数学分析“四段式全程追踪”教学模式的研究与实践

王 莉，刘勇进，单 锋，王利岩

（沈阳航空航天大学 理学院，沈阳 110136）

数学分析课程是整个近代数学的基础，它运用现代数学理论和方法研究函数性态，并有很强的实际应用背景，其基本概念、基本理论和思想方法已经深入到数学的每一个分支，成为现代科学研究的基本工具［1］，是信息与计算科学专业重要的基础课，担负着为后继课程（如：常微分方程、数值分析、复变函数等）提供必要的基础知识和应用工具的重任，如何让学生很好地理解和掌握该课程是所有授课教师一直在思索的重要问题［2－13］。

1 数学分析课程教学存在的问题

数学分析课程总学时240学时，总学分15学分，分3个学期讲授，分别称数学分析l、数学分析2和数学分析3。信息与计算科学专业数学素质培养的侧重点、深度和广度与数学专业有一定差别［14］。

首先，从教学内容上分析：数学分析的教学内容理论性非常强，而对于其计算技巧以及实际应用方面与理论的重视相比较略显不足。而信息与计算科学专业要求学生不仅对理论的掌握要足够，同时更要能运用所学知识解决实际问题。因此，就要求授课教师在教学内容上要合理安排，有必要对教学内容进行优化重组。

其次，从教学对象上分析：一方面，大部分信息与计算科学专业的学生的数学基础及数学素养与数学专业的学生相比较要差一些，因此学习过程中比较吃力。另一方面，由于学生来源不同，有的学生自学能力不强，不能很好地将书本知识吸收和理解，严重影响后继课程的学习和创新能力的培养。

2 数学分析“四段式全程追踪”的教学模式

2.1 “四段式全程追踪”教学模式的创新

基于上述存在的问题，课题组教师采取了以数学知识的“产生－形成－应用－分流追踪”为主线的四段式全程追踪教学模式，该模式融合了启发式、案例式、讨论式、研究式等教学方式，是教学模式的创新。其创新之处主要体现在以下3个方面：

1）打破传统数学教学只注重数学知识讲述的常规，在教学中重视相关历史背景知识的介绍。让学生体验数学分析的价值、欣赏数学的美，吸引更多的学生热爱数学，变被动学习为主动学习。

2）立足信息与计算科学专业，优化重组教学内容。一方面，强化基础，突出重点，对于重要的理论分析与证明方法进行着重讲解和训练，以便培养学生良好的分析思维，满足热爱数学学生追求更高层次数学研究学习的需要；另一方面，注重数学分析的应用性，培养学生解决实际问题的能力。

3）通过开设数学分析选修课、考研数学辅导班、网络教学平台等途径对学生进行全程分流追踪，为不同需求的学生提供持续学习的环境。

2.2 “四段式全程追踪”教学模式的实施

“四段式全程追踪”教学模式主要分为4个阶段，前3个阶段的实施需要融合在每次的教学课堂之中，由浅入深，达到良好的教学效果。下面对这4个阶段内容及实施做具体解读。

2.2.1 引导学生对数学分析课程做好认知准备和情绪准备

首先，让学生对本门课程产生学习兴趣。考取本专业的学生并不一定都喜欢学习数学。因此，一入学，就要对学生进行“数学之美”的讲座，让学生对数学有一个新的认识和理解，数学不是枯燥无味的，而是生动活泼的，是一门很美的学科。接下来通过教学使学生感受数学知识的内在美，如：数字美、符号美、数学语言的严谨美等，从而激发学生对数学的学习兴趣。

其次，搜集并整理数学分析主要知识点、相关数学符号及数学家的历史背景材料，将其有机融合到教学设计当中。在课堂教学中融入数学史知识，如：在讲解牛顿－莱布尼兹公式的过程中，关于该公式的产生及两位数学家的故事都可以给学生讲解，让学生掌握其产生的过程，这也会有助于培养学生研究问题的能力。

2.2.2 立足于信息与计算科学专业，对教学内容优化重组后讲解。

选用的教材是华东师范大学数学系编的《数学分析（第四版）》［15］，该教材的优点是理论性强，但是该教材在实际应用方面的侧重点不足。

1）对于基本概念、定义以及定理的证明的讲解一定要详细，对于某些比较繁琐的定理证明的讲解可以适当地粗略。要想学习好数学分析这门课程，需要建立良好的逻辑思维能力，认真体会数学语言的严谨，这些在数学分析的基本概念、定义及定理的叙述与证明中表现得非常充分。而某些比较繁琐的定理证明，如：定积分的可积性理论的证明等，在实际的教学中就会对其略讲。这样突出数学分析的理论知识的重点，实现对学生分析问题能力的培养。

