探究性学习在高中数学教学中的实践

王波

我国现在的教育正在进行着全面的改革之中.在国家教育部的关于基础教育改革的文件当中，就把学生的探究性自主学习的能力培养放在了第一位.高中数学的教学模式如果还是因循守旧，照着旧的模式进行“填鸭式”的教育，那么很难培养出高质量的数学人才.现在世界各地的基础教育正在大力地倡导探究性学习的教学方法.

高中数学相对于高等数学来说，其教学的目的在于培养学生基本的数学思维和数学修养.让学生能够自主地处理一些简单的数学问题.传统的高中数学教学模式一般是以“模、仿、练”为主.而这样的教学模式很容易使得学生产生出惯性思维，不利于学生的自主创新能力的培养，也很难让学生发挥出自身的数学天赋.探究性学习和高中数学教学模式的有效结合，不仅能够让学生自主发现数学世界中的美，培养出学生学习数学的热情，还能够锻炼学生的自主创新能力.

一、我国目前高中数学教学的现状分析

高中数学的探究性学习方式改革在我国的数学教学体制改革中是具有里程碑意义的.探究即是探索、研究的意思.处于高中阶段的学生，正是处于青春萌动、朝气蓬勃的年华之中，对于世界充满探知的欲望，对于新事物的接受能力、理解能力也是最强的.在这个时间段内，如果我们能够培养起学生们探究性学习的能力，不但对于这个学生未来漫长的人生方向有着重要的引导作用，对于学生的人格塑造也起着积极作用.但是就目前我国的高中数学教育在这方面所做的 努力工作来看，依然还是收效甚微，弊端丛生.

1.学生因素

在高中数学的教学课本中，数学的基本概念、定理、公理会占有很大的内容.学生们进行这些公式定理的学习时，总是靠着死记硬背为主.许多学生不明白公式定理出现的缘由.对于考试试卷中所出现的数学证明题，学生们也大多数地是以直接运用公式定理为主，即使能够完成证明，也不明白这么证明的意义在哪里，为什么要这么证明.而且，在高考数学当中，数学的满分为150，占有的比例颇大.高考数学的题型差不多年年固定，重要的知识点变来变去也还是那几个.学生们在做题的时候，可能只会注重于如何来解题，如何来拿到分数.这样的学习态度加大了老师进行探究性学习方法培养的难度.而且现今的高中学生们在进行数学学习的时候，已经普遍的存在着这样的一种学习状态.面对于一个棘手的数学难题，一般来说，学生首要想到的便是参阅答案的解题思路和解题方法，不会自己去寻找解题的突破口，更不会自己静下心来潜心去研究一个数学问题，思索其中的奥妙所在.

2.老师因素

老师上课时，在讲解数学知识点时，为了能够充分利用起课堂的时间，很少给学生们独立思考的能力.在讲解关于一些复杂的难题、例题时，大多数的老师会采用演示一遍即过的教学方式.重要的在于培养学生们解题拿分的能力，忽略了学生们学习过程中关于数学解题过程中的逻辑思维能力、发散能力的培养.很少有老师，在讲解完一个例题或者一些习题之后，将之与生活实际相联系起来.整个课堂的教学气氛相当的枯燥，学生上课少有学习的热情，而老师一个人在讲台聒噪也甚没意思.而且探究性学习的教学模式，在我国兴起的时间还不是特别的久.许多的老教师还是在延续着他们原来的那种教学模式.这些已经形成了教学思维定式的老教师们，要想着一下子就能够让他们转变过来，也确实是为难了他们.不管是年轻的老师，还是那些经验丰富的老师，面对于学生的探究性学习能力的培养都是力不从心、鞭长莫及.

二、探究性数学教学模式改革途径

1.设置趣味的数学学习场景

兴趣在学习过程中起着极大的推动作用，在高中教学中要激发学生的兴趣，增强学生学习的自主性，数学教材和实际生活中有着密切的联系，学生要从现实生活中学习数学，并应用到现实中去.

如椭圆及其标准方程的教学片段：

师： 我们的日常生活中，椭圆随处可见.你能举出椭圆形的例子吗？

生：斜着切出来的四色卷是椭圆的.

生：我妈项链中间的饰物是椭圆形的.

生：嫦娥二号绕月球运行的轨道是椭圆形的.

创设情境：请拿出预先准备的圆形纸片（ 圆心为O，F是圆内异于圆心的一点） ，将圆纸片翻折，使翻折上去的圆弧通过F点，将折痕用笔画上颜色，继续上述过程，绕圆心一周，观察所得到的图形.

