巧用四法 解决不等式的证明问题

蒋钰香

摘 要：学生若不能熟练地掌握不等式的证明方法，则需要一定的知识总结以及方法归纳技巧。教师应该对此加以重视，认真对待，经常进行练习和总结，让学生找到属于自己的不等式证明方法。本文拟从比较法、分析法、放缩法和归纳法四个角度对不等式的证明问题进行探析。

关键词：高中数学 不定式证明 方法探析

不等式证明是高中数学的重点内容，也是难点内容。在高考的数学试卷中，不等式的证明问题一般是压轴题或者是压轴题的一部分。要想掌握高中数学不等式的证明方法，需要长期坚持相关问题的练习，也需要一定的知识总结和方法归纳技巧。数学是练习思维的学科，是提升学生思维转换能力的基础学科，也是实用的学科，数学知识对于理工科的其他学科的学习都有帮助，只有学好数学，才能为其他学科的学习打下基础，才能为以后的学习生活做好铺垫。而关于不等式的证明问题，是锻炼思维的问题，也是容易激发想象力和辩证思考能力的问题，所以，对于不等式的证明问题，我们应该加以重视，认真对待，经常进行练习和总结，让学生找到属于自己的不等式证明方法。

一、比较法证明，直观易解

在小学数学学习中，学生就已经接触到比较大小的问题了。关于比较法的学习，学生已经有了一定的基础，对于比较法的思想，也很容易掌握。不过高中数学相对于小学数学来说，在比较大小的问题上难度有所加大，并且在比较类型上涉及更广泛，不再只是简单的数字之间的比较，而是转化到代数式之间、函数之间的比较，有时候也牵涉图形相关方面的比较。

比较法有两种方式：一种是作差比较，一种是作商比较。作差比较是将不等式两边的代数式转换到一边，进行作差比较，设这个作差代数式为函数，并分析这个函数的大小，证明出其与0之间的关系，从而达到证明的目的。作商比较法，是在知道不等式两边的代数式的正负后，将其作商转换到一边，通过与1相比较，得出这个问题的证明结果。

比如：作差比较法——要证明a>b，只要证明a-b>0。

例题总结：这两题都是关于比较法在不等式中的应用解题。在例题1中，关于对数的问题，可以利用对数性质，也就是换底公式来达到目的。在例题2中，是比较法中的作商法，在高中数学关于代数式的相关证明过程中，因为没有数字关系，所以具有一定的抽象性。解题时，进行对比分析，可以发现左右两边存在着一定的对称性，又由于都是正数，所以可以想到将其作商，最后得出答案。

二、分析法证明，思路清晰

分析法类似于反证法，但是相比于反证法，它又是从证明要求的正面进行分析的，最后直接分析出结论的正确性。分析法，首先从要证明的不等式出发，为了寻找不等式成立的充分条件而努力。为此，一步步往前追溯，可能是为了寻找符合题目的已知条件，也可能是为了符合一些定理，直到得到这两个可能性中的一个即可。

例题总结：例题3从形式上观察其规律，学生不能很容易地找到一些特点。再观察，也没有发现其与我们学习过的定理或者类似结论有什么牵连。在这种情况下，可以采取分析法证明该例题。利用分析法证明不等式，需要有清晰的解题思路，不能思维混乱。要有严格的格式，一步步进行推理，直到得出题目中给出的证明结论（利用某些定理或者题目的已知条件得出）。

从该题目的解答过程可以看出，这是分析法与综合法综合运用的结果。在解答时，要注意格式的规范性，比如：分析法的书写过程应该是：“欲证……需证……”综合法的书写过程是：“因为（∵）……所以（∴）……”在这两种方法进行综合运用时，不能弄混，要理清思路，从容应对。

三、放缩法证明，适当变换

放缩法是利用不等式的传递性，适当地放大或缩小，从而证明不等式的方法。它也是分析法的一种特殊情况，它根据的是不等式的传递性： a≤b，b≤c，则a≤c，只要证明大于或等于a的b小于或等于c就行了。

放缩法一般包括：缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和。

四、归纳法证明，实用客观

数学归纳法，先证明在起步的条件时首项成立，再证明通项也成立，以此类推，得出整体项都成立。数学归纳法是高中数学的常考知识点，对于学生的归纳分析和推理思考能力都有一定的促进作用。在高中数学的教学过程中，数学教师要注重数学归纳法的几个重点，将其清晰而明确的教授给学生，使得学生能够建立完整的知识框架，利用数学归纳法，巧解数学不等式的证明题目。

例题5： 观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。

{an=n2}：1，4，9，16，25，36，49，64，81 …

{bn=2n}：2，4，8，16，32，64，128，256，512 …

解答：猜想： 从第5项起，an< bn，即n2<2n，n∈N+

（n≥5）。

（1）当 n=5时，有52<25，命题成立。

（2）假设当n=k（k≥5）时命题成立，

即k2<2k，

当 n=k+1时，因为

（k+1）2=k2+2k+1

所以，（k+1）2<2k+1.

