面向控制的弹性高超声速飞行器建模方法研究

崔建峰, 张科, 吕梅柏

(1.西北工业大学 航天学院, 陕西 西安 710072; 2.航天飞行动力学国家级重点实验室, 陕西 西安 710072)

高超声速飞行器与传统飞行器相比，在结构上普遍采用轻质柔性材料,其气动外形一般为细长体、升力体布局、完全或部分乘波体布局。特殊的结构选择和气动布局使得飞行器结构的固有振动频率降低,刚体模态与弹性模态的耦合问题更为突出[1],这需要在高超声速飞行器建模时考虑飞行器模型为弹性体。

目前,在弹性高超声速飞行器控制系统研究中,得到广泛应用的是由Bolender、Doman等人提出的二维高超声速飞行器弹性体动力学模型[2-3]。国内一些学者也借鉴此种解析建模方法构建了相应的吸气式高超声速飞行器二维动力学模型[4-5]。上述模型在建模过程中对非定常气动力的计算一般以机身前、后部弹性变形顶端偏转角Δτi引起的气动力变化来估算非定常气动力,使用等截面梁估算飞行器的弹性模态。这种估算方法对于一阶振型对应的非定常气动力有较好的近似,但对于更高阶振型对应的非定常气动力计算将产生较大的误差。另外,经后续研究发现,变截面惯性矩对飞行器的振型模态影响较大[6],这对飞行器的非定常气动力计算会产生较大的影响。

上述模型所提供的气动数据离散,不便于进行非线性控制系统综合设计。因此,Parker等人在解析模型的基础上对气动数据进行曲线拟合,得到面向控制的曲线拟合模型[7-8](CFM:curve-fitted model)。气动数据曲线拟合是一个较为耗费时间与计算机资源的过程。所以拟合前,需要依据可供使用的计算机资源选取适当简化形式的模型,这将限制拟合模型的可信度及其与原始物理模型之间的一致程度。因此,建立一种快速、可靠的拟合建模方法十分必要。

针对上述问题,本文在现有弹性模型基础上,使用有限元法基于变截面自由梁计算高超声速飞行器的结构弹性模型,利用当地流活塞理论计算弹性变形引起的非定常气动力;然后借助均匀设计、逐步回归等统计学方法快速高效地获取相应的CFM模型;最后仿真验证模型的可靠性。

1 高超声速飞行器非定常气动力计算

本文以文献[2-3]中给出的高超声速飞行器模型为主要参考研究对象。该飞行器几何结构参见图1,外形参数详细信息可查看文献[2-3]。飞行器质量为11×103kg/m,转动惯量4.45×105kg·m2/m。考虑加热后材料结构平均弹性模量为7.33×107Pa。

图1 高超声速飞行器模型几何结构

飞行器定常气动力与推力计算方法简述如下:利用空气动力学中的斜基波-膨胀波理论分别在高超声速飞行器前体斜坡、发动机燃烧室、后体膨胀面以及控制舵面处计算飞行器表面压强分布及气流参数;由于波后压强分布均匀,从而可得到各面元上的定常气动力和力矩;飞行器超燃冲压发动机的推力则通过瑞利流模型进行估算[2-3]。

对于高超声速飞行器弹性模型而言,更为关键的是非定常气动力的有效计算,因此,本文主要对飞行器的弹性模态、非定常气动力求解做详细介绍。

对于变截面非均匀欧拉-贝努利,其无阻尼自由振动方程可表示为[9]:

(1)

为计算变截面自由梁的振型模态及相应的模态频率,在文献[6]中,采用了“假设模态法”。假设模态法可以较为精确地求解模态频率,但由于初始假设模态的偏差,通过一次计算难以保证模态特征向量的估算精度。因此,如需获取更为精确的振型,可以使用子空间迭代法或有限元方法进行计算[9]。其中,有限元法可以看成是分区的瑞利-里兹法。其首先将一个复杂结构分成多个区域,然后在每个区域内使用瑞利-里兹法来处理,最后通过边界条件联合求解。经过这样的剖分后,各单元几何形状简单规则,单元的初始假设模态易于选取,且偏差较小,可以明显提高最终求解精度。本文将使用有限元方法求解飞行器等效变截面自由梁的振型模态。

