巧解渐近线方程

黄耿跃

题目 对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x>x0时，总有0

01}的四组函数如下：

①f（x）=x2，g（x）=x； ②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x；③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx；④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）.

其中，曲线y=f（x）与y=g（x）存在“分渐近线”的是（ ）.

A.①④ B.②③ C.②④ D. ③④

本题是福建省2010高考理科第10题，要求考生先读懂“分渐近线”的定义，然后类比所学过的双曲线渐近线的定义，通过画草图，结合极限的知识进行问题求解.很多教辅资料在解答这题时，一般都是采用数形结合的思想方法，再结合排除法，进而选出正确答案为C.华罗庚讲过：数缺形时少直观，形缺数时难入微.单纯地利用作图法求解，总让人感觉说服力不够，无法揭示问题的本质.而如果能用代数法把第②④组函数的“分渐近线”求出来，那就使问题的解决显得有理有据.带着这个问题，笔者通过查阅高等数学中极限的知识，得到了一种代数解法，现把它整理出来，供同行参考.图1

一、渐近线的定义

在平面直角坐标系中，设曲线C∶y=f（x），点P是曲线C上的一动点，沿着曲线C趋向无穷远时，点P和直线l∶y=kx+b的距离越来越短，直至趋向于0，则称直线l∶y=kx+b为曲线C的一条渐近线.

二、渐近线定义的形式语言

当x→+∞（或-∞）时，f（x）-（kx+b）→0.

三、渐近线方程中k，b的求法

解 设M（x，y）为曲线C∶y=f（x）上一点，则点M到直线l的距离d=|kx+b-f（x）|1+k2.因为直线l∶y=kx+b为曲线C∶y=f（x）的渐近线，所以x→∞（+∞或-∞）时，d→0的充要条件是limx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0.因为limx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0limx→∞（kx+b-f（x））=0limx→∞x（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k-f（x）x）=0k=limx→∞（f（x）x）.

又因为limx→∞（kx+b-f（x））=0，所以b=limx→∞（f（x）-kx）.

四、高考试题巧解

对①f（x）=x2，g（x）=x若存在分渐近线，因为k=limx→∞（x2x）=limx→∞（xx）不成立，故①组函数不存在分渐近线.对②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x若存在分渐近线，因为k=limx→∞（10-x+2x）=limx→∞（2x-3xx）=0，b=limx→∞（10-x+2）=limx→∞2x-3x=2均成立，故②组函数中存在分渐近线方程为： y=2.对③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx若存在分渐近线，

因为k=limx→∞（x2+1xx）=limx→∞（x·lnx+1lnxx）=1成立，但limx→∞（x2+1xx-x）≠limx→∞（2x-3x-x），故③组函数不存在分渐近线.对④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）若存在分渐近线，因为k=limx→∞（2x2x+1x）=limx→∞（2（x-1-e-x）x）=2，又b=limx→∞（2x2x+1，-2x）=limx→∞[2（x-1-e-x）-2x]=-2，故④组函数中存在分渐近线方程为：y=2x-2.故选C.

题目 对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x>x0时，总有0

01}的四组函数如下：

①f（x）=x2，g（x）=x； ②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x；③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx；④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）.

其中，曲线y=f（x）与y=g（x）存在“分渐近线”的是（ ）.

A.①④ B.②③ C.②④ D. ③④

本题是福建省2010高考理科第10题，要求考生先读懂“分渐近线”的定义，然后类比所学过的双曲线渐近线的定义，通过画草图，结合极限的知识进行问题求解.很多教辅资料在解答这题时，一般都是采用数形结合的思想方法，再结合排除法，进而选出正确答案为C.华罗庚讲过：数缺形时少直观，形缺数时难入微.单纯地利用作图法求解，总让人感觉说服力不够，无法揭示问题的本质.而如果能用代数法把第②④组函数的“分渐近线”求出来，那就使问题的解决显得有理有据.带着这个问题，笔者通过查阅高等数学中极限的知识，得到了一种代数解法，现把它整理出来，供同行参考.图1

一、渐近线的定义

在平面直角坐标系中，设曲线C∶y=f（x），点P是曲线C上的一动点，沿着曲线C趋向无穷远时，点P和直线l∶y=kx+b的距离越来越短，直至趋向于0，则称直线l∶y=kx+b为曲线C的一条渐近线.

二、渐近线定义的形式语言

当x→+∞（或-∞）时，f（x）-（kx+b）→0.

