基于反转法的平行双关节坐标测量机的标定

裘祖荣，陈 波，李杏华(天津大学精密测试技术及仪器国家重点实验室，天津 300072)

基于反转法的平行双关节坐标测量机的标定

裘祖荣，陈 波，李杏华
(天津大学精密测试技术及仪器国家重点实验室，天津 300072)

针对关节臂坐标测量机的标定问题，提出了一种基于反转法的平行双关节坐标测量机分离标定方法．阐述了反转法的标定思想，并详细描述了利用反转法进行平行度误差标定、臂长误差标定以及零位误差标定的方法．结果表明：该方法操作简单，其精度可以通过在测量范围内测量量块衡量；使用基于反转法的分离标定法的测量机的测量精度比使用基于高斯-牛顿法的综合标定法的测量机的测量精度高3倍．

关节臂坐标测量机；标定；误差补偿

平行双关节坐标测量机(AACMM)具有体积小、重量轻、携带方便以及价格低廉等特点[1]，在汽车制造、航空航天以及船舶生产等领域得到了广泛的应用[2]．

此类坐标测量机的系统误差标定方法主要有综合标定法和分离标定法两种[3]．综合标定法操作比较简单，但精度较低．分离标定法中需要对测量机的每一项系统误差分别进行标定，具体的标定方法多种多样，标定精度也参差不齐．但总体而言，分离标定法的精度要优于综合标定法，该类方法的设计宗旨是用更简捷的操作获得更高的精度．

笔者提出了一种应用于平行双关节坐标测量机的反转法的标定思想，属于分离标定法的范畴．分别利用反转法标定了平行度误差、零位误差以及臂长误差，最后通过实验比较了该测量机基于反转法的分离标定法测量精度同综合标定法的测量精度间的差异，证明了反转法的优势．

1 反转法的提出

图1为测量机整体结构示意．

平行双关节坐标测量机属于关节臂坐标测量机的一种，它主要依靠关节的转动实现测头空间位置的变换．为了提高测量精度，本测量机的旋转关节采用的是拥有更高回转精度的密珠轴系，但是密珠轴系的轴线并无实际的几何实体，这就对两个旋转关节之间的臂长的标定带来很大困难．此外，平行双关节坐标测量机的系统误差项较多，对某一项误差进行标定时，往往受到其他误差项的耦合干扰．为此，本文提出了“反转法”的标定思想．

图1 测量机整体结构示意Fig.1 Overall structure of the AACMM

反转法实际上利用的是中心对称的思想，利用对称的特性，从而根据特定的代数关系得到待求解的未知数．

如图2所示，对于平行双关节坐标测量机的一个旋转关节而言，假设某一臂的末端在A点有两项待测系统误差x、y，满足函数关系f(x,y)=a，这两项系统误差相互耦合，不易分离，若将该臂绕旋转关节旋转180°，在B点时满足关系式f(-x,y)=b ，则由简单的代数关系即可得出x、y的值．同时，将该臂旋转180°后可以较为容易地得到AB之间的长度，取其中心即可得到该旋转关节回转中心的位置，进而可以求得臂长．下面将以实际的标定过程详细阐述反转法在平行双关节坐标测量机的分离标定方法中的应用．

2 平行度误差的标定

仪器在生产装配过程中难免会引入各部分之间的平行度误差，而重力的原因也会使仪器的一些部位产生变形，从而产生一定的平行度误差[4-5]．本测量机需要标定的平行度误差有6项，定义为Δα1、Δα2、Δα3、Δβ1、Δβ2和Δβ3．如图3所示，在测量机的各个关节关键点处建立坐标系4和5，则Δα1与Δβ1分别表示旋转关节Ⅰ的轴线相对于铅垂线在O1,y1,z1平面内以及在O1,x1,z1平面内的平行度误差；Δα2与Δβ2分别表示旋转关节Ⅱ的轴线相对于旋转关节Ⅰ的轴线在O2,y2,z2平面内以及在O2,x2,z2平面内的平行度误差；Δα3与Δβ3分别表示直行部件的运动中心线相对于旋转关节Ⅱ的轴线在O3,y3,z3平面内以及在O3,x3,z3平面内的平行度误差．

图3 测量机坐标系建立示意Fig.3 Schematic diagram of measuring machine coordinate establishment

这6项平行度误差在测量机工作时级级传递，且受到重力因素的干扰，不易单独标定．利用反转法，问题可以迎刃而解．下面以平行度误差3αΔ的标定过程详细阐述反转法在平行度误差标定方面的应用．

平行度误差的标定可以借助方尺，调整测量机的姿态如图4所示，在操作平台上平行放置方尺1，调整其姿态使其侧面与长臂平行，固定旋转关节Ⅰ与旋转关节Ⅱ，由上文中平行度误差的定义可知，在图4中的姿态下，3αΔ是直行部件的运动中心线相对于旋转关节Ⅱ的轴线在Oxz平面内的平行度误差．

