增加，耦合系数迅速减小，在g= 0时，即输入波导紧贴微腔壁的情况，耦合系数达59.05%，有一半以上的能量进入微腔中，当间距增大到g= 0.20 μm时，耦合系数减小至3.81%。可以看出当g在0到0.20 μm范围内变化时，耦合系数对间距的变化非常敏感。当g> 0.20 μm时，耦合系数随着间距g的减小程度趋于缓和。其次对于一个给定的间距宽度g，耦合进入谐振腔的能量随着频率f的增大而减少，耦合系数随着频率f变化是因为频率f越高，相对应的波长λ越小，其有效间距就越大。另外由耦合系数曲线随着间距g的递减而递增的规律也可以看到，即使在g→ 0 的极限情况下，耦合区域仍然“足够小”，不会出现耦合进入微腔的能量反耦合进入输入波导的情况。由于耦合系数是关于腔结构对称的，因此从理论上说，制作小间距的微谐振腔系统以获得某一范围内的高耦合系数的方法是可行的，但由于实际刻蚀技术的限制，不可能实现无限小的间距。以上FDTD的模拟结果表明，耦合系数对输入、输出波导和微腔之间的间距非常敏感。

图2 (a)微腔和输入波导之间的间距g和频率f的变化对耦合系数的影响；(b)当f = 201 THz时，耦合系数随间距g的变化

除了改变间距g之外，耦合系数还可以通过改变输入、输出波导和微腔的几何形状来进行调节。下面保持输出波导不变，改变输入波导的几何形状来观察耦合系数及Q值等基本参数的变化情况。

如图3所示，最左边为标准的圆盘形WGM微谐振腔结构，圆盘的半径r，传输波导的宽度w以及材料的有效折射率neff等参数与前面相同：r= 2.5 μm，w= 0.3 μm，neff= 3.2。从标准的微腔结构出发，弯曲输入波导，衍生出图3右侧的3种新的变体结构，这3种结构分别表示为：结构1、结构2和结构3。这么做主要是为了增加输入波导和谐振腔之间的耦合区域，从而达到提高耦合效率的目的。在这些结构的计算中，间距g固定为g= 0.23 μm。

图3 标准的圆盘形WGM微腔结构和3种变体结构

标准的圆盘结构、结构1、结构2和结构3这4种几何结构的WGM微腔的耦合系数随频率f的变化如图4所示。由图中可以看出，3种变体结构的WGM微腔的耦合系数均比标准圆形微腔的耦合系数有明显提高，且这3种变体结构的耦合系数相互间的差别不大。整体来说，这4种微腔结构的耦合系数的大小顺序为结构2、结构1、结构3、标准结构。标准圆盘形结构微腔的耦合区域最小，因此耦合系数也最小，结构1和结构2都存在严重的模式不匹配，这种不匹配是由于微腔结构的不对称引起的，同时输入波导的弯曲也造成波导弯曲损耗增加，但是波导的弯曲大大增加了耦合区域，这三方面共同作用的结果使这两种结构中单次耦合进入微腔的能量是最大的，结构3虽然模式匹配，但由于输入波导呈90°弯曲，弯曲损耗比结构1和结构2大的多，考虑这两方面的因素，结构3的耦合系数比前两者都略低一些，但仍高于标准的圆形结构。结构1、2和3的共同优点是：弯曲的输入波导大大增加了耦合区域的长度。

图4 标准的圆盘形结构、结构1、结构2和结构3的WGM微腔的耦合系数，其中，g = 0.23 μm

3 频谱分析

下面再结合这4种微腔的频谱更详细的分析它们的耦合输入和输出问题。

3.1 标准圆盘形WGM微腔结构及其频谱

标准圆盘形WGM微谐振腔的频谱如图5所示。需要说明的是，WGM可以用半径模阶数l，半角模阶数m来描述[16]。图5中所标示的l= 1为一阶模，也就是基模，l= 2为二阶模。微腔在这些尖锐的峰值位置产生谐振，光在微腔内循环传播，不断地进行相干叠加，耦合增强，当光波每次经过微腔与输出波导的耦合区域时，就有一部分光耦合进入输出波导，再从输出端口C(见图1)输出，图6是其模场分布图。

图5 标准圆盘形WGM微腔的频谱

图6 标准的圆盘形WGM微腔的模场分布图

由图6(a)可见，当f1= 195.92 THz (λ1=1.53 μm)时为一阶模，在微腔中WGM沿着腔的内壁形成54个能量极值的椭形花纹，m= 27。同时也观察到，耦合进入微腔的能量很多，微腔内干涉增强的光波沿着腔壁形成了稳定规则的驻波图案，并且明显观察到有光从端口C输出，在图中用红色的圈示出，但是大部分的光仍然留在腔中，这是因为标准的圆形WGM微腔结构的单次耦合系数很小，每次耦合进入输出波导的能量也很少，同时由于其相位和模式匹配且传输波导不存在弯曲损耗，它的Q值比变体结构1、2、3都要高：在f1= 195.92 THz处，Q= 2 552.0。而在图6(b)中，f2=191.69 THz(λ2=1.57 μm)时为二阶模，WGM在腔内形成两个圆环的分布，峰值向圆心处移动，并且观察到有能量从输出端口C输出，但较一阶模式弱。在图6(c)中，非谐振频率f3= 194.45 THz(λ3=1.54 μm)处，几乎没有光耦合进入谐振腔，绝大部分光从端口B输出，因此这样的一个WGM微腔可以实现滤波或选频的功能。

