椭球、七参数与四参数同时解算方法研究与应用

邹俊平

(上海市测绘院,上海 200063)

椭球、七参数与四参数同时解算方法研究与应用

邹俊平∗

(上海市测绘院,上海 200063)

测量应用中,常常需要将RTK获取的三维空间坐标转换成当地高斯平面坐标和高程。一般的转换方法是采用空间七参数或平面四参数转换模型。因此为了实时获取当地坐标,需要预先求取相应的转换参数,这些参数包括椭球长半轴、椭球扁率和空间七参数或者平面四参数。本文研究实现了一种同时解算这13个参数的数学模型,可根据具体应用需要进行自由求取。并以上海地区为例,解算了8种参数组合,分析比较了不同参数对坐标转换结果的影响。

坐标转换;数据处理;空间七参数;平面四参数;地方坐标

1 前 言

RTK测量获得的WGS84坐标通常需要转换成地方平面坐标和高程,以用于生产。为了实现地方平面坐标和高程的实时获取,需要预先求得相应的转换参数并设置在RTK流动站设备中。根据RTK流动设备的不同,这些参数可能包括椭球长半轴,椭球扁率,用于笛卡儿坐标空间转换的七参数或者平面坐标转换中采用的四参数。目前绝大多数RTK流动站设备都支持上述几类参数组合。

一般的做法是将椭球长半轴、椭球扁率设置为当地投影椭球的参数,在此基础上根据RTK流动设备的参数设置需要,可将测量获得的大地坐标转换成笛卡尔空间坐标并求取与当地坐标的空间转换七参数或者进行高斯投影后在平面上求取与当地坐标的平面转换四参数。然而,这两套参数往往不能同时求取,并且同一套参数可能不适用于所有的RTK流动站设备。另外,采用七参数模式时,7个参数之间存在群相关,当区域较小时,求解七参数可能失败。采用四参数模式时,地图投影变形的差异将不能估计,区域越大,误差越大。采用不同的转换参数,对结果的影响可达1 cm。

本文设计了同时解算此类转换参数的统一模型,在这个模型中可同时解算包括椭球长半径、椭球扁率、空间转换七参数、平面转换四参数在内的13个参数,也可根据具体需要单独解算部分参数以解决RTK流动站设备转换参数设置差异的问题。本文以上海地区为例,分析各种参数组合对结果的影响。另外,该模型亦可用于区域最佳椭球投影面的求取。

2 坐标转换的数学模型

RTK测得的大地坐标转换为地方平面坐标和高程的过程如下:

2.1 大地坐标换算至空间坐标

如果RTK测得的WGS84的大地坐标为(B L H)T,那么其空间坐标(X Y Z)T可由下式算得:

其中a为椭球长半轴,f为椭球扁率。

2.2 七参数转换

通过七参数转换模型将(X Y Z)T转换成当地坐标框架下的空间坐标(X′ Y′ Z′)T,

上式中的(X0Y0Z0)T为空间平移量,k为空间尺度因子,αx、αy、αz为3个坐标轴的旋转角。

2.3 新的大地坐标与投影坐标

由式(1)的逆形式将当地坐标框架下的空间坐标(X′Y′ Z′)T化算为大地坐标(B′ L′ h′)T,然后通过高斯投影获得当地坐标框架的平面坐标(xg′ yg′)T。

2.4 求地方坐标

地方坐标与高斯投影后获得的平面坐标往往还存在一定差异,还需采用平面四参数模型建立二者的关系:

上式中的(x0y0)T为平面平移量,k1为平面尺度因子,α为平面旋转角。

由(xg′ yg′)T求(xgyg)T的反算公式为:

3 全参数求解数学模型

以上计算流程表示为关系式:

上式函数f()代表前面从WGS84大地坐标(B L H)T转换为当地平面坐标(xgygh′)T的整个过程。式(5)中总共包含13个参数。

为求解这13个参数,将式(5)进行线性化,可写成误差方程:

上式中的系数阵可采用数值导数方法求得[6],组成法方程迭代至收敛即可解得所有参数。由于某些参数在计算中起的作用相同或相近,因此13个参数不能同时解算,例如a与k完全相关,a与k1相关性很大[5]。

4 算 例

以上海地区为例,表1为选取测试区域的经纬度范围。

表1 上海地区经纬度范围

在上海地区建有9个CORS站,并有一个IGS站(SHAO),这10个点既有大地坐标又有当地平面坐标和高程。由10个公共点,按不同方案计算转换参数,各方案解算的参数如表2所示。

转换残差是衡量转换参数的主要标准之一,下表3是方案1的转换残差,各个解算方案的残差中误差列于表2中。

表2 转换参数计算方案

表3 方案1的转换残差

为了评价不同转换参数对上海地区坐标转换结果的影响,将上海地区按10′×10′划分格网,将各格网点的经纬度转换至地方坐标,不同转换参数求得的平面坐标和高程不相同,表4列出了各解算方案与方案1转换坐标的点位差。

表4 转换结果与方案1的点位差

将各方案解算得到的格网点坐标与方案1相比,差异如图1、图2所示:

图1 方案2算得坐标与方案1算得坐标点位差(单位/m)

图2 方案3-8算得坐标与方案1算得坐标点位差(单位/m)

为评价目前RTK流动站主要采取的坐标转换方式在上海区域的差异,选取方案2和方案3与方案1相比坐标差结果,结合上海地区的区域分布,获得上海地区坐标转换点位差异分布,如图3、图4所示。

图3 方案2算得坐标与方案1算得坐标点位差在上海地区的分布(单位/mm)

图4 方案3算得坐标与方案1算得坐标点位差在上海地区的分布(单位/mm)

方案2与方案1的区别在于是否将椭球扁率作为未知参数进行求解,方案3与方案1的区别其实是常用的坐标转换四参数模型与七参数模型的区别。从算例分析,因椭球扁率的变化必然引起高斯平面坐标的显著变化,虽然依据各坐标转换参数之间存在一定的相关性能对不同参数造成的影响进行修正,但对应于显著性的变化很难进行平滑拟合。因此,图3呈现出沿高斯投影中央子午线成对称趋势,该差异主要是高斯投影差异的体现。而将高斯投影参数固定后的方案3和方案1相比,因为采用同样的高斯投影参数,故而在上海这样的小范围区域,该差异仅体现为空间坐标与高斯平面坐标的转换精度误差。

5 结 论

本文介绍了RTK构建椭球参数、七参数与四参数同时解算的数学模型和解算方法。该方法可用于不同RTK流动站软件的不同参数设置。

以上海地区为例,解算了八种参数组合,并采用实际数据进行了比较,从坐标差异性的分布来看存在东西对称的分布特点,就上海区域而言平面四参数模型与空间七参数模型差异不明显,其余各种参数组合对点位结果的影响可达厘米级。该方法对于建立城市独立坐标系统与国家CGCS2000的转换关系具有现实意义。考虑到GNSS应用的逐渐深入,涉及高程的七参数模型在RTK、似大地水准面精化模型应用更具有实际意义。通过本文算例分析,在上海地区求取上海独立坐标系与CGCS2000的坐标转换关系可采用方案1 (七参数模型)。

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Determine Earth Ellipsoid Together With Seven and Four Transformation Parameters

Zou Junping
(Shanghai Municipal Institute of Surveying and Mapping,Shanghai 200063,China)

In surveying applications,the positioning results obtained from GPS RTK are usually presented in local plane coordinate and height respectively.Some pre-setting parameters including the semimajor axis,oblateness of the earth ellipsoid,cartesian seven-parameters of transformation,and four-parameters for plane coordinate transformation are needed.In this paper,a method to solve all these 13 parameters in one model is introduced.Eight groups of parameter combination are solved for Shanghai area and the differences of results were compared.

coordinate transformation;data processing;seven-parameters of transformation;four-parameters for plane coordinate transformation;Local coordinates

2014—05—06

邹俊平(1982—),男,工程师,从事精密工程测量与GNSS应用研究。