图4 平行度误差3αΔ的标定示意Fig.4 Schematic diagram for calibrating3αΔ

在直行部件的测杆上固定一个位移电感测头，调整方向使其与方尺轻触，假设此时电感测头的示数为μ1，操作手柄将其上移d，记录此时的示数μ2，电感测头在两处示值变化由多种原因造成，除了待求的平行度误差的影响之外还有3方面的影响，分析如下．

(1) 旋转关节Ⅰ的旋转量的影响．在标定过程中，旋转关节Ⅰ和Ⅱ在沿着z轴正方向顺时针旋转时圆光栅的读数将增大，电感测头被压缩时其读数也会增大．虽然旋转关节Ⅰ已固定，但是在操作过程中难免会有微小的转动，假设固定完成后旋转关节Ⅰ的圆光栅读数为δ，而在测量某点时实际读数为δ′，这个转动量将使电感测头示数增大μ1Δ，则

式中2l、3l分别为长臂与短臂的长度．

(2) 旋转关节Ⅱ的旋转量的影响．假设固定时旋转关节Ⅱ圆光栅读数为ξ，测量某点时的实际读数为ξ′，这个转动量将使电感测头示数增大μ2Δ，则

(3)直线导轨的运动误差的影响．直线导轨的运动误差标定方法较为常见[1,6]，标定时需要在两个方向上分别进行，若以图5所示的测量机状态为例，则需分别标定直线导轨在Oxz和Oyz平面内的运动误差，得到一个导轨在相应平面内偏转角Oxzφ、Oyzφ同直线光栅读数d之间的函数表达式，即

图5 偏角关系及测量示意Fig.5 Relationship of the angles when measuring

假设在测方尺的过程中，在某测量点处直线导轨在Oxz平面内的偏角为λ，定义在Oxz平面内沿着y轴的正方向看，顺时针方向的偏转为正，则该偏角将使电感测头读数增大μ3Δ，则

式中d4表示直线导轨上的滑块的几何中心与电感测头在测杆上的固定点之间的长度，此处可取设计值400,mm．

因此在测量方尺的某一点时，若电感测头读数为μ，其实际测量值μ′应为

则直行部件的运动中心线同方尺测量面的夹角ε为

式中1μ′与2μ′是利用式(6)得到的两次测量的实际测量值．

虽然上述方法中通过两点就可以得到运动中心线同方尺测量面的夹角，但往往误差比较大，为了进一步提高精度，可以拟合一条横坐标为直线光栅尺读数、纵坐标为电感测头实际测量值的直线，求出其斜率k，通过斜率即可得到直行部件的运动中心线同方尺测量面之间更精确的夹角ε1，即

该过程的实际标定数据如表1所示．

表1 ε1的标定数据Tab.1 Calibration data of ε1

直行部件运动中心线同方尺测量面之间的夹角ε1由多个偏角传递而来，其关系如图5所示，图中点划线代表铅垂线，细虚线表示旋转关节Ⅱ的轴线，α为两者之间的夹角，β为旋转关节Ⅱ的轴线同直行部件运动中心线之间的夹角，对此次标定而言，该夹角即为所要标定的3αΔ．σ1表示方尺的测量面同铅垂线之间的夹角，其值可以用水平仪测得．则图中各角度有如下关系：

式中σ1表示在该次测量中方尺的测量面同铅垂线之间的夹角．α由两部分构成：一是由重力原因造成的旋转关节Ⅰ的轴线同铅垂线之间在图5 Oxz平面内的平行度误差1βΔ；二是旋转关节Ⅱ轴线在Oxz平面内相对于旋转关节Ⅰ轴线的平行度误差2βΔ．因此，实际上在该标定姿态下可以得到如下方程：

式(10)包含1βΔ与2βΔ两个未知量，若能找到一处位置将这些未知量抵消，则可以完成3αΔ的标定，此时反转法的优越性就凸显出来了．旋转关节Ⅱ反转180°，如图6所示．

图6 平行度误差 Δα3反转后标定示意Fig.6 Schematic diagram for calibrating Δα3after reversal

同理，可以在该位置得到如下方程：

式中σ2为在该次测量中方尺的测量面同铅垂线之间的夹角，其值同样由水平仪测得．式(10)、式(11)联立可得3αΔ=40.435,7"．

反转法可以很方便地抵消干扰误差的影响，能够很精确地得到待求误差项，利用该方法，通过调整测量机、电感测头以及方尺的不同姿态，可以求得其他几项平行度误差，本文不再细述．

3 臂长的标定

由前文分析可知，反转法能够精确地找到旋转关节的回转轴线位置，进而求得臂长．下面将以短臂臂长的标定方法为例介绍反转法在臂长标定方面的应用．

本测量机在标定臂长时，借助了长度不等的标准棒作为长度基准，标准棒可由测长仪标定，其长度精度能够达到0.000,1,mm．如图7所示，首先选取一个400,mm的标准棒作为基准，能够标定出两个水平位移台端面之间的距离．