即n=k+1时，命题成立。

由（1）（2）可知，n2<2 （n∈N+，n≥5）.

例题总结：利用数学归纳法证明不等式的过程：首先取n为初始值时，命题成立。然后假设n=k（k>n）时命题也成立。利用这个条件，得出n=k+1时，命题也成立。当满足了这两个条件以后，证明命题对于题设所给条件成立。数学归纳法要求学生先猜想、后证明。在训练的过程中，指导学生学习数学的一般方法，并且培养学生分析问题、解决问题的能力。在不断学习数学的过程中，培养学生的创新意识和解决实际问题的能力，从而为社会培养更多的人才。

高中数学不等式，不是能被忽略的内容，也不是能被一笔带过的知识点。对高中数学不等式的证明的学习，是比较漫长的过程，贯穿于高中的每个学期，也贯穿于每个章节的相关知识点中。在学习高中数学不等式时，我们要站在宏观的角度，首先根据题目分析题眼，找出关键点和突破口，然后根据挖掘出的隐含条件，寻找对应的解题方法。有时候，解题方法不是唯一的，学生应该挑选最适合自己的或者自己最有把握的方法，最终获得成功。

摘 要：学生若不能熟练地掌握不等式的证明方法，则需要一定的知识总结以及方法归纳技巧。教师应该对此加以重视，认真对待，经常进行练习和总结，让学生找到属于自己的不等式证明方法。本文拟从比较法、分析法、放缩法和归纳法四个角度对不等式的证明问题进行探析。

关键词：高中数学 不定式证明 方法探析

不等式证明是高中数学的重点内容，也是难点内容。在高考的数学试卷中，不等式的证明问题一般是压轴题或者是压轴题的一部分。要想掌握高中数学不等式的证明方法，需要长期坚持相关问题的练习，也需要一定的知识总结和方法归纳技巧。数学是练习思维的学科，是提升学生思维转换能力的基础学科，也是实用的学科，数学知识对于理工科的其他学科的学习都有帮助，只有学好数学，才能为其他学科的学习打下基础，才能为以后的学习生活做好铺垫。而关于不等式的证明问题，是锻炼思维的问题，也是容易激发想象力和辩证思考能力的问题，所以，对于不等式的证明问题，我们应该加以重视，认真对待，经常进行练习和总结，让学生找到属于自己的不等式证明方法。

一、比较法证明，直观易解

在小学数学学习中，学生就已经接触到比较大小的问题了。关于比较法的学习，学生已经有了一定的基础，对于比较法的思想，也很容易掌握。不过高中数学相对于小学数学来说，在比较大小的问题上难度有所加大，并且在比较类型上涉及更广泛，不再只是简单的数字之间的比较，而是转化到代数式之间、函数之间的比较，有时候也牵涉图形相关方面的比较。

比较法有两种方式：一种是作差比较，一种是作商比较。作差比较是将不等式两边的代数式转换到一边，进行作差比较，设这个作差代数式为函数，并分析这个函数的大小，证明出其与0之间的关系，从而达到证明的目的。作商比较法，是在知道不等式两边的代数式的正负后，将其作商转换到一边，通过与1相比较，得出这个问题的证明结果。

比如：作差比较法——要证明a>b，只要证明a-b>0。

例题总结：这两题都是关于比较法在不等式中的应用解题。在例题1中，关于对数的问题，可以利用对数性质，也就是换底公式来达到目的。在例题2中，是比较法中的作商法，在高中数学关于代数式的相关证明过程中，因为没有数字关系，所以具有一定的抽象性。解题时，进行对比分析，可以发现左右两边存在着一定的对称性，又由于都是正数，所以可以想到将其作商，最后得出答案。

二、分析法证明，思路清晰

分析法类似于反证法，但是相比于反证法，它又是从证明要求的正面进行分析的，最后直接分析出结论的正确性。分析法，首先从要证明的不等式出发，为了寻找不等式成立的充分条件而努力。为此，一步步往前追溯，可能是为了寻找符合题目的已知条件，也可能是为了符合一些定理，直到得到这两个可能性中的一个即可。

