基于熵权法的学习成绩分析与提升策略研究

于可心

摘 要：通过考试来检验学生的阶段性学习成效是当前高中学校采取的最主要的考察手段，但在学习科目多、时间紧的情况下如何根据考试成绩采取科学合理的改进措施一直是教师和学生面临的一个难题。文章将信息熵及熵权法的概念引入学生的考试成绩评价分析，设计了一个基于熵权的成绩提升策略判断矩阵和成绩分析折线图，根据判断矩阵和折线图，学生可快速确定自身当前最需改进和最容易改进的薄弱课程，进而制定科学的学习提升策略，不断提升学生的考试成绩。

关键词：熵 熵权法 成绩评价 提升策略

中图分类号：G252.62 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）02（a）-0001-03

通过考试来判断学生的学习效果是当下大部分高中采取的最主要考察方式，根据笔者所在地区大多数高中的教学情况，学生每学期一般至少要进行两次阶段性考试和期中、期末等四次考试，尽管每次考试后学校都进行考试分析，教师也都会与同学进行个别座谈，但效果并不尽理想，因为各科教师除与学生交流考试问题所在及如何采取合理的学习方法外，往往都要求学生在本科目上要花费更多的学习尽快赶上，但学生往往会感到很茫然[1-2]，面对多达9门的学习课程，如何合理分配各科学习时间，优先解决哪门课的学习能尽快缩小与他人的学习差距，提振学习信心和学习兴趣是很多学生面临的一个难题[3-5]，这导致很多学生感到无所适从，在这种压力下，有的学生甚至会自暴自弃，对学习更加没有动力[6]。在多课程中快速找到能尽快提升成绩的课程，是现代管理学中的一个多目标综合判断和优化问题[7]，本文针对这一问题，结合信息论中的信息熵原理，通过熵权法[8]客观判断每位学生当前的最优提升课程，并给出了一个判断矩阵和折线图，协助学生对最需改进和最容易改进的薄弱课程进行优先考虑，快速提高学生的学习成绩。

1 熵与熵权法

熵本来是热力学中的一个概念，是对物理系统无序性或紊乱程度的一种度量，根据最大熵原理，一个孤立系统的熵总是自发地趋于极大，至最大时系统趋于平衡。1948年，C.E.Shannon[9]将熵引入信息论，用于评价离散系统的不确定性，称之为信息熵。基于信息熵原理设计的熵权法是一种在综合考虑各因素所提供信息熵的基础上，客观确定各评价指标的相对权重，并对评价结果进行比较评价的一种决策评价算法。熵权法的实现步骤一般包括原始数据矩阵标准化、各指标信息熵计算、各指标熵权计算、各样本单位评价分值计算等四个步骤。该文中，我们将结合实例，对熵权法的计算过程进行描述。

2 数据来源

该文选取某高中高一某班的某次段考的10名同学考试成绩作为分析案例，段考包含语文、数学、英语、政治、历史、地理、物理、化学、生物9门课程，其中政治、历史、地理满分为50分，其他课程满分为100分，该10名同学考试总成绩在班级的名次分列第1、5、10……45名，具体数据见表1。因10名同学在同一班级，任课教师及班级管理等师资条件完全相同，但考试成绩却相差较大，对这10名同学来说，该如何根据段考成绩来调整各科目的学习时间从而使得考试成绩最优呢？

3 数据处理

表一中的原始数据可以看成一个矩阵，，其中，表示学生数，，表示课程数，。

3.1 数据标准化处理

数据标准化处理是建立数据间可比较性的基础，一般包含两个步骤，一是数据同趋化处理，即所有数据变化趋势所表征的性质必须相同，在本例中，数值越大表示考试成绩越好，不需进行同趋化处理；二是无量纲化处理，所有数据都需统一到同一量纲下，从而解决数据的可比性问题，由于各科目满分成绩有的是100分，有的是50分，因此需要进行无量纲化处理，本例中采取成绩权重归一化方法进行无量纲化数据处理，形成标准化矩阵。其中：，其中，表示学生数，，表示课程数，，标准化后数据见表2。

