趋势面拟合法在土地勘测中的应用

王秋玲

(宿州市土地勘测规划设计院，安徽 宿州 234000)

1 引 言

土地是重要的自然资源，是进行一切人类活动的承载体，因此土地勘测具有重要价值和作用。土地勘测定界，是根据土地征收、征用、划拨、出让、农用地转用、土地利用规划及土地开发、整理、复垦等工作需要，实地界定土地使用范围、测定界址位置、调绘土地利用现状，计算用地面积，为国土资源行政主管部门用地审批和地籍管理等提供科学、准确的基础资料而进行的技术服务性工作［1］。土地勘测定界是土地利用的前提和基础，是合理规划及配置土地资源的最科学手段，提高土地勘测定界工作的科学性和合理性，对人民社会、经济、生活的发展有至关重要的影响。

在大区域土地勘测［2］方面，受相应指标的监测点位置选择及监测条件、成本等因素的影响，不可能密布整个监测区域，未布置监测点的大部分区域都需通过插值的方式得到监测指标值。因此，提高监测指标在区域表面的拟合精度，对提高土地规划的质量，促进土地勘测定界工作进一步科学化、规范化有较大的影响。

2 趋势面拟合法

趋势面拟合法是通过回归分析原理，运用最小二乘法拟合一个非线性函数，其实质是将非线性模型转化为多元线性回归模型。受区域内系统性因素的控制，趋势面能够反映区域性的变化规律。趋势面通常把实际的地理曲面分解为趋势面和剩余面两部分［3］。Lancaster 和Salkauskas 最先在曲面生成中使用移动曲面拟合方法，后来Belytschko 将其应用于无网格方法中［4，5］。趋势面的计算表达式包括多项式函数和傅里叶级数，最常用的是多项式函数表达式，本文应用多项式函数表达式进行趋势面拟合计算。

2.1 趋势面拟合法原理

趋势面拟合的一般形式为

其中，z 表示拟合变量，a0，a1，…，ap为参数，x0，x1，…，xp为拟合模型的自变量。写成矩阵的形式为

其残差平方和为

按最小二乘法确定待定系数时，应使每个观测值与相对应的拟合值的离差(剩余)平方和最小，即当Ω→min 时，为在最小二乘意义上的趋势面拟合，求Ω 对a0，a1，…，ap的偏导并令其等于0，得到

根据高斯列主元消去法，即可求出系数a0，a1，a2，…，a5，矩阵形式可表示为

将其带入式(2)，得到趋势面拟合方程，代入拟合点自变量即可求出该点的拟合值。

2.2 加权趋势面

在移动趋势面拟合法中引入权重思想，为采样点的观测值赋予影响权，即为加权移动趋势面拟合。可根据距离远近对采样点赋以适当的权值，权值可以采用Pi=1/S2、Pi=［(R－Si)/Si］2或Pi=e－S2i/R2等形式(其中Si为距离，R 为采样圆半径)。设该范围内影响待估点的已知点数为n，则权阵

引入权重后，式(5)应写为

2.3 边界问题的处理

处理拟合问题时往往采用格网插值，此时一般情况下会违背实际地形的边界情况，且部分处于角落位置的格网点由于距监测点较远，采样半径范围内的监测点相对于格网点呈单侧分布，从而导致插值结果失真。针对这种情况，引入区域边界的思想来探讨点与多边形的拓扑关系，实现只对边界内部的格网点插值。边界确定问题的处理分为两步，第一步，根据已知的监测点确定插值的范围;第二步，根据格网点与区域边界的拓扑关系决定其取舍。第一步可采用链表［6，7］的形式自动列出研究区域凸包［8］边界已知点集的顺序，将各点相连构成区域边界。第二步采用射线法［9］判断拟合点位于边界上、边界内或边界外。

2.4 精度评定

采用拟合优度系数R2检验拟合模型的优度，采用F 检验回归模型整体的显著性。设拟合变量z 的剩余平方和回归平方和式中，zi表示采样点原始值，表示模型拟合值，表示模型拟合值的平均值，则总离差平方和:

构造趋势面与实际面的拟合度系数:

R2越大，表明趋势面的拟合优度就越高［10］。

模型整体的显著性检验F 检验的统计量如下:

取显著性水平α=0.05，查F 分布表得Fα，若Fα＜F 则认为趋势面模型显著，反之则不显著。

3 实例分析

采用某地区土地勘测过程中17 个沉降监测点的在2005年～2007年间的沉降数据作为实验数据进行分析。在Visual Studio 2010 软件平台下使用C++语言编写区域边界程序，实现区域边界的确定以及格网点筛选，再运行编制的二次趋势面拟合法程序计算筛选后的格网点沉降量。为检验拟合成果的质量，对已知的17 个监测点建立相同的模型，将得到的结果与观测值比较，观测值与拟合值的残差如表1所示。从趋势面适度检验参数对模型拟合结果做检验，并进行精度评定，评定结果如表2所示。

表1 已知点拟合残差表

表2 精度评定结果表

由表1可知，拟合值与观测值间的残差最大值为2.7 mm，最小值为0，17 个观测点中有15 个点拟合值接近0。由表2知，模型的优度系数R2=0.934，F 检验值F=11.322，查表得F(5，4)= 6.26＜F。拟合度系数R2较大，说明趋势面拟合模型优度较高，同时模型F检验值大于标准值，说明拟合模型符合显著性检验的要求。

应用ArcGIS 软件对建模成果作直观显示［11］，将格网点沉降量拟合结果导入ArcMap 空文档中，创建栅格面并绘制等高线图如图1所示。单独将已知点导入ArcMap 空文档中并创建栅格面，绘制出的等高线图如图2所示。

图1 基于建模成果的等高线图

图2 基于已知点的等高线图

由图1和图2的对比可知，基于已知点的等高线图，等高线分布较均匀，都是在两个已知点间平均分布;基于趋势面拟合法建模成果的等高线图中，等高线分布较复杂，并不在两已知点间呈现均匀分布，更贴近于真实地形。由于模型精度评定结果为优度较高、符合显著性检验，因此，采用趋势面拟合法对土地沉降数据建立拟合模型，拟合后建立模型并绘制等高线的效果比直接建立表面模型并绘制等高线更贴近真实。

3 结 论

为解决大区域土地勘测中监测点个数受限制的问题，本文应用加权移动趋势面拟合法，以地面沉降数据作为实验数据进行分析，得到以下结论:

(1)使用加权移动趋势面拟合法建立的表面拟合模型，拟合精度经检验合格，优度较高，且符合显著性检验的要求，表明使用该方法建立的拟合模型科学合理，可应用在土地勘测中，解决类似加密监测点指标的问题。

(2)通过基于建模成果与基于已知点的等高线图对比，可知加权移动趋势面拟合法能较为真实的模拟出监测指标随地域改变所产生的变化，使监测指标的加密结果与真实情况更相符。

(3)通过加权移动趋势面拟合法建立出土地勘测指标表面拟合模型，可从宏观上观察及分析监测指标的分布、变化、趋势等规律，提高了土地勘测定界工作的科学性及合理性。

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