例题总结：例题3从形式上观察其规律，学生不能很容易地找到一些特点。再观察，也没有发现其与我们学习过的定理或者类似结论有什么牵连。在这种情况下，可以采取分析法证明该例题。利用分析法证明不等式，需要有清晰的解题思路，不能思维混乱。要有严格的格式，一步步进行推理，直到得出题目中给出的证明结论（利用某些定理或者题目的已知条件得出）。

从该题目的解答过程可以看出，这是分析法与综合法综合运用的结果。在解答时，要注意格式的规范性，比如：分析法的书写过程应该是：“欲证……需证……”综合法的书写过程是：“因为（∵）……所以（∴）……”在这两种方法进行综合运用时，不能弄混，要理清思路，从容应对。

三、放缩法证明，适当变换

放缩法是利用不等式的传递性，适当地放大或缩小，从而证明不等式的方法。它也是分析法的一种特殊情况，它根据的是不等式的传递性： a≤b，b≤c，则a≤c，只要证明大于或等于a的b小于或等于c就行了。

放缩法一般包括：缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和。

四、归纳法证明，实用客观

数学归纳法，先证明在起步的条件时首项成立，再证明通项也成立，以此类推，得出整体项都成立。数学归纳法是高中数学的常考知识点，对于学生的归纳分析和推理思考能力都有一定的促进作用。在高中数学的教学过程中，数学教师要注重数学归纳法的几个重点，将其清晰而明确的教授给学生，使得学生能够建立完整的知识框架，利用数学归纳法，巧解数学不等式的证明题目。

例题5： 观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。

{an=n2}：1，4，9，16，25，36，49，64，81 …

{bn=2n}：2，4，8，16，32，64，128，256，512 …

解答：猜想： 从第5项起，an< bn，即n2<2n，n∈N+

（n≥5）。

（1）当 n=5时，有52<25，命题成立。

（2）假设当n=k（k≥5）时命题成立，

即k2<2k，

当 n=k+1时，因为

（k+1）2=k2+2k+1

所以，（k+1）2<2k+1.

即n=k+1时，命题成立。

由（1）（2）可知，n2<2 （n∈N+，n≥5）.

例题总结：利用数学归纳法证明不等式的过程：首先取n为初始值时，命题成立。然后假设n=k（k>n）时命题也成立。利用这个条件，得出n=k+1时，命题也成立。当满足了这两个条件以后，证明命题对于题设所给条件成立。数学归纳法要求学生先猜想、后证明。在训练的过程中，指导学生学习数学的一般方法，并且培养学生分析问题、解决问题的能力。在不断学习数学的过程中，培养学生的创新意识和解决实际问题的能力，从而为社会培养更多的人才。

高中数学不等式，不是能被忽略的内容，也不是能被一笔带过的知识点。对高中数学不等式的证明的学习，是比较漫长的过程，贯穿于高中的每个学期，也贯穿于每个章节的相关知识点中。在学习高中数学不等式时，我们要站在宏观的角度，首先根据题目分析题眼，找出关键点和突破口，然后根据挖掘出的隐含条件，寻找对应的解题方法。有时候，解题方法不是唯一的，学生应该挑选最适合自己的或者自己最有把握的方法，最终获得成功。

摘 要：学生若不能熟练地掌握不等式的证明方法，则需要一定的知识总结以及方法归纳技巧。教师应该对此加以重视，认真对待，经常进行练习和总结，让学生找到属于自己的不等式证明方法。本文拟从比较法、分析法、放缩法和归纳法四个角度对不等式的证明问题进行探析。

关键词：高中数学 不定式证明 方法探析

不等式证明是高中数学的重点内容，也是难点内容。在高考的数学试卷中，不等式的证明问题一般是压轴题或者是压轴题的一部分。要想掌握高中数学不等式的证明方法，需要长期坚持相关问题的练习，也需要一定的知识总结和方法归纳技巧。数学是练习思维的学科，是提升学生思维转换能力的基础学科，也是实用的学科，数学知识对于理工科的其他学科的学习都有帮助，只有学好数学，才能为其他学科的学习打下基础，才能为以后的学习生活做好铺垫。而关于不等式的证明问题，是锻炼思维的问题，也是容易激发想象力和辩证思考能力的问题，所以，对于不等式的证明问题，我们应该加以重视，认真对待，经常进行练习和总结，让学生找到属于自己的不等式证明方法。

一、比较法证明，直观易解

在小学数学学习中，学生就已经接触到比较大小的问题了。关于比较法的学习，学生已经有了一定的基础，对于比较法的思想，也很容易掌握。不过高中数学相对于小学数学来说，在比较大小的问题上难度有所加大，并且在比较类型上涉及更广泛，不再只是简单的数字之间的比较，而是转化到代数式之间、函数之间的比较，有时候也牵涉图形相关方面的比较。

