新四维超混沌系统分析与仿真研究

周小勇 韩晓新

（江苏理工学院电气信息工程学院，江苏 常州213001）

0 引言

现今混沌理论正由基础研究向工程应用发展，并取得了很大突破，如在保密通信、图像加密等信息安全领域的应用。但研究表明，在混沌加密的保密通信中，采用低维混沌信号实施加密往往容易被破译，而采用高维的超混沌信号却难以破译［1－2］。因相比于三维混沌系统，高维混沌系统产生的混沌信号具有较宽的频率特性，难以被滤波器有效滤除，其动力学行为比一般混沌系统更为复杂，用其进行信息加密具有更好的安全性能，因此，围绕超混沌信号产生与应用的研究成为混沌动力学的热点之一。对于超混沌信号生成的研究，人们早已关注，目前较为有效的方法是在现有三维混沌系统基础上，通过增加一个状态反馈控制器或一个外部激励来获得超混沌［2－3］。

本文提出了一个新的四维超混沌系统，研究了该四维系统的基本动力学特性，验证了系统的超混沌特性。最后设计了该超混沌系统的电路原理图，并进行了电路仿真实验，证实了该系统的物理可实现性。

1 新四维超混沌系统描述与理论分析

1.1 新四维超混沌系统的数学模型

本文提出的新四维混沌系统，其数学模型描述为：

其中，a、b、c和d 是实常数。当a＝25、b＝25、c＝15和d＝20时，系统存在一个典型的混沌吸引子，如图1所示。由吸引子相图可以发现，相图中的轨线在特定的吸引域内具有遍历性。这个混沌吸引子与现有的典型混沌系统的吸引形状完全不同，如Lorenz系统、Chen系统、Lü系统、Liu系统以及Qi系统等［4－8］。

1.2 系统混沌特性基本理论分析

本文所提出的混沌系统，其吸引子具有一般混沌吸引所具有的对称性及坐标变化不变性，即（x，y，z，u）→（－x，－y，z，－u）变换下具有不变性，系统的相图关于z轴对称，这种对称对系统所有参数均成立，系统具有对称性。另外，当令系统（1）［指式（1）所表示的混沌模型］的右边等于0时，解得系统唯一平衡点为s0＝（0，0，0，0），把系统（1）在平衡点s0＝（0，0，0，0）处线性化，得Jacobi矩阵J0。

图1 系统混沌吸引子相图

当a＝25、b＝25、c＝15和d＝20时，可由J0得系统的特征方程f（λ）＝0，并计算出平衡点s0处的特征值λ1＝－25、λ2＝14.933、λ3＝0.067及λ4＝－20，特征值中2个为正，2个为负，因此平衡点s0是一个不稳定的鞍点。

对于混沌系统，还可采用Lyapunov指数（LE）描述动力学特性，特别是最大LE，它是判断系统是否为混沌的重要特征量［2］。目前有关计算系统最大LE的方法有多种，本文采用奇异值分解的计算方法得系统（1）的4个LE，分别为LE1＝2.228 7、LE2＝0.179 8、LE3＝－0.225 7和LE4＝－40.409 1，其中2个为正，说明该系统的动力学状态为混沌状态且为超混沌状态。在此基础上，还可计算出系统的Lyapunov维数，由前面所得LE，采用式（2）计算得最终结果。该结果说明该系统的Lyapunov维数为分数维数，进一步证明系统为混沌系统。

值得关注的是，本文提出的超混沌系统在系统参数取一些特定值时，会呈现出一些较为奇特的吸引子结构图（图2）。当a＝1而其他参数保持不变时，系统y－z相图如图2（a）所示，系统运动状态为复杂的周期状态；当c＝7.5而其他参数不变时，系统x－z相图如图2（b）所示，系统吸引子结构形如2片羽毛。

图2 a,c取特定值时系统的相图

2 新系统参数敏感性仿真研究

对于混沌系统参数敏感性的研究，为了直观地描述出参数变化时系统动力学状态变化特征，采用LE谱和分岔图相结合的图示法进行仿真研究。因篇幅所限，本文仅研究a变化对系统状态的影响，即固定b＝25、c＝15和d＝20，只改变a，当a∈［0，28.5］变化时，系统的LE谱以及系统状态y分岔图如图3所示。对于四维系统，当有一个LE＞0时，系统处于混沌状态；而当系统存在2个LE＞0时，系统就处于超混沌状态［3，9］。由图3（a）不难发现系统的LE随a变化的特征，LE谱图表明系统随着a的增大由周期状态到超混沌状态再到混沌状态及周期状态的演化过程，系统的状态及Lyapunov指数如表1所示。图3（b）的｜y｜－a分岔图也说明了系统的这一演化过程。至于其他参数，也可采用这一方法进行仿真研究。

图3 系统随a变化时的LE谱和分岔图

表1 参数变化时系统状态及对应Lyapunov指数

从以上分析可知，参数a的变化影响着系统的状态，系统有着十分丰富的混沌动力学行为特征。

3 系统电路设计与仿真实验

根据混沌系统的数学模型设计出其电路原理图，采用相应的电子元器件构建其物理电路，具体如图4所示，即采用线性电阻、线性电容、运算放大器和模拟乘法器来实现。运算放大器采用LM741，主要完成加、减和积分运算，模拟乘法器采用AD633，实现系统的非线性项。仿真实验所采用软件为Multisim，仿真结果如图5所示，表明电路仿真与数值仿真非常吻合。上述理论分析和仿真实验证实，本文提出的四维自治非线性系统是一个新的超混沌系统，它具有一切超混沌系统的共同特征。

图4 系统电路原理图

图5 系统电路仿真混沌吸引子相图

4 结语

本文提出了一种新的四维超混沌系统，通过理论分析、数值仿真、Lyapunov指数谱和分岔图等，证实了该系统可以产生超混沌现象，并重点分析了参数变化对系统动力学特性的影响，给出了随系统参数变化的LE谱和分岔图。最后，设计了该超混沌系统的电子电路，并进行了电路的EWB仿真实验，仿真结果与数值仿真结果十分吻合，表明了该超混沌系统的物理可实现性，所以，该超混沌系统在弱信号检测和数据加密等领域中有着潜在的应用价值。

［1］禹思敏，丘水生，林清华.多涡卷混沌吸引子研究的新结果［J］.中国科学 E辑，2003（4）

［2］陈关荣，吕金虎.Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步［M］.北京：科学出版社，2003

［3］唐良瑞，李静，樊冰.一个新四维自治超混沌系统及其电路实现［J］.物理学报，2009（3）

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［8］Qi G Y，Du S Z，Chen G R，et al.Analysis of a new chaotic system［J］.Physica A：Statistical Mechanics and Its Applications，2005（352）

［9］周小勇.一种具有恒Lyapunov指数谱的混沌系统及其电路仿真［J］.物理学报，2011（10）