一类Cohen-Grossberg型神经网络概周期解的全局指数稳定

张强，盖明久，张宁，崔世维

（海军航空工程学院a.基础部；b.训练部；c.研究生管理大队，山东烟台264001）

一类Cohen-Grossberg型神经网络概周期解的全局指数稳定

张强a，盖明久a，张宁b，崔世维c

（海军航空工程学院a.基础部；b.训练部；c.研究生管理大队，山东烟台264001）

研究了一类Cohen-Grossberg型神经网络概周期解的存在唯一性及全局指数稳定性，得到了判断概周期解存在唯一及全局指数稳定的充分条件，推广了一些已有的结论。

Cohen-Grossberg型神经网络；概周期解；稳定性

与周期现象相比，概周期现象是一种更普遍的现象。事实上，从物理实现方面看，神经网络是由超大规模集成电路实现的，它拥有大量的神经元，且每个神经元都有自己的信号衰减系数、与其他神经元的连接权系数以及外部输入，因而很难做到它们都具有相同的周期。同时，由于神经网络电路的外部输入是由市电供应的，而电力系统本身就存在概周期现象，这样就使得神经网络的信号衰减系数、连接权系数以及外部输入可能具有概周期振荡行为。因此，研究神经网络的性质时就有必要研究这种概周期振荡现象。

关于Hopfield神经网络、细胞神经网络、BAM神经网络概周期解的存在性及稳定性，许多学者进行了深入的研究[1-9]。同时，由于Cohen-Grossberg神经网络在模式识别、图像处理等方面的成功运用，关于这类网络的概周期解的研究引起了国内外学者的广泛关注，并取得了一些很好的研究成果[10-12]。在文献[13]中，Chen研究了Cohen-Grossberg神经网络

概周期解的存在性及全局指数稳定性。本文将系统中的常时滞推广为变时滞，并同时考虑分布时滞存在的情况下，研究如下一类Cohen-Grossberg神经网络概周期解的存在性及全局指数稳定性：

式（2）中：i=1,2,…,n，n≥2是网络中神经元的数量；xi(t)表示第i个神经元在t时刻的状态；fj(·)、gj(·)、hj(·)是激励函数；0〈τij(t)〈τij对应于轴突信号传输时滞；cij(t)、dij(t)、eij(t)是t时刻的连接权重；Kij(t)是时滞核；Ii(t)表示在t时刻的外部输入。

系统的初始条件为

1 预备工作

定义1：概周期函数。设x(t):ℝ→ℝ，若∀ε〉0，∃l=l(ε)〉0，使在任意长为l的区间内都存在δ，使|x(t+δ)-x(t)|〈ε对任意t∈ℝ都成立，则称x(t)是一个概周期函数。