图7 水平位移台间距标定Fig.7 Distance calibration between two horizontal displacement tables

然后撤掉标准棒，调整测量机姿态，如图8所示，利用反转法的思想，通过水平位移台的微动以及两个电感测头的位移补偿作用，能够精确测得反转前后触发测头之间的距离12l．由于平行度误差的存在，需要做一定的变换才能求得短臂臂长3l，其表达式为

式中：D为触发测头同短臂的几何中心点在z轴方向的距离；3βΔ为前文所求的平行度误差．

图8 短臂臂长标定示意Fig.8 Calibration of the short arm length

调整水平位移台的间距，选取合适的标准棒，利用反转法同样能够测得长臂的长度，具体过程不再阐述．

4 零位误差的标定

本测量机旋转关节Ⅱ的零位指的是其长臂与短臂在一条直线上时的位置，该位置不易确定，但利用反转法可以巧妙地得到．

旋转关节Ⅱ的零位可以通过标定其90°位置间接得到，如图9所示，假设当测量机状态如图中实线部分所示时，长臂与短臂之间的夹角为δ，若此时测头距旋转关节Ⅰ的回转中心线的距离为d1，利用反转法将旋转关节Ⅱ旋转180°到图中虚线所示位置，此时测头距旋转关节Ⅰ的回转中心线的距离为d2，则图中各参量满足以下关系：

式中d1与d2可以利用标定臂长的方法标定得到．由此可得到δ的值，进而获得旋转关节Ⅱ的零位位置．

图9 零位误差标定示意Fig.9 Scheme of zero error calibration

5 反转法标定精度验证

平行双关节坐标测量机的几个难以标定的系统误差比如平行度误差、臂长误差、零位误差均可由反转法标定得到，其他的系统误差标定相对简单，可参考文献[6-8]，本文不再赘述．为了验证基于反转法的分离标定法的标定精度，可以将其同基于高斯-牛顿法的综合标定法的标定精度进行比较．

标定精度的高低可以通过使用本次标定结果的测量机的测量精度间接评判，而测量机精度的高低往往由其在测量范围内的测量不确定度来衡量，因此可以通过测量机在不同姿态及位置下测量标准量块来验证补偿效果．

分别使用基于高斯-牛顿法的综合标定法和基于反转法的分离标定法补偿后的坐标测量机，在其测量范围内随机的3个位置(1、2、3)分别对300,mm和500,mm的量块进行测量，误差补偿前后的测量数据如表2所示．

表2 分别使用综合标定法和分离标定法测量机测量量块的数据Tab.2 Experimental data of gauge blocks with the coordinate measuring machine based on integrated calibration method and separated calibration method mm

由表2可以计算得出，使用基于高斯-牛顿法的综合标定法测量不确定度uc=0.017,2,mm，此时测量机在(Φ200,mm～Φ1,000,mm)×250,mm的测量范围内包含因子k(k=2，k值是由0.95的置信概率与60的自由度通过查t分布表得到的)的展伸不确定度U1[9-14]为

用同样的方法可以得到使用基于反转法的分离标定法的展伸不确定度U2为

可见基于反转法的分离标定法的标定精度要比基于高斯-牛顿法的综合标定法的标定精度高3倍．

6 结 语

本文针对平行双关节坐标测量机的结构特点，提出了一种基于反转法的分离标定方法，并利用该方法对平行度误差、臂长误差和零位误差进行了标定．该方法操作简便，精度较高，而且实验结果表明，相对于综合标定法而言，在(Φ200,mm～Φ1,000,mm)× 250,mm的测量范围内包含因子k=2的展伸不确定度由0.034,4,mm提高到了0.010,0,mm，效果显著．

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(责任编辑：赵艳静)

Calibration of Articulated Arm Coordinate Measuring Machine with Two Parallel Rotational Axes Based on the Reversal Method

Qiu Zurong，Chen Bo，Li Xinghua
(State Key Laboratory of Precision Measuring Technology and Instruments，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

A separated calibration method of coordinate measuring machine with two parallel rotational axes based on the reversal method was presented in this paper，aiming at the calibration problems of articulated arm coordinate measuring machine(AACMM). The reversal method of calibration is explained，and the use of reversal method for parallelism error calibration，arm length error calibration and zero error calibration are described. This method is easy to operate，and its measurement uncertainty can be obtained by measuring gauge blocks within its measurement range. The experiment proves that the measurement uncertainty ofthe machine using the separated calibration method based on the reversal method is three times higher than that using the integrated calibration method based on the Gauss-Newton method

articulated arm coordinate measuring machine；calibration；error compensation

TH741

A

0493-2137(2014)06-0512-06

10.11784/tdxbz201210034

2012-10-18；

2012-12-17.

国防军工技术基础“十一五”科研计划资助项目(J072009B001).

裘祖荣（1958— ），男，教授.

裘祖荣，qiuzr @tju.edu.cn.