3.2 计算各课程考试成绩的信息熵

根据标准化矩阵可以计算各指标的信息熵[10]。令表示第个指标的熵，则计算公式为：

假定：当时，，令为波尔兹曼常数。

各课程考试成绩的信息熵H（i）见表3。

3.3 求各课程考试成绩的熵权

假设为第个指标的熵权，计算的公式为：

，

由上述计算步骤不难看出，如果某个指标的信息熵越小，就表明其指标值的变异程度越大，提供的信息量也越大，则其权重也就越大。各评价指标的熵权w（i）见表4。

4 结果分析与应用

由信息熵定义可知，如果某门课程考试成绩的信息熵越大，那么同学间成绩的差异就会越小，当所有同学成绩相同时，信息熵达到最大值。根据表三可知，L1、L7、L9三门课程的信息熵位居各科前三名，说明这三门课程成绩差异不大，大多数同学的成绩都位于一个相对集中的分数段，从表一原始成绩中也能看出这一趋势，例如信息熵最大的L1所代表的语文课程，成绩分布区间都集中在69-82分数段，不像其他课程考试分数离散程度那么大；而信息熵最小的L4所代表的政治课程，在总分50分的情况下，成绩分布区间却离散在24-44分数段。

表四的熵权信息表所反映的是某门课程在学生成绩评价和排名中的重要程度，一门课程的熵权越大，表示该课程成绩对学生总体成绩的影响就越大，而该门课程成绩越高，对总成绩的排名贡献度也会越大。从各门课程熵权的排序看，信息熵越小，熵权越大，熵权排序也越靠前。表四中L4、L2、L6三门课程的熵权排序在前三位，这表明本次考试中，这三门课程的成绩对学生总体成绩排名的贡献最大。

在教学、师资、管理等外部条件都相同的情况下，某门课程的熵权最大、信息熵最小，这说明学生对这门课程学习效果差异较大，由于外部条件基本相同，可以说这种差异主要来自学生自身的内部学习动力，成绩较差的同学应该对该门课程引起足够重视。从另一个方面看，差异大，也说明有一批同学对该门课程学习很好，可学习和借鉴的经验也较多，也容易形成互帮互助的氛围，成绩较差的同学提升成绩也较容易。基于这一理论，我们设计了一个交叉判断矩阵来快速确定每个同学的优先提升课程，具体见表5。

表中横坐标是课程，括号内数字是熵权排序，表中数据是学生各科成绩排名，为了便于分析，表中只标注了成绩排序后四位的排名，其中分数相同的排名也相同，根据表五，熵权排序第一的是L4，同学S9在该科目排名最后，因此该科目应该引起该同学的足够重视，而同学S3、S4在该科目排名也较后，也应当引起重视。熵权排第二的L2课程中，同学S7、S8、S6由于排名靠后，所以在今后的学习中，应该对该门课程引起重视。根据熵权和成绩排序，学生可以在交叉判断矩阵中找到自己需要提升的科目。

图1给出了S1、S5、S9三位同学的标准化成绩折线图，学生也可以通过图一所示的折线图来确定自己的优先改进科目。S9同学的L4课程在自己的9门课程中排序靠后，而L4课程熵权排序第一，因此应选择该门课作为优先改进的课程，这一结果与表五的判断矩阵的判断结果一致。S5同学在自己的成绩折线图上也是L4课程排序最低，因此也应优先重视该课程的提升工作，另外从折线图上看，该同学所有课程成绩都比较均衡，在提升L4课程的同时，也可根据熵权对L2、L6、L8等熵权较大的课程进行优先提升工作。S1在年级排名第一，各科成绩都名列前茅，他应该如何选择自己的优先改进课程呢？相对其他课程考试成绩，该同学L1、L3、L5、L9四门课相对较低，熵权排序分别为9、5、6、7，根据熵权理论，应确定熵权排序第五的L3课程作为优先改进课程。

课程L1信息熵最大，熵权最小，但从学生的成绩得分来看并不高，造成这种现象原因可能有二，或者试卷难度偏大，或者学生总体学习效果不理想，任课教师可以从外延和内涵两个方面来探索该门课程的教学努力方向，从外延来说，可以对比其他班级的考试成绩，若与其他班级比成绩较好或没有明显差距，基本可推断出是试卷难度偏大问题。若与其他班级比有明显差距，则要从自身的教和学生的学两方面进行反思如何提升教学效果，具体办法是将学生各题的得分进行熵权分析，找出薄弱环节进行改进。