3.2 结构1的WGM微谐振腔及其频谱

结构1的WGM微谐振腔的结构示意图如图7(a)。它是将标准的圆盘形微腔中的输入直波导在耦合区域前进行了45°的弯曲，弯曲半径与圆盘的半径相等，为2.5 μm，即有1/4的微盘圆周被波导“包裹”。这样的结构使得波导与微腔之间的耦合区域大大增加，另一方面，输入波导的弯曲损耗也随之增大，在尚未进入耦合范围时有一部分光能就会被“提前”耗散掉。经计算得到其频谱如图7(b)所示。

图7 (a)结构1的WGM微腔结构示意图；(b)结构1的频谱

图8 结构1的WGM微腔的模场分布图

图8为结构1的模场分布图。结构1中的WGM模场分布规律与标准的圆盘形WGM微腔相似，由模场分布图可以看出，虽然增加耦合长度有利于增大单次耦合进入谐振腔的能量百分比，但是由于输入波导的弯曲而产生了模式不匹配，使得微腔的Q值降低，与标准的圆盘形WGM微腔相比，无论是一阶模(f1= 195.94 THz，λ1= 1.53 μm)还是二阶模(f2= 191.69 THz，λ2= 1.57 μm)，在结构1中微腔内的能量有所减少，进而从输出端口C输出的能量更少。另外在模拟中也发现，结构1达到稳定耦合所需的时间比标准的圆盘形WGM微腔更长。

3.3 结构2的WGM微谐振腔及其频谱

结构2的WGM微谐振腔的结构示意图如图9(a)所示。它与结构1在几何结构上相似，只是弯曲的位置不同：结构1的波导在耦合区域前面弯曲，而结构2在耦合区域之后发生弯曲，其频谱如图9(b)所示。

图9 (a)结构2的WGM微腔结构示意图；(b)结构2的频谱

图10为结构2的模场分布图。结构2的模场分布规律也与标准圆盘形结构和结构1相似，结合图4的耦合系数的计算可以看出，因为结构2和1的耦合区域大小相等，结构2中单次耦合进入微腔内的能量与结构1仅有微小差别。并且结构1和2都存在由于输入波导的弯曲而引起的模式不匹配，这种不匹配使得微腔的Q值有所降低：在结构1中，在f1= 195.94 THz(λ1=1.53 μm)处，Q= 2 126.5；结构2在f1= 195.94 THz(λ1=1.53 μm)处，Q= 2 187.2。但是在结构2中，微腔内谐振的光能量增多，进而耦合从端口C输出的光能也增加，尤其是基模的情况。这主要是因为输入波导的弯曲发生在耦合区域的后半段，在进入耦合区域之前输入波导仍保持直线的形状，虽然这种结构仍然不会改变模式不匹配的状况，但与结构1相比，结构2能有效阻止弯曲损耗导致的耦合进入谐振腔内的光能“过早的”衰减，因此结构2是比结构1更优化的一种变体结构。

图10 结构2的WGM微腔的模场分布图

3.4 结构3的WGM微谐振腔及其频谱

结构3的WGM微谐振腔的结构示意图如图11(a)。这是一种把结构1和结构2的弯曲结构推向极端的一种结构。在耦合区域的前后，输入波导都发生了45°的弯曲，圆盘形微腔的一半圆周都被输入波导“包裹”，其频谱如图11(b)所示。

图12为结构3的模场分布图。结构3的模场分布规律与标准圆盘结构、结构1和结构2相似。由于输入波导呈90°弯曲，弯曲损耗很大，导致这种结构的单次耦合系数较结构1和2小，但是这种结构的几何形状呈对称分布，使得耦合进入微腔的光波模式匹配，综合考虑到这两个因素的影响，其Q值较前两种结构的要大些：在f1= 195.94 THz(λ1= 1.53 μm)处，Q= 2 285.2。并且在模拟过程中也观察到，结构3用了最长的时间才使耦合的模场达到稳定分布，这主要是由于输入波导的大幅度弯曲造成的。

图11 (a)结构3WGM微谐振腔结构示意图；(b)结构3的频谱

图12 结构3的WGM微腔的模场分布图

4 结 论

如前所述，综合考虑模式的匹配程度和输入波导的弯曲损耗，这4种结构的WGM微谐振腔的Q值大小顺序为：标准圆盘形结构WGM微腔最大，结构3其次，然后才是结构2和结构1。例如选取l= 1时计算这4种微腔的Q值，可以得到标准圆盘形结构为2 552.0，结构3为2 285.2，结构2为2 187.2，结构1为2 126.5。Q值按照标准圆盘结构、结构3、结构2、结构1的顺序缓慢降低的原因是：标准圆形微腔结构的模式和相位均匹配且输入波导的弯曲损耗为0，因此Q值最大，结构1和结构2由于输入波导的单边弯曲引起了微腔结构的不对称，都存在着严重的模式不匹配，同时弯曲也造成输入波导的弯曲损耗增加，因此这两种结构的Q值在4种结构中最小。结构3图形对称，不存在模式不匹配的问题，但由于输入波导呈90°弯曲，弯曲损耗比结构1和结构2大的多，使得结构3的Q值比标准的圆盘形结构略低一些，又比结构1和结构2高。因此在具体应用中，以高品质因素为主要目标时，优先选择顺序依次为：标准圆盘形结构、结构3、结构2、结构1。

另结合前面的计算分析可以看出，这4种结构的Q值和耦合系数的变化规律相反：对于Q值最高的标准圆盘形结构，它的耦合系数最小；而对于耦合系数最大的结构2，其Q值又有较大幅度的降低，因此在具体的应用中，为了达到一个较高的耦合效率，必须在较高的Q值和较大的耦合系数中进行一个折中的取舍。本文模拟计算的这4种结构中，结构3的耦合系数较标准的圆盘形结构大，同时也可以保持有2 200左右的高Q值，因此，结构3为这4种结构中的优化结构。

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