由于参考研究对象为二维飞行器,因此,本文在此进行如下假设:二维飞行器可扩展为单位宽度的三维飞行器,三维扩展飞行器横截面的截面形式为长方形。因此,截面惯性矩根据公式(2)进行计算。

Iy=bh3/12+bhz2

(2)

式中:b为截面宽度，h为截面高度;z为截面形心主轴与机体坐标系x轴之间的距离。

在有限元分析中,选择梁单元的类型为三维有限应变梁单元BEAM189,设置截面类型为RECT,并根据前述参数设置材料属性。在定义位移边界条件后,使用分块法模态分析求解器求解。经过有限元计算获取飞行器前三阶模态频率为:15.5 rad/s,29.1 rad/s,44.8 rad/s,前三阶模态振型如图2所示。

图2 质量归一化弹性模态振型

在图2中,同时给出了等截面自由等效梁、等截面悬臂等效梁及使用假设模态法计算的变截面梁的一阶振型模态。从图中对比可以看出,变截面惯性矩对飞行器的振型模态影响较大,尤其在飞行器头部0～5 m位置,明显大于等截面梁的振型变化;但在计算对象同为变截面梁的情况下,假设模态法对振型的估算与更为精确的有限元方法相比,仍存在较大的差距。如果使用等截面梁的振型模态或假设模态法估算的振型模态来计算飞行器的非定常气动力必然会产生较大误差。另外,通过图中的变截面梁高阶模态振型曲线可以直观看出,如果使用等效攻角增量来估算非定常气动力,由于高阶模态振型中部隆起,必然导致计算结果存在偏差。

在获取高超声速飞行器的弹性模态后,本文使用斜基波-膨胀波理论所计算的定常流场,基于当地流活塞理论计算非定常气动力。

在经典活塞理论的基础上保留一阶项并将来流的参数替换为当地流动参数(用下标L表示)后,物面压强可表示为[10]:

(3)

式中：n0为物面变型前的外法线单位矢量,n为物面变型后的外法线单位矢量,VL和Vb分别表示当地流动速度和物面振动速度,W是当地下洗速度,由物面变形VL·δn和振动Vb·n组成。

运用该方法求解非定常气动力时,基于定常流场得到物面当地的流动参数,再通过(3)式算出物面运动时当地下洗速度的变化,从而得到物面压强随时间的变化,将压强沿物面积分即可得到非定常气动力。

2 曲线拟合建模

利用解析方法求解的各状态下的气动力与推力是离散数据,不便于进行非线性控制系统的综合设计,有必要对离散气动数据进行曲线拟合,得到各力与飞行器状态之间的近似函数关系。传统的拟合方法首先需要获取大量的拟合数据集和验证数据集验证,这个过程较为耗费时间与计算机资源,且因数据集庞大,给后期模型拟合带来不便。因此,本文使用均匀试验设计来简化数据生成的过程。

2.1 均匀设计表构造与评价

在确定试验因素及试验设计空间后,需要根据均匀设计的原理和方法构造指定试验因素的均匀设计表。

常用的均匀设计表构造方法有好格子点法、方幂好格子点法及在它们基础上进行改进的修正法与切割法[11]。因本文中的试验因素均为连续变量,对变量水平没有严格限制,故本文使用好格子点法、方幂好格子点法及其修正方法构建均匀设计表。详细的方法与步骤请参见文献[11]。

表1 状态变量工作范围

均匀设计表的构造过程中,需要在不同生成表间进行寻优。而比较2个均匀设计表的好坏就等价于比较它们所对应2组点集的均匀性。常用的均匀性测度有Lp-星偏差、中心化L2-偏差(CD2)等[11]。根据上述均匀性测度的准确性及计算复杂程度,本文选用中心化L2-偏差作为均匀设计表的均匀性测度:

以CD2(P)≤0.12为评价标准,最终获取的均匀设计表为U*(240,24012),其中星号表示由修正方法生成,该表的中心化L2-偏差CD2(P)=0.117 2。