下面总是假设i,j=1,2,…,n。关于系统，作如下假设：

（H1）存在正常数、，使得0〈ai(t,x)≤，

（H2）存在常数使

（H3）函数fj(·)、gj(·)、hj(·)有界并且满足Lipschitz条件，即存在常数，使得∀x,y∈ℝ，有

2 主要结果

定理1：假设（H1）～（H5）成立，并且有

则系统（2）存在唯一概周期解，并且是全局指数稳定的。

证明：对任意的φ∈X，考虑如下辅助线性系统：

由常数变易法，可得方程的解为：

定义映射

∀φ∈X。令：

令：

则X*是X的一个闭凸子集。

注意到

因此，对任意的φ∈X*，有

当φi(u)〉0时，由假设（H2）可得

此时有

当φi(u)〈0时，由类似的推导可得

综合式（5）、（6），可以得到

将式（7）代入式（4），有

因此，Tφ∈X*，故T是X*到X*的自映射。接下来证明T是X*到X*的压缩映射。

事实上，对任意φ,ψ∈X*，采用与上面类似的推导过程，可得

因为ρ〈1，所以T是X*到X*的压缩映射。

由Banach压缩映射不动点定理知，T在X*上有唯一的不动点φ¯，使得Tφ¯=φ¯。由系统的形式可知，系统在X*上存在唯一概周期解x*=φ¯。

接下来证明x*的全局指数稳定性。

令

则0〈Ai(0)≤ρ〈1。由Ai(ε)的连续性可知，存在λi〉0，使得0〈Ai(λi)〈1。取λ=1m≤ii≤nn{λi}，则有

设x(t)是系统（2）的任意一个解，x*(t)是其概周期解，其初始条件分别为

首先证明对任意的α〉1，有下式成立：

当t=0时，式（9）显然成立。

假设当t〉0时式（9）不成立，那么存在t1〉0和i∈{1,2,…,n}，使得|，且

注意到，

对上述系统利用常数变易法，并由假设（H1）～（H5）和式（7），有

这与假设矛盾，故式（9）成立。令α→1，则有式（8）成立，从而系统的概周期解是全局指数稳定的。

注：若eij(t)≡0，τij(t)=τj，gj=fj，则系统就是文献[13]中所研究的系统，此时文献[13]中的定理1就是本文定理的一个推论。

另外，在文献[13]中，为保证其概周期解的全局指数稳定性，在其定理2中需要加入条件：

[1] LIU BINGWEN，HUANG LIHONG.Existence and exponential stabilityof almost periodic solutions for Hopfield neural networks with delays[J].Neurocomputing，2005，68：196-207.

[2]LIU BINGWEN.A lmost periodic solutions for Hopfield neural networks with continuously distributed delays[J]. Mathematics and Computers in Simulation，2007，73：327-335.

[3] LIU BINGWEN，HUANG LIHONG.Existence and exponential stability of almost periodic solutions for cellular neural networks with m ixed delays[J].Chaos，Solitons and Fractals，2007，32：95-103.

[4] BAI CHUANZHI.Global stability of almost periodic solutions of Hopfield neural networks with neutral timevarying delays[J].Applied Mathematics and Computation，2008，203：72-79.

[5] XIANG HONGJUN，CAO JINDE.Almost periodic solutions of recurrent neural networks with continuously distributed delays[J].Nonlinear Analysis，2009，71：6097-6108.

[6] XIA YONGHUI，CAO JINDE，LIN MUREN.New results on the existence and uniqueness of almost periodic solution for BAMneural networks with continuously distributed delays[J].Chaos，Solitons and Fractals，2007，31：928-936.

[7] ZHANG HUIYING，XIA YONGHUI.Existence and exponential stability of almost periodic solution for Hopfield-type neural networks with impulse[J].Chaos，Solitons and Fractals，2008，37：1076-1082.

[8] XIAO BING，MENG HUA.Existence and exponential stability of positive almost periodic solutions for high-order Hopfield neural networks[J].Applied Mathematical Modelling，2009，33：532-542.

[9] CHEN ANPING，CAO JINDE.Existence and attractivity of almost periodic solutions for cellular neural networks with distributed delays and variable coefficients[J].Applied Mathematics and Computation，2003，134：125-140.

[10] XIANG HONGJUN，CAO JINDE.A lmost periodic solution of Cohen-Grossberg neural networks with bounded and unbounded delays[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2009，10：2407-2419.

[11] ZHAO HONGYONG，CHEN LING，MAO ZISEN.Existence and stability of almost periodic solution for Cohen-Grossberg neural networks with variable coefficients[J]. Nonlinear Analysis：Real World Applications，2008，9：663-673.

[12] LI YONGKUN，FAN XUANLONG.Existence and globally exponential stability of almost periodic solution for Cohen-Grossberg BAMneural networks with variable coefficients[J].Applied Mathematical Modelling，2009，33：2114-2120.

[13] CHEN ZHANG，ZHAO DONGHUA，RUAN JIONG.Almost periodic attracor fof Cohen-Grossberg neural networks with delay[J].Physics Letters A，2009，373：434-440.

Almost Periodic Solutions Global Exponential Stability of Cohen-Grossberg Neural Networks

ZHANG Qianga,GAI Ming-jiua,ZHANG Ningb,CUI Shi-weic
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Department of Basic Sciences; b.Department of Training;c.Graduate students'Brigade,Yantai Shandong 264001,China）

In this paper,the existence,uniqueness and global exponential stability of the almost periodic solution for a class of Cohen-Grossberg neural networks were studied,and the sufficient conditions for it's global exponential stability of the unique almost periodic solution was given.The results improvet some present conclusions.

Cohen-Grossberg neural networks;almost periodic solution;stability

TP183；O175

A

1673-1522（2014）04-0374-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2014.04.016

2014-03-05；

2014-04-22

张强（1980-），男，讲师，硕士。