基于弹流润滑理论的双圆弧齿轮传动多目标优化设计

刘仪广，钱学毅，陈慧中，施强来

（武夷学院 机电工程学院，福建 武夷山 354300）

基于弹流润滑理论的双圆弧齿轮传动多目标优化设计

刘仪广，钱学毅，陈慧中，施强来

（武夷学院 机电工程学院，福建 武夷山 354300）

为提高双圆弧齿轮传动的综合技术经济指标，依据弹性流体动力润滑的理论，借助于改进的微分进化多目标优化技术及Matlab计算机仿真技术，通过建立同时追求齿面在一定范围内的纵向重合度最大、齿间最小油膜厚度最大及齿轮传动总体积最小的约束多目标优化设计数学模型，对双圆弧齿轮传动进行了有约束多目标优化设计。研究过程及结果表明，改进的微分进化多目标优化技术能有效地缩短产品的设计周期，提高产品的设计质量。

微分进化多目标优化算法；纵向重合度；约束多目标优化设计；弹性流体动力润滑

0 引言

由于双圆弧齿轮齿廓不受端面共轭条件限制，不易产生干涉，齿形参数比较灵活，制造工艺简单、成本低，因此在高速、重载、大功率机械传动中具有显著的优越性，尤其是在中小型发电站汽轮发电机组、工业汽轮机、燃气轮机、透平压缩机等行业应用更为突出。和有二百余年历史的渐开线齿轮相比，双圆弧齿轮无论在理论研究上，还是在设计方法上，都远不及渐开线齿轮那样成熟，都有待进一步深入研究。

本文根据弹性流体动力润滑的理论及双圆弧齿轮的啮合原理与设计方法，建立了同时追求齿面在一定范围内的纵向重合度最大、齿间最小油膜厚度最大及齿轮传动总体积最小的约束多目标优化设计数学模型，摈弃了传统的多目标优化设计方法，在修正微分进化多目标优化技术的基础上，通过范例，在追求综合性能最优的前题下对双圆弧齿轮传动进行了有约束多目标优化设计。

1 双圆弧齿轮传动齿间最小油膜厚度

对于双圆弧齿轮的胶合强度设计问题，目前尚无系统而深入的研究。文献[1～3]就双圆弧齿轮的冷胶合强度问题提出了如下的设计计算方法。

如图1两齿轮的节圆半径为R01和R02、端面压力角为αs、接触点移距为l。由于在端面上凸齿齿廓的圆弧半径（一般取为l）要比凹齿的圆弧半径略小，因而理论上圆弧齿轮的啮合应是点接触。但是经过磨合以后，轮齿接触部位迅速扩大到占整个齿高的60%～80%以上，这样，双圆弧齿轮的啮合实际上可以处理为两个圆弧圆柱体的线接触。柱体的半径为 RK1和 RK2，宽度为2L，圆弧面半径为l。

图1 圆弧齿轮传动Fig.1 Circular gear transmission

根据圆弧齿轮的啮合原理可以推导出与接触迹相切的两共轭齿面的法曲率半径RK1和RK2，即圆弧面柱体的半径分别为：

其中，β—螺旋角；RB1、RB2—接触迹所在圆柱的半径，由图1的几何关系可得：

沿齿高方向的接触宽为2L，一般选取：

L=l（αs-δ）Kmn（αs-δ）

其中：K—系数，通常K=1.5；mn—齿轮法面模数；δ—工艺角。

两圆弧面柱体的对滚速度即啮合点沿接触迹的线速度vK1和vK2为：

式中，v0—节圆的线速度。作用在轮齿上的法向力为Fn，则单位宽度上的载荷为Fn/2L。这样，相当于圆弧齿轮啮合的两个圆弧面柱体的几何尺寸、运动速度和载荷可由以上各式求出。然后，根据圆弧面柱体的几何和运动特点，近似地引用Dowson-Higginson线接触最小油膜厚度公式，并结合圆弧齿轮的情况进行简化处理，即可得到弹流润滑最小油膜厚度的计算公式，对于钢制圆弧齿轮采用矿物油润滑时，最小油膜厚度hmin为：