探究1：多媒体演示.让我们回到折纸活动中，看看得到的椭圆究竟是怎样形成的.我们不妨来分析其中的一个折叠过程.此时圆周上的点A与点F重合，连接OA，交折痕BC 于点M，那么点M的轨迹是什么？

探究2：取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧细线，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？情境：用“几何画板”进行动画演示，进一步使学生从视觉上感受椭圆的形成过程及其几何关系.

在这个案例中，教师充分发挥主动性和创造性，从学生的年龄特征出发，对教材内容做不同程度的处理，根据学生的知识经验创设学生熟悉的生活情境，把学生引入一种迫切探究的状态，诱发学生的学习欲望.教师发挥主导性，努力为学生创造学习的自由环境，诱发学生探究的主动性.

2.培养学生从多角度看待问题的能力

新课标强调要关注学生的差异性，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展，面对全体学生多元化的学习要求，多角度分析、看待问题能很好地达到这一要求.学生通过一系列分析，展开发散性思维，运用所学知识经过推理，得出正确结论，充分显示思维的多样性，同时也体现学生的个性化，从而全方位地培养学生的创造力.学生在学习过程中通过多角度看待问题经历适当的数学交流活动，让他们感受到别人的思维方式和思维过程，以改变自己在认识上的单一性，从而发展学生的求异思维，激发学生的学习兴趣，发挥主体精神，培养学生达到个性良好发展的目的.从多角度看待问题，转换思维的方法有很多：从一般到特殊的思维也在此列，如有些数学问题，所要求的结论在一般情况下不容易推出，但在特殊情况下，反倒易处理，因为有些问题的普遍性经常寓于特殊性之中，换个角度考虑，如果把要解决的问题化归为某个特殊问题，再把解决特殊情况的方法或结论应用到或推广到一般问题上去，解决问题就易如反掌了.

例 点P在双曲线2x2-y2=1上，定点A（0，4），求动点P到定点A距离 AP的最大值.对于此题学生很容易求解，解完这道题后，教师要主动引导学生进一步思考，同学们能不能仿照此题给出一个新的题目呢？通过学生的主动参与，探究及分析，总结出以下几种变题：

变式1：将求 AP的最大值改为求 AP的最小值.

变式2：将双曲线改为椭圆：2x2+y2=1，结论改为求AP的最值.

变式3：将双曲线改为抛物线y2=4x，结论改为求 AP的最小值.

变式4：已知点P在双曲线2x2-y2=1上运动，定点A（0，a）（a>0），求AP的最小值.

变式5：动点Q在圆x2+y2-2y=1上运动，动点P

在双曲线2x2-y2=1，求PQ的最小值.

3.注意联系起生活实践

重视数学应用是数学教学改革的需要，新编高中数学教材把培养学生应用数学的意识贯穿在教材编写的始终.书中的大部分章节的引入都是从实际中提出问题，并且在每节的例题、练习中增加了大量的联系实际的内容.在每章后开设有研究性课题和阅读材料，其目的就是培养学生的数学的应用意识.应用性问题的考查把生活实际有关的具体情境与抽象的数学搭建起一座桥梁，帮助学生由生活情境中抽象出数学问题，即学会用数学建模的思想，这也要求教师转变教学观念，通过教学将数学建模与应用问题结合起来，对培养学生的问题意识“应用意识”和探究意识，让学生主动关注身边的实际问题，开辟了一条行之有效的途径.

例 某同学生日，很多同学前来祝贺，买了一个大蛋糕并用刀分之，问切1刀最多分蛋糕几部分？切2刀最多分几部分？切3 刀、切4刀、切5刀呢？ （ 指竖直方向 ）.同学们探究后纷纷得出结论：1 刀最多分两部分；2刀最多分四部分；3刀最多分七部分；4刀最多分十一部分；5刀最多分十六部分；那么第n刀把蛋糕最多分成多少部分呢？ 不妨设第1刀分a1部分，第2刀分a2部分，第n刀分an部分.学生经过探究后发现，第2刀分蛋糕数等于第一刀分蛋糕数加2，第3刀所分部分数等于第2刀所分部分数加3，第4刀所分部分数等于第3刀所分部分数加4，第5刀所分部分数等于第4刀所分部分数加5.那么以此类推猜想第n刀所分部分数等于第（n-1）刀所分部分数加 n，即：an=an-1+n.这种求n刀最多分蛋糕多少部分的方法便是数学中的归纳推理法.

例 点P在双曲线2x2-y2=1上，定点A（0，4），求动点P到定点A距离 AP的最大值.对于此题学生很容易求解，解完这道题后，教师要主动引导学生进一步思考，同学们能不能仿照此题给出一个新的题目呢？通过学生的主动参与，探究及分析，总结出以下几种变题：

变式1：将求 AP的最大值改为求 AP的最小值.

变式2：将双曲线改为椭圆：2x2+y2=1，结论改为求AP的最值.