比较法有两种方式：一种是作差比较，一种是作商比较。作差比较是将不等式两边的代数式转换到一边，进行作差比较，设这个作差代数式为函数，并分析这个函数的大小，证明出其与0之间的关系，从而达到证明的目的。作商比较法，是在知道不等式两边的代数式的正负后，将其作商转换到一边，通过与1相比较，得出这个问题的证明结果。

比如：作差比较法——要证明a>b，只要证明a-b>0。

例题总结：这两题都是关于比较法在不等式中的应用解题。在例题1中，关于对数的问题，可以利用对数性质，也就是换底公式来达到目的。在例题2中，是比较法中的作商法，在高中数学关于代数式的相关证明过程中，因为没有数字关系，所以具有一定的抽象性。解题时，进行对比分析，可以发现左右两边存在着一定的对称性，又由于都是正数，所以可以想到将其作商，最后得出答案。

二、分析法证明，思路清晰

分析法类似于反证法，但是相比于反证法，它又是从证明要求的正面进行分析的，最后直接分析出结论的正确性。分析法，首先从要证明的不等式出发，为了寻找不等式成立的充分条件而努力。为此，一步步往前追溯，可能是为了寻找符合题目的已知条件，也可能是为了符合一些定理，直到得到这两个可能性中的一个即可。

例题总结：例题3从形式上观察其规律，学生不能很容易地找到一些特点。再观察，也没有发现其与我们学习过的定理或者类似结论有什么牵连。在这种情况下，可以采取分析法证明该例题。利用分析法证明不等式，需要有清晰的解题思路，不能思维混乱。要有严格的格式，一步步进行推理，直到得出题目中给出的证明结论（利用某些定理或者题目的已知条件得出）。

从该题目的解答过程可以看出，这是分析法与综合法综合运用的结果。在解答时，要注意格式的规范性，比如：分析法的书写过程应该是：“欲证……需证……”综合法的书写过程是：“因为（∵）……所以（∴）……”在这两种方法进行综合运用时，不能弄混，要理清思路，从容应对。

三、放缩法证明，适当变换

放缩法是利用不等式的传递性，适当地放大或缩小，从而证明不等式的方法。它也是分析法的一种特殊情况，它根据的是不等式的传递性： a≤b，b≤c，则a≤c，只要证明大于或等于a的b小于或等于c就行了。

放缩法一般包括：缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和。

四、归纳法证明，实用客观

数学归纳法，先证明在起步的条件时首项成立，再证明通项也成立，以此类推，得出整体项都成立。数学归纳法是高中数学的常考知识点，对于学生的归纳分析和推理思考能力都有一定的促进作用。在高中数学的教学过程中，数学教师要注重数学归纳法的几个重点，将其清晰而明确的教授给学生，使得学生能够建立完整的知识框架，利用数学归纳法，巧解数学不等式的证明题目。

例题5： 观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。

{an=n2}：1，4，9，16，25，36，49，64，81 …

{bn=2n}：2，4，8，16，32，64，128，256，512 …

解答：猜想： 从第5项起，an< bn，即n2<2n，n∈N+

（n≥5）。

（1）当 n=5时，有52<25，命题成立。

（2）假设当n=k（k≥5）时命题成立，

即k2<2k，

当 n=k+1时，因为

（k+1）2=k2+2k+1

所以，（k+1）2<2k+1.

即n=k+1时，命题成立。

由（1）（2）可知，n2<2 （n∈N+，n≥5）.

例题总结：利用数学归纳法证明不等式的过程：首先取n为初始值时，命题成立。然后假设n=k（k>n）时命题也成立。利用这个条件，得出n=k+1时，命题也成立。当满足了这两个条件以后，证明命题对于题设所给条件成立。数学归纳法要求学生先猜想、后证明。在训练的过程中，指导学生学习数学的一般方法，并且培养学生分析问题、解决问题的能力。在不断学习数学的过程中，培养学生的创新意识和解决实际问题的能力，从而为社会培养更多的人才。

高中数学不等式，不是能被忽略的内容，也不是能被一笔带过的知识点。对高中数学不等式的证明的学习，是比较漫长的过程，贯穿于高中的每个学期，也贯穿于每个章节的相关知识点中。在学习高中数学不等式时，我们要站在宏观的角度，首先根据题目分析题眼，找出关键点和突破口，然后根据挖掘出的隐含条件，寻找对应的解题方法。有时候，解题方法不是唯一的，学生应该挑选最适合自己的或者自己最有把握的方法，最终获得成功。