式中，η0—动力粘度 （Pa·s）。在近似计算时，上式中两个方括号中的后面一项都可以忽略不计，并且取

2 双圆弧齿轮传动的纵向重合度

双圆弧齿轮传动时，齿面接触点是沿轴向移动的。纵向重合度εβ表示一个齿面传递运动的富裕程度，用每一瞬时参与接触的轮齿上的点数和轮齿对数的周期变化来描述。纵向重合度对双圆弧齿轮传动的承载能力及传动的平稳性均有重大的影响[4]。合理选用纵向重合度，可以提高双圆弧齿轮传动的承载能力，减轻振动和噪声。

3 微分进化约束多目标优化算法

微分进化算法（Differential Dvolution，DE）是近来提出的简单而高效的多目标进化算法，目前国内外的相关研究[5～8]主要集中在算法性能的改进与完善上。但这些研究还仅限于对数学测试函数的研究，在实际工程应用上还存在一些问题，尚需改进。

3.1 现有微分进化技术在机械设计中存在的问题

机械设计中的多目标优化设计往往是在复杂而苛刻的约束条件下进行。当利用现存的算法[9～10]进行迭代时，会发生下面的问题：①在进行变异和交叉操作产生的新个体有可能在可行域内，也有可能在不可行域内，而支配关系的比较和极大极小距离密度的计算都是在目标函数空间中进行的，不可行域内的个体产生的目标函数完全有可能支配可行域内的个体产生的目标函数，其密度值的计算也同样具有不确定性，这样删除的很可能将是有用的个体，保留的将是无用的个体。最后迭代出的结果很可能毫无意义；②若变异和交叉操作只在可行域内进行，则每产生一个新个体都要进行可行性检验，满足约束条件则保留，不满足约束条件则罚掉，再重新搜索，直到满足约束条件为止。设计实践表明，复杂而苛刻的约束条件不但会使收敛速度慢得让人难以接受，而且约束边界上的目标个体还很容易使程序陷入死循环。

3.2 机械工程实用多目标微分进化算法

为解决前述多目标微分进化算法所产生的问题，使迭代高速有效，避免程序进入死循环，提出算法如下：

（1）设置初始参数：向量维度D、初始群体规模 NP、缩放因子F、交叉常量CR、最终可行解规模N。

（2）在可行域内随机生成初始群体P，规模为NP。

（3）将群体P中的非劣解加入Pareto候选解集中。

（4）在无约束条件下，用DE的变异和交叉操作，对群体P和Pareto候选解集中的每一目标个体x都生成一个新个体x′。

（5）对每一个新个体x′都进行可行性检验，满足约束条件的保留，否则直接罚掉。

（6）将所有目标个体和满足约束条件的新个体一起构成群体T。

（7）如果Pareto候选解集的规模没有达到规定的大小，将所获得的非劣解直接加入到Pareto候选解集中，直到达到候选解集的设定规模；否则，比较个体间的支配关系，保留支配个体，丢弃被支配个体，直到达到候选解集的规模；如果所有被支配个体都丢弃以后，候选解集的规模仍超过设定值N，则计算Pareto候选解集中每一个体的极大极小距离密度，并删除密度值最大的个体，直到达到候选解集的设定规模。

（8）如果满足中止条件，停止迭代，否则返回（4）。

4 优化范例

（1）算例描述：功率P=9000kW，转速n1=6054r/min，n2= 1485r/min，每天24小时连续运行，持久寿命设计。大小齿轮材料均选用42CrMo，单级人字齿轮结构，齿形GB/T12759为—1991标准双圆弧齿廓，齿轮精度不低于6级 （GB/T15753—1995）。

