Dirichlet积分的计算方法

赵天玉,洪云飞,陈忠 (长江大学信息与数学学院,湖北荆州 434023)

Dirichlet积分的计算方法

赵天玉,洪云飞,陈忠 (长江大学信息与数学学院,湖北荆州 434023)

Dirichlet积分在物理学等领域有广泛的应用。综述了计算Dirichlet积分的传统经典方法,即含参变量积分法和围道积分法,然后以积分变换和广义函数为研究工具,采用数学物理方法,给出了计算Dirichlet积分的4种新方法:Fourier变换法、能量积分法、Laplace变换法和广义函数法。这些方法简单明了,易于接受,学生既学会了积分变换知识的应用,又解决了已学课程中遗留的问题,对学生处理类似的情况具有借鉴参考作用。

Dirichlet积分;Fourier变换;Laplace变换;广义函数

1 计算Dirichlet积分的传统经典方法

1.1 含参变量积分方法

图1 围道积分路径

2 计算Dirichlet积分的新方法

2.4 广义函数法

单位脉冲函数δ(t)也叫狄拉克(Dirac)函数,简称δ-函数,是一个广义函数,是弱收敛函数序列的弱极限[6],即对于任何一个无穷次可微的函数f(t),有:

3 结语

著名的Dirichlet积分是特殊的积分,在自然科学与工程技术中经常用到。由于其计算的复杂性,在数学的多种课程中把它作为典型例子来讨论。即便如此,学生也难以接受这些知识。通过多年的教学实践,作者积累了几种解决这个问题的方法:首先回顾了计算Dirichlet积分的2种传统经典方法,即含参变量积分法和围道积分法,然后借助于积分变换和广义函数,给出了4种计算Dirichlet积分的新方法。这些方法简单明了,易于接受,学生既学会了积分变换知识的应用,又解决了已学课程中遗留的问题,对学生处理类似的情况具有借鉴参考作用。

[1]梁昌洪.复变函数札记[M].北京:科学出版社,2011.

[2]匡继昌.Dirichlet积分9种解法的思路分析[J].高等数学研究,2012,15(4):62-66.

[3]张瑰,张梅.对Dirichlet积分的几种简便证明[J].高等数学研究,2005,8(4):28-29.

[4]华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].第3版.北京:高等教育出版社,2001.

[5]姚端正,梁家宝.数学物理方法[M].第2版.武汉:武汉大学出版社,1997.

[6]张元林.积分变换[M].第4版.北京:高等教育出版社,2003.

[编辑]李梦霞

O175.5

A

1673-1409(2014)19-009-03

2014-02-27

国家自然科学基金资助项目(11201039;61273179);湖北省教育厅重点项目(D20101304);长江大学教学研究项目(JY2013026)。

赵天玉(1958-),男,硕士,教授,现主要从事组合数学方面的教学与研究工作。

洪云飞(1979-),男,硕士,讲师,现主要从事最优化理论与算法、科技期刊编辑方面的研究工作;E-mail:cdzkb @163.com。