三、渐近线方程中k，b的求法

解 设M（x，y）为曲线C∶y=f（x）上一点，则点M到直线l的距离d=|kx+b-f（x）|1+k2.因为直线l∶y=kx+b为曲线C∶y=f（x）的渐近线，所以x→∞（+∞或-∞）时，d→0的充要条件是limx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0.因为limx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0limx→∞（kx+b-f（x））=0limx→∞x（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k-f（x）x）=0k=limx→∞（f（x）x）.

又因为limx→∞（kx+b-f（x））=0，所以b=limx→∞（f（x）-kx）.

四、高考试题巧解

对①f（x）=x2，g（x）=x若存在分渐近线，因为k=limx→∞（x2x）=limx→∞（xx）不成立，故①组函数不存在分渐近线.对②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x若存在分渐近线，因为k=limx→∞（10-x+2x）=limx→∞（2x-3xx）=0，b=limx→∞（10-x+2）=limx→∞2x-3x=2均成立，故②组函数中存在分渐近线方程为： y=2.对③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx若存在分渐近线，

因为k=limx→∞（x2+1xx）=limx→∞（x·lnx+1lnxx）=1成立，但limx→∞（x2+1xx-x）≠limx→∞（2x-3x-x），故③组函数不存在分渐近线.对④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）若存在分渐近线，因为k=limx→∞（2x2x+1x）=limx→∞（2（x-1-e-x）x）=2，又b=limx→∞（2x2x+1，-2x）=limx→∞[2（x-1-e-x）-2x]=-2，故④组函数中存在分渐近线方程为：y=2x-2.故选C.

题目 对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x>x0时，总有0

01}的四组函数如下：

①f（x）=x2，g（x）=x； ②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x；③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx；④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）.

其中，曲线y=f（x）与y=g（x）存在“分渐近线”的是（ ）.

A.①④ B.②③ C.②④ D. ③④

本题是福建省2010高考理科第10题，要求考生先读懂“分渐近线”的定义，然后类比所学过的双曲线渐近线的定义，通过画草图，结合极限的知识进行问题求解.很多教辅资料在解答这题时，一般都是采用数形结合的思想方法，再结合排除法，进而选出正确答案为C.华罗庚讲过：数缺形时少直观，形缺数时难入微.单纯地利用作图法求解，总让人感觉说服力不够，无法揭示问题的本质.而如果能用代数法把第②④组函数的“分渐近线”求出来，那就使问题的解决显得有理有据.带着这个问题，笔者通过查阅高等数学中极限的知识，得到了一种代数解法，现把它整理出来，供同行参考.图1

一、渐近线的定义

在平面直角坐标系中，设曲线C∶y=f（x），点P是曲线C上的一动点，沿着曲线C趋向无穷远时，点P和直线l∶y=kx+b的距离越来越短，直至趋向于0，则称直线l∶y=kx+b为曲线C的一条渐近线.

二、渐近线定义的形式语言

当x→+∞（或-∞）时，f（x）-（kx+b）→0.

三、渐近线方程中k，b的求法

解 设M（x，y）为曲线C∶y=f（x）上一点，则点M到直线l的距离d=|kx+b-f（x）|1+k2.因为直线l∶y=kx+b为曲线C∶y=f（x）的渐近线，所以x→∞（+∞或-∞）时，d→0的充要条件是limx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0.因为limx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0limx→∞（kx+b-f（x））=0limx→∞x（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k-f（x）x）=0k=limx→∞（f（x）x）.

又因为limx→∞（kx+b-f（x））=0，所以b=limx→∞（f（x）-kx）.

四、高考试题巧解

对①f（x）=x2，g（x）=x若存在分渐近线，因为k=limx→∞（x2x）=limx→∞（xx）不成立，故①组函数不存在分渐近线.对②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x若存在分渐近线，因为k=limx→∞（10-x+2x）=limx→∞（2x-3xx）=0，b=limx→∞（10-x+2）=limx→∞2x-3x=2均成立，故②组函数中存在分渐近线方程为： y=2.对③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx若存在分渐近线，

因为k=limx→∞（x2+1xx）=limx→∞（x·lnx+1lnxx）=1成立，但limx→∞（x2+1xx-x）≠limx→∞（2x-3x-x），故③组函数不存在分渐近线.对④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）若存在分渐近线，因为k=limx→∞（2x2x+1x）=limx→∞（2（x-1-e-x）x）=2，又b=limx→∞（2x2x+1，-2x）=limx→∞[2（x-1-e-x）-2x]=-2，故④组函数中存在分渐近线方程为：y=2x-2.故选C.