（2）选取 5个设计变量：X=[X1,X2,X3,X4,X5]T。式中：X1—小齿轮齿数；X2—法向模数；X3—齿宽系数；X4—螺旋角；X5—齿端修薄长度。

（3）建立目标函数：①将齿轮传动总体积V（X）=f1（X）最小作为第一个追求的目标；②将最小油膜厚度 hmin最大（即倒数最小）作为第二个追求的目标，hmin的计算按式①进行；③将纵向重合度最大（即倒数最小）作为另一个追求的目标。式中：b—经修薄后单侧齿宽 （mm），b=—小齿轮分度圆直径d2—大齿轮分度圆直径（mm），d2=4.077d1。

（4）确定约束条件：依据文献[11]和工程经验确定约束条件及限定设计变量的上下界。

（5）优化计算：用Matlab进行程序设计计算，设置初始参数：D=6、NP=50、F=0.35、CR=0.6、N=100，循环200次，结果得到100组可行解及相应的目标函数值。以 f1（X）、f2（X）和 f3（X）为目标函数的非劣最优目标域如图2所示。

根据程序运行结果，从中选取3个目标函数都接近最小值，综合性能最佳的一组结果（决策者也可根据自己的偏好选择其他的结果）作为最终方案：

图2 非劣最优目标域Fig.2 The pareto optimal front

式中：φa—齿宽系数；c—齿端修薄长度 （其它符号意义同前）。总体积V（X）=0.4412×108mm3，最小油膜厚度hmin=11.790μm，纵向重合度εβ=2.7211。

5 结论

本文改进了基于极大极小距离密度的多目标微分进化算法，并应用该方法对双圆弧齿轮传动范例成功地进行了优化。优化设计出的双圆弧齿轮传动即具有较高的胶合强度、接触疲劳强度、较好的平稳性及啮合特性，又具有较低的产品成本。能够充分地发挥圆弧齿轮传动系统的潜质，比传统的多目标优化设计方法及通过每一单目标进行优化的现代方法具有明显的科学合理性。

[1]温诗铸，黄平.摩擦学原理[M].北京：清华大学出版社，2002.

[2]刘莹，刘洲，肖力天，等.圆弧齿轮弹性流体动力润滑计算[J].南昌大学学报（工科版），1997，2.

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[4]陈谌闻.圆弧齿圆柱齿轮传动[M].北京：高等教育出版社，1995.

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[8]张利彪，许相莉，马铭，等.基于微分进化求解多目标优化问题中的退化现象[J].吉林大学学报（工学版），2009，4.

[9]张利彪.基于粒子群和微分进化的优化算法研究[D].吉林大学计算机科学与技术学院，2007.

[10]张利彪，周春光，马铭，等.基于极大极小距离密度的多目标微分进化算法[J].计算机研究与发展，2007，1.

[11]齿轮手册编委会.齿轮手册[M].北京：机械工业出版社，2005.

Multi-objective Optimal Design of a Double Circular Gear Based on the Elastohydrodynamic Lubrication Theory

LIU Yi-Guang，QIAN Xue-Yi，CHEN Hui-Zhong，SHI Qiang-Lai
（College of Mechanical&Electrical Engineering,Wuyi University,Wuyi Mountain Fujian 354300,China）

In order to improve the comprehensive technical and economic indicators of a double circular gear,based on the elastohydrodynamic lubrication theory,by use of the modified differential evolution multi-objective optimization technique and MATLAB computer simulation technology,constrained Multi-objective optimization design model was established with the maximum tooth surface longitudinal contact ratio in a certain range and the maximum value of the film smallest thickness between gear teeth and the minimum total volume of gear transmission,constrained multi-objective optimization design of a double circular gear was done.According to the research process and results,by use of the improved differential evolutionary multi-objective optimization technique,the design cycle of product can be shorten effectively,the design quality of product can be improved.

differential evolution multi-objective optimal algorithm；longitudinal contact ratio；multi-objective optimization design with constraint；elastohydrodynamic lubrication

TH132.416

：Adoi:10.3969/j.issn.1002-6673.2014.03.036

1002－6673（2014）03－090－03

2014－04－08

福建省自然科学基金项目（2012D128）；福建省大学生创新性实验计划项目（sj201210397752）

刘仪广（1991-），男，河南商丘人，本科学生。研究方向：机械结构优化设计及有限元分析。