基于二维七参数转换模型的坐标转换参数的计算

冯里涛 ，邓云青

(1.浙江省测绘质量监督检验站，浙江 杭州 310012; 2.杭州余杭测量队，浙江 杭州 311100)

1 引 言

我国已开始采用三维地心坐标系CGCS2000，因此在实际应用中我们经常会遇到二维平面坐标系向CGCS2000 转换的问题。目前，从一个坐标系到另一个坐标系的转换方法已有多种［1］，通常方法是找到一组在两个基准下空间直角坐标均已知的同名点，进而求出两个基准间的转换参数即可，如我们所熟知的布尔莎转换模型，然而这种转换方法多用于三维坐标转换，在传统坐标系(如1954年北京坐标系、1980年西安坐标系)下，大地高通常是未知或不能精确得到的，无法使用三维坐标转换模型;针对传统大地坐标系的二维坐标转换，可以使用平面四参数转换模型，但是平面四参数对处理小范围的局域网是可行的，但随着控制网区域的扩大，大地坐标向二维平面进行高斯投影过程中发生的变形就变不能忽略，此方法的局限性会很快暴露出来，特别是在建立范围比较大的大地测量框架时，其坐标转换精度不能保证。针对浙江省基础地理信息数据库在不同基准之间的坐标转换工作，为保证坐标转换的精度，采用基于二维七参数的坐标转换模型，来计算浙江省内北京1954 坐标系或西安1980 坐标系与CGCS2000 坐标系在不同基准下的转换参数，以避开大地高不准确和投影变形等弱点。

2 坐标系统转换方法

2.1 转换模型选取

二维七参数转换模型是一种改正数法，它的理论基础是大地坐标微分公式，采用广义大地坐标微分公式直接求出大地坐标改正数［2］。其基本思想就是要将基准转换和坐标系转换融合到一个模型中，从而建立起不同基准下大地坐标间更为直接的关系。与布尔沙模型不同的是，在转换时除了要考虑类似于空间直角坐标系的平移、旋转和缩放外，还必须顾及椭球参数的变化，只有这样才能让定位、定向、形状和大小不完全相同的两个椭球重合。由于二维七参数坐标转换模型考虑了不同坐标系椭球参数的变化，适用于不同大地坐标系间的转换。

二维七参数转换的模型如下:

其中:△B，△L——同一点位在两个坐标系下的纬度差、经度差，单位为弧度，

△a，△f——两个椭球长半轴差(单位m)、扁率差(无量纲)，

△X，△Y，△Z——平移参数，单位为m，

εx，εy，εz——旋转参数，单位为弧度，

m——尺度参数(无量纲)。

式(1)与七参数模型公式相比［3］，由原来的7 个参数变为9 个参数，除了3 个平移参数、3 个旋转参数和1 个尺度参数外，多出两个椭球参数△a、△f。

事实上，我们已经获得了一些椭球较为精密的椭球参数，比如我国建立1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，CGCS200 应用的则是2000 国家大地坐标系椭球参数。从这种意义上讲，可以通过固定椭球参数将式(1)中的△a 和△f 两个参数作为已知解，从而提高参数解求的可靠性。

2.2 重合点选取

坐标重合点可采用在两个坐标系下均有坐标成果的点。但最终所选用的重合点还需根据所确定的转换参数，计算重合点坐标残差，根据其残差值的大小来确定重合点是否参与坐标转换计算，重合点的选取应采用以下原则:首先选取所有重合点求取转换参数，计算重合点的坐标残差，若残差中误差大于3 倍中误差则剔除，重新计算坐标转换参数，直到满足精度要求为止;用于计算转换参数的重合点数量不少于5 个，且区域分布均匀。

整体转换参数的检核:选择部分重合点作为外部检核点，不参与转换参数计算，用转换参数计算这些点的转换坐标与已知坐标进行外部检核。应选定至少6个均匀分布的重合点对坐标转换精度进行检核。

按照前面重合点的选取原则，从浙江省GPS 基础控制网中选取了54 个重合点，这54 个重合点在1980年西安坐标系和CGCS2000 坐标系中均有坐标成果，从54 个重合点中最终均匀选取了40 个重合点用于求取转换参数，剩余14 个重合点用于转换参数的检核，54 个重合点的分布情况如图1所示。

图1 重合点分布图

2.3 转换参数平差计算

在本文中坐标转换参数的求解采用间接平差法，因△a，△f 是有已知解，可将其视为常数，则式(1)的误差方程为:

在式(2)中B 是为重合点在待转换坐标系下的大地坐标值按式(1)计算出来的系数矩阵，X 为式(1)中前7 个参数组成的7 行1 列的转换参数矩阵，l 为常数项可用式(3)表示。