5 结语

熵权法是一种根据评价指标信息熵进行多目标决策的客观权重赋值算法，通过分析及实例演示，说明该方法可以很好地用于学生的学习改进中，及时帮助学生快速找出自己的优先改进课程，同时由于这是一种客观赋值算法，很容易通过构造评价策略交叉判断矩阵并在计算机上快速实现，对学生学习具有较大的帮助作用。另外，由于熵权法各项指标的客观权重不是固定不变的，下次考试后，会随着各科成绩的变化即时变化，因此能及时有效地指导学生优先改变自己的弱项课程，使得学生的提升目标具有很强的目的性。在这种及时指导和反馈下，每位学生都会不断改进自己权重较大的弱项目标，从而会使得该门课程的信息熵不断增大，熵权不断减小，而随着熵权降低，学生优先提升目标就会逐步转向其他熵权较大的弱项课程，从而使得学习成绩不断得到提升。

参考文献

[1] 赵晶，陈传锋.中学生学习状况的衡量维度探析[J].天津师范大学学报（基础教育版），2011（12）：22-26.

[2] 王婷婷.高中生自主学习状况的调查研究[J].宁波大学学报（教育科学版）， 2007（29）：15-19.

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[4] 吴申梅.高中生学习心理压力的来源及初步对策[J].教育教学论坛， 2013（25）：259-260.

[5] 龙安邦，范蔚，金心红.中小学生学习压力的测度及归因模型构建[J].教育学报，2013（9）：121-128.

[6] 彭霞.浅谈青少年学习压力的成因与对策[J].中国校外教育，2012（23）：34-35.

[7] 邱莞华.管理决策与应用熵学[M].北京：机械工业出版社，2002.

[8] 贾艳红，赵军，南中仁，等.熵权法在草原生态安全评价研究中的应用[J].干旱区资源与环境，2007（21）：17-21.

[9] SHANNON C E.Communication Theory of Secrecy Systems[J].Bell Systems Technical Journal，1948，28（4）：656-715.

[10] 王芸凤.熵权法在高校大型仪器设备招标评价中的应用[J].实验室研究与探索，2011（30）：176-179.

表中横坐标是课程，括号内数字是熵权排序，表中数据是学生各科成绩排名，为了便于分析，表中只标注了成绩排序后四位的排名，其中分数相同的排名也相同，根据表五，熵权排序第一的是L4，同学S9在该科目排名最后，因此该科目应该引起该同学的足够重视，而同学S3、S4在该科目排名也较后，也应当引起重视。熵权排第二的L2课程中，同学S7、S8、S6由于排名靠后，所以在今后的学习中，应该对该门课程引起重视。根据熵权和成绩排序，学生可以在交叉判断矩阵中找到自己需要提升的科目。

图1给出了S1、S5、S9三位同学的标准化成绩折线图，学生也可以通过图一所示的折线图来确定自己的优先改进科目。S9同学的L4课程在自己的9门课程中排序靠后，而L4课程熵权排序第一，因此应选择该门课作为优先改进的课程，这一结果与表五的判断矩阵的判断结果一致。S5同学在自己的成绩折线图上也是L4课程排序最低，因此也应优先重视该课程的提升工作，另外从折线图上看，该同学所有课程成绩都比较均衡，在提升L4课程的同时，也可根据熵权对L2、L6、L8等熵权较大的课程进行优先提升工作。S1在年级排名第一，各科成绩都名列前茅，他应该如何选择自己的优先改进课程呢？相对其他课程考试成绩，该同学L1、L3、L5、L9四门课相对较低，熵权排序分别为9、5、6、7，根据熵权理论，应确定熵权排序第五的L3课程作为优先改进课程。

课程L1信息熵最大，熵权最小，但从学生的成绩得分来看并不高，造成这种现象原因可能有二，或者试卷难度偏大，或者学生总体学习效果不理想，任课教师可以从外延和内涵两个方面来探索该门课程的教学努力方向，从外延来说，可以对比其他班级的考试成绩，若与其他班级比成绩较好或没有明显差距，基本可推断出是试卷难度偏大问题。若与其他班级比有明显差距，则要从自身的教和学生的学两方面进行反思如何提升教学效果，具体办法是将学生各题的得分进行熵权分析，找出薄弱环节进行改进。