2.2 逐步回归法求解CFM

利用上节获取的均匀设计表U*(240,24012)进行仿真试验,生成相应的气动力、推力及广义力数据。在这些数据的基础上,为获取各变量间的相关关系,需要进行回归分析。根据理论及实际计算结果分析可知,各力与试验因素间并非简单的线性关系,需要考虑到各因素之间的交互作用及因素高次项的影响。但将如此多的因素全部引入到拟合模型中,势必过于复杂,且可能形成“过拟合”。因此,需要从这些众多相关因素中挑选出对结果有显著影响的部分因素,剔除一些不显著因子,故可以使用逐步回归分析法。逐步回归方法具体步骤可参考文献[11]。

本文最终获取的CFM模型为:

(4)

(4)式中,角度单位为rad;空气密度则根据美国1976年标准大气表计算得到,具体计算方法可查看相关文献。从(4)式中可以看出,飞行器升力及俯仰力矩系数中弹性广义坐标及其速度相关项反映的是非定常气动力系数,其与相应的气动力与力矩系数(包括广义力系数)基本呈线性关系。但相比于刚体参数项,弹性项影响较弱。阻力系数及推力系数因受刚体参数影响更为显著,因此,在逐步回归过程中,与之有关的弹性气动导数项作为非显著因子被剔除。

3 模型验证与对比分析

3.1 CFM模型验证

在获取CFM模型后,需要对模型进行验证。一般可以通过复相关系数R与残余标准偏差S来检验回归方程的显著性与精度[11]。

对于验证数据集的生成,同样可以使用均匀设计表来获取。在获取验证数据集后,本文CFM模型各统计量数值如表2所示:

表2 CFM模型统计量

从表2中可以看出,飞行器各力回归方程的复相关系数均接近于1,说明CFM模型与原物理模型一致程度较高。

3.2 CFM模型对比分析

对于已有的CFM模型,文献[8]在吸气式高超声速飞行器几何外形与配置上与本文的基本一致。但由于非定常气动力计算方法不一致,因此,本文中仅与其比较刚体模型相关气动力、推力及俯仰力矩的拟合情况。为了直观地查看拟合效果,图3给出了使用真实物理模型、本文CFM模型、文献CFM模型计算得到气动力与力矩随速度与攻角的变化图。

图3 气动力与力矩拟合对比

从图3中可以看出,相比于文献[8]中的CFM模型,本文借用均匀设计法所获取的CFM模型与真实物理模型更为一致,模型精度也更好。但用于拟合及验证的数据点却不到2 000个,建模过程耗费的时间与计算机资源大为减少。

3.3 动态特性分析

由于非定常气动力算法的改进,系统的平衡和动态特性将发生变化。为了研究飞行器平衡和动态特性,选取1组高超声速飞行器典型飞行条件:(2 100 m/s,22 km)、(2 100 m/s,32 km)、(3 100 m/s,22 km)(3 100 m/s,32 km),然后分别在原有模型与改进模型下,得到从(δe,φ)至(V,h)的飞行器传输零极点分布,如图4所示。

图4 零极点分布对比图

通过图4的对比可以看出,相对原有高超声速飞行器弹性模型,使用本文方法构建的弹性模型动态特性有较大的改变。原有弱不稳定的弹性模态(3组共轭零极点)在计入变截面影响并改进非定常气动力算法后,将呈现出部分不稳定的特征,较为显著的是一阶弹性模态的变化,代表其特征的极点由s左半平面进入右半平面,如图5中局部放大图所示。因此在高超声速飞行器控制系统设计中必需要对弹性模态进行稳定,否则所设计的控制系统必因弹性模态发散而失控。

4 结 论

本文提出了一种面向控制的弹性高超声速飞行器建模方法。该方法对现有模型中结构弹性模型的构建及非定常气动力的计算方法进行了改进,使用变截面自由梁来构建高超声速飞行器的结构弹性模型,利用当地流活塞理论计算弹性变形引起的非定常气动力;并借助均匀设计、逐步回归等统计学理论构建了弹性高超声速飞行器的CFM模型。通过与现有CFM模型的各项数据对比分析表明,本文中的弹性高超声速飞行器建模方法高效、可靠,其所建立的CFM模型与原始物理模型的一致程度及精度均优于现有CFM模型,而所消耗的时间与计算机资源远小于现有拟合方法。另外,通过对所构建模型进行的动态特性分析,指出了高超声速飞行器弹性模型将呈现出不稳定的弹性模态特征。这需要在后续控制器设计中引起关注。

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