变式3：将双曲线改为抛物线y2=4x，结论改为求 AP的最小值.

变式4：已知点P在双曲线2x2-y2=1上运动，定点A（0，a）（a>0），求AP的最小值.

变式5：动点Q在圆x2+y2-2y=1上运动，动点P

在双曲线2x2-y2=1，求PQ的最小值.

3.注意联系起生活实践

重视数学应用是数学教学改革的需要，新编高中数学教材把培养学生应用数学的意识贯穿在教材编写的始终.书中的大部分章节的引入都是从实际中提出问题，并且在每节的例题、练习中增加了大量的联系实际的内容.在每章后开设有研究性课题和阅读材料，其目的就是培养学生的数学的应用意识.应用性问题的考查把生活实际有关的具体情境与抽象的数学搭建起一座桥梁，帮助学生由生活情境中抽象出数学问题，即学会用数学建模的思想，这也要求教师转变教学观念，通过教学将数学建模与应用问题结合起来，对培养学生的问题意识“应用意识”和探究意识，让学生主动关注身边的实际问题，开辟了一条行之有效的途径.

例 某同学生日，很多同学前来祝贺，买了一个大蛋糕并用刀分之，问切1刀最多分蛋糕几部分？切2刀最多分几部分？切3 刀、切4刀、切5刀呢？ （ 指竖直方向 ）.同学们探究后纷纷得出结论：1 刀最多分两部分；2刀最多分四部分；3刀最多分七部分；4刀最多分十一部分；5刀最多分十六部分；那么第n刀把蛋糕最多分成多少部分呢？ 不妨设第1刀分a1部分，第2刀分a2部分，第n刀分an部分.学生经过探究后发现，第2刀分蛋糕数等于第一刀分蛋糕数加2，第3刀所分部分数等于第2刀所分部分数加3，第4刀所分部分数等于第3刀所分部分数加4，第5刀所分部分数等于第4刀所分部分数加5.那么以此类推猜想第n刀所分部分数等于第（n-1）刀所分部分数加 n，即：an=an-1+n.这种求n刀最多分蛋糕多少部分的方法便是数学中的归纳推理法.

例 点P在双曲线2x2-y2=1上，定点A（0，4），求动点P到定点A距离 AP的最大值.对于此题学生很容易求解，解完这道题后，教师要主动引导学生进一步思考，同学们能不能仿照此题给出一个新的题目呢？通过学生的主动参与，探究及分析，总结出以下几种变题：

变式1：将求 AP的最大值改为求 AP的最小值.

变式2：将双曲线改为椭圆：2x2+y2=1，结论改为求AP的最值.

变式3：将双曲线改为抛物线y2=4x，结论改为求 AP的最小值.

变式4：已知点P在双曲线2x2-y2=1上运动，定点A（0，a）（a>0），求AP的最小值.

变式5：动点Q在圆x2+y2-2y=1上运动，动点P

在双曲线2x2-y2=1，求PQ的最小值.

3.注意联系起生活实践

重视数学应用是数学教学改革的需要，新编高中数学教材把培养学生应用数学的意识贯穿在教材编写的始终.书中的大部分章节的引入都是从实际中提出问题，并且在每节的例题、练习中增加了大量的联系实际的内容.在每章后开设有研究性课题和阅读材料，其目的就是培养学生的数学的应用意识.应用性问题的考查把生活实际有关的具体情境与抽象的数学搭建起一座桥梁，帮助学生由生活情境中抽象出数学问题，即学会用数学建模的思想，这也要求教师转变教学观念，通过教学将数学建模与应用问题结合起来，对培养学生的问题意识“应用意识”和探究意识，让学生主动关注身边的实际问题，开辟了一条行之有效的途径.

例 某同学生日，很多同学前来祝贺，买了一个大蛋糕并用刀分之，问切1刀最多分蛋糕几部分？切2刀最多分几部分？切3 刀、切4刀、切5刀呢？ （ 指竖直方向 ）.同学们探究后纷纷得出结论：1 刀最多分两部分；2刀最多分四部分；3刀最多分七部分；4刀最多分十一部分；5刀最多分十六部分；那么第n刀把蛋糕最多分成多少部分呢？ 不妨设第1刀分a1部分，第2刀分a2部分，第n刀分an部分.学生经过探究后发现，第2刀分蛋糕数等于第一刀分蛋糕数加2，第3刀所分部分数等于第2刀所分部分数加3，第4刀所分部分数等于第3刀所分部分数加4，第5刀所分部分数等于第4刀所分部分数加5.那么以此类推猜想第n刀所分部分数等于第（n-1）刀所分部分数加 n，即：an=an-1+n.这种求n刀最多分蛋糕多少部分的方法便是数学中的归纳推理法.