5 结语

熵权法是一种根据评价指标信息熵进行多目标决策的客观权重赋值算法，通过分析及实例演示，说明该方法可以很好地用于学生的学习改进中，及时帮助学生快速找出自己的优先改进课程，同时由于这是一种客观赋值算法，很容易通过构造评价策略交叉判断矩阵并在计算机上快速实现，对学生学习具有较大的帮助作用。另外，由于熵权法各项指标的客观权重不是固定不变的，下次考试后，会随着各科成绩的变化即时变化，因此能及时有效地指导学生优先改变自己的弱项课程，使得学生的提升目标具有很强的目的性。在这种及时指导和反馈下，每位学生都会不断改进自己权重较大的弱项目标，从而会使得该门课程的信息熵不断增大，熵权不断减小，而随着熵权降低，学生优先提升目标就会逐步转向其他熵权较大的弱项课程，从而使得学习成绩不断得到提升。

参考文献

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表中横坐标是课程，括号内数字是熵权排序，表中数据是学生各科成绩排名，为了便于分析，表中只标注了成绩排序后四位的排名，其中分数相同的排名也相同，根据表五，熵权排序第一的是L4，同学S9在该科目排名最后，因此该科目应该引起该同学的足够重视，而同学S3、S4在该科目排名也较后，也应当引起重视。熵权排第二的L2课程中，同学S7、S8、S6由于排名靠后，所以在今后的学习中，应该对该门课程引起重视。根据熵权和成绩排序，学生可以在交叉判断矩阵中找到自己需要提升的科目。

图1给出了S1、S5、S9三位同学的标准化成绩折线图，学生也可以通过图一所示的折线图来确定自己的优先改进科目。S9同学的L4课程在自己的9门课程中排序靠后，而L4课程熵权排序第一，因此应选择该门课作为优先改进的课程，这一结果与表五的判断矩阵的判断结果一致。S5同学在自己的成绩折线图上也是L4课程排序最低，因此也应优先重视该课程的提升工作，另外从折线图上看，该同学所有课程成绩都比较均衡，在提升L4课程的同时，也可根据熵权对L2、L6、L8等熵权较大的课程进行优先提升工作。S1在年级排名第一，各科成绩都名列前茅，他应该如何选择自己的优先改进课程呢？相对其他课程考试成绩，该同学L1、L3、L5、L9四门课相对较低，熵权排序分别为9、5、6、7，根据熵权理论，应确定熵权排序第五的L3课程作为优先改进课程。

课程L1信息熵最大，熵权最小，但从学生的成绩得分来看并不高，造成这种现象原因可能有二，或者试卷难度偏大，或者学生总体学习效果不理想，任课教师可以从外延和内涵两个方面来探索该门课程的教学努力方向，从外延来说，可以对比其他班级的考试成绩，若与其他班级比成绩较好或没有明显差距，基本可推断出是试卷难度偏大问题。若与其他班级比有明显差距，则要从自身的教和学生的学两方面进行反思如何提升教学效果，具体办法是将学生各题的得分进行熵权分析，找出薄弱环节进行改进。

5 结语

熵权法是一种根据评价指标信息熵进行多目标决策的客观权重赋值算法，通过分析及实例演示，说明该方法可以很好地用于学生的学习改进中，及时帮助学生快速找出自己的优先改进课程，同时由于这是一种客观赋值算法，很容易通过构造评价策略交叉判断矩阵并在计算机上快速实现，对学生学习具有较大的帮助作用。另外，由于熵权法各项指标的客观权重不是固定不变的，下次考试后，会随着各科成绩的变化即时变化，因此能及时有效地指导学生优先改变自己的弱项课程，使得学生的提升目标具有很强的目的性。在这种及时指导和反馈下，每位学生都会不断改进自己权重较大的弱项目标，从而会使得该门课程的信息熵不断增大，熵权不断减小，而随着熵权降低，学生优先提升目标就会逐步转向其他熵权较大的弱项课程，从而使得学习成绩不断得到提升。

参考文献

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