其中L2000，B2000表示重合点在CGCS2000 中的大地坐标即经纬度;L80，B80表示重合点在1980年西安中的大地坐标。

按最小二乘原理，式(2)中的X 必须满足VTPV=min 的要求，因为每个参数互为独立量，故可用求函数自由极值的方法进行计算，将其转置后得:

将式(4)代入式(2)，以便消除V，得:

该式即为二维七参数坐标转换模型进行转换参数求解时的间接平差方法的法方程。由式(5)可得:

由式(6)即可解出待转换坐标系向目标坐标系进行转换时，7 个转换参数的最小二乘解，其中在式(6)中P 为重合点坐标观测值的权阵，因为重合点大地坐标值是采用等精度观测方法获得的，故P 可视作单位矩阵，不对平差结果产生影响。

3 转换参数计算及精度评定

3.1 坐标转换残差计算

按照2.3 中所介绍的平差方法，利用选取的40 个重合点根据式(1)计算出坐标转换模型中的7 个待求参数，为了使计算结果更为直观，将重合点在CGCS2000 中的大地坐标测量值投影到以120°中央子午线的3°带高斯平面上，计算出其高斯平面坐标的x 和y 值，并依据已计算出的转换参数，将重合点在1980年西安坐标系的大地坐标转换成CGCS2000 坐标系的成果，并计算出转换得到的大地坐标的高斯投影坐标x 和y 值，进而计算出依据计算坐标转换模型参数进行基准转换和高斯投影后所得重合点在x 方向和y 方向上的残差(如图2所示)。从图中可以看出，各重合点的高斯坐标残差均在毫米级，其中y 方向残差略差，但均在误差允许的范围内。经计算，40 个重合点坐标转换残差中误差为0.014 m。

图2 重合点平面坐标转换残差

3.2 坐标转换精度检核

利用40 个重合点所求得的转换参数，将14 个检核点在1980年西安坐标系中的大地坐标成果转换到CGCS2000 坐标系的大地坐标成果，得到检核点在CGCS2000 坐标系中的大地坐标转换成果，然后将检核点在CGCS2000 坐标系中的测量成果和转换成果均投影到以120°中央子午线的3°带高斯平面上，计算本次坐标转换的平面精度(如表1所示)。从表1中可以看出，各点在x 方向和y 方向上计算值和测量值的残差值均在毫米级，经计算得到本次坐标转换的平面点位中误差为0.008 m，能够满足1980年西安坐标系与2000 国家大地坐标系转换时，1∶5 000 比例尺小于0.5 m，1∶10 000比例尺小于1 m的精度要求。由此可知，平面二维七参数坐标转换模型，在不需要对大地坐标进行空间直角坐标转换和无大地高的基础上，能够实现不同基准之间大地坐标的直接转换，其精度完全能满足浙江省1∶5 000和1∶10 000基础地理信息数据库从西安1980坐标系向CGCS2000 坐标系的整体转换。

表1 检核点残差表

4 总 结

通过以上讨论，可以看到平面二维七参数能够实现两个坐标系下大地坐标的直接转换，不但无需提供大地高，而且无需将大地坐标值转换成空间直角坐标系后再进行坐标转换，然后再将目标坐标系下的空间直角坐标系转换成目标坐标系的经纬度，而且平面二维七参数顾及了不同坐标系椭球参数的差异，具有很高的转换精度，能够满足较大范围内的坐标转换需要，尤其适合于省级范围内的基础地理信息数据库大地坐标间的直接转换。

［1］李琦，郝刚，王小辉．二维坐标转换的附有参数条件平差法．城市勘测，2009(2)，93～95．

［2］赵宝锋．GPS 坐标向地方坐标转换模型的合理选择［J］．城市勘测，2009(1):90～92．

［3］孔祥元，郭际明，刘宗泉．大地测量学基础［M］．武汉:武汉大学出版社，2006，42～47．

［4］武汉大学测绘学院测量平差学科组．误差理论与测量平差基础［M］．武汉:武汉大学出版社，2005．

［5］李征航，黄劲松．GPS 测量与数据处理［M］．武汉:武汉大学出版社，2005．

［6］李连伟，荣燕妮．WGS84 与BJ54 坐标转换问题讨论［J］．测绘与空间地理信息，2004(1):43～45．

［7］屈吉庆，崔学锋．论空间直角坐标转换为大地坐标的三个公式的关系［J］．城市勘测，1995(1):13～15．

［8］姚吉利．三维坐标转换参数直接计算的严密公式［J］．测绘通报，2006(5):7～10．

［9］王解先，王军，陆彩萍．WGS84 与北京54 坐标的转换问题［J］．大地测量与地球动力学，2003(3):70～73．