2）让学生多掌握解题技巧，多给学生讲解具有实际背景的应用问题。信息与计算科学专业同学未来的职业会偏重于对知识的运用，这就需要学生在大学时对解题的技巧有足够的训练，如：极限的计算方法、积分的计算方法等。同时，多给学生提供有实际背景的例题、习题，如：定积分在物理学中的某些应用，可以多给学生一些可以用定积分来解决的实际问题等。从而培养学生解决实际问题的能力。

3）在课堂教学中注重数学分析的应用性，结合专业学习的需要有选择的融入数学实验与数学建模的内容。

根据信息与计算科学专业的培养目标，为了提高信息与计算科学专业学生对数学分析的理解能力和应用能力，通过引入数学建模和数学实验来帮助和提高学生对某些知识内容的理解，并使得学生从中体会到该如何应用数学来解决实际问题。在数学分析的第一次课堂上就引入数学模型，激发学生的学习兴趣。在数学分析的教学中也可将建模案例与定理应用相结合。如：在介绍闭区间上连续函数零点的时候，可以与“椅子能在不平的地面上放稳吗？”这个建模实例相结合。在讲解极值定理时，可以增加最优化问题，如：磁盘的最大存储量、电影院的优化设计等模型。同时，可以给学生留一些数学实验，让学生自己动脑，用计算机编程等来处理遇到的数学问题。

4）建立网络教学平台、开设选修课以及考研数学辅导班等对不同需求的学生进行分流追踪教学。

经过2年基础课程的学习，到了大学三年级、四年级，不同的学生将对自己的人生有不同的选择。为此，第六、七学期设置了相关选修课程，如：数学分析选讲，高等数学考研辅导等课程来满足不同学生的需求。建立网络教学平台方便学生课余时间学习。这个阶段的工作正在陆续展开，将会对学生数学分析的学习起到更好的促进作用。

3 结 论

经过教师组对数学分析“四段式全程追踪”教学模式的研究和实践，使得数学分析的教学收到了良好的教学效果。近几年来，信息与计算科学专业的学生中考研学生所占学生总数的比例，由原来最初的不足15%到现在的35%的考研比例，而且考取的专业有数学专业、计算机专业、安全专业以及管理专业等。考取的院校有：北京航空航天大学、大连理工大学、东北大学等。另外，信息与计算科学专业的学生在各个级别的数学建模竞赛中都取过优异的成绩。这些成绩的取得说明了数学分析“四段式全程追踪”教学模式的实践取得了一定的成效。

［1］俞能福.信息与计算科学专业《数学分析》课程的教学改革与实践［J］.巢湖学院学报，2009，6（1）：120－123.

［2］李树有，王艳平，徐美进.“数学分析”课程的教学改革与实践［J］.辽宁工业大学学报：社会科学版，2008，10（5）：97－99.

［3］周焕芹.数学分析课程教学的改革与实践［J］.教育与职业，2007，23（2）：142－143.

［4］常敏慧，杨建雅.数学分析课程考试模式改革初探［J］.运城学院学报，2009，27（1）：32－34.

［5］袁菲.探讨数学分析课程的教学改革和教学质量的提高［J］.大学数学，2010，26（增刊1）：62－65.

［6］金玲玉，房少梅，刘文琰.数学分析教学改革的几点认识和体会［J］.大学数学，2012，28（4）：25－30.

［7］高凌云.《数学分析》教学的一些思考［J］.大学数学，2007，23（5）：13－16.

［8］匡奕群，高武军.《数学分析》课程的教学改革与实践［J］.江西理工大学学报，2007，28（5）：55－56.

［9］戴培良.《数学分析》课程建设的思考［J］.常熟理工学院学报：教育科学，2010，12（2）：97－100.

［10］姚云飞.数学分析总的教学札记［J］.数学教育学报，2004，13（2）：70－73.

［11］牛耀明.关于数学分析课程教学的几点认识［J］.赤峰学院学报：自然科学版，2013，29（8）：227－228.

［12］闫德明，李冬辉.数学分析精品课程建设的探索与实践［J］.河南教育学院学报：自然科学版，2008，17（2）：57－58.

［13］王浚岭.数学分析课程教学现状与教学改革［J］.湖北教育学院学报，2006，2（3）：88－91.

［14］教育部教学与统计学委员会.关于《信息与计算科学》专业办学现状与专业建设相关问题的调查报告［J］.大学数学，2003，3（2）：1－5.

［15］华东师范大学数学系.数学分析［M］.4版.北京：高等教育出版社，2001.