快速绘制内力图的方法研究与探讨
——增量法

张 延，满广生，孔定娥

在材料力学和结构力学教学过程中，绘制杆系结构的内力图是学习重点。一般内力图的种类有轴力图、剪力图、弯矩图和扭矩图，常用教材介绍的绘制轴力、剪力和扭矩图的方法多是基于平面一般力系平衡条件的截面法［1－2］、方程式法［3－4］等。本文根据“外力引起截面上的内力发生改变（产生增量）”这一基本规律，结合外力沿杆件轴线的变化情况，提出了“增量法”这一快速绘制内力图的实用新方法。此方法同时适用于绘制轴力图、剪力图和扭矩图，绘制图形外包线时一气呵成，简单、快速、准确，易于被学习者接受和掌握。

1 增量法快速绘制轴力、剪力和扭矩图

“增量法”的理论基础是“外力引起截面上的内力发生改变（产生增量）”。其中，集中力引起内力的突变增量，分布（均布）力引起内力的渐变增量。当然，“增量”不等于“增加”，根据外力的作用效果会引起内力数值的增大或减小。

1.1 增量法快速绘制轴力图示例

以绘制图1（a）所示AE杆的轴力图为例。A、B、C、D、E各截面均受到沿杆轴线方向的轴向外力作用，则引起外力作用各截面处轴力的突变，突变量分别为外力的大小，正负值由外力方向确定。

如图1（b）所示，以箭头表示外力引起的内力（轴力）外包线绘制过程的变化。从左向右，A截面作用方向向左的10KN外力使杆件产生受拉效果，于是引起轴力向正方向产生10KN增量（a→a′）；AB段为无荷载段，轴力没有增量（a′→b）；B截面受到同样向左的20KN外力，引起轴力再向正方向产生20KN增量（b→b′）；C截面受到方向相反（向右）的50KN外力，则引起轴力向反方向（负方向）产生50KN增量（c→c′）；……按上述方法绘图至最后一个外力作用的E截面（e→e′），即完成了轴力图外包线的绘制。实际绘图时，示意箭头不必画出。运用此方法也可以从右向左绘图，如图1（c）所示。

1.2 增量法快速绘制剪力图示例

以绘制图2（a）所示多跨静定梁AE的剪力图为例。求解约束反力后的AE梁的受力状态如图2（b）所示，其中，集中力作用截面处剪力会产生突变，均布力作用截面处剪力会产生渐变，力偶作用截面处剪力不改变，铰结点处剪力不改变。

图2 增量法快速绘制梁的剪力图

如图2（c）所示，仍以箭头表示外力引起剪力外包线绘制过程的变化。从左向右，集中力FAy的方向向上，则引起剪力在A截面向正方向产生FAy＝2kN的突变增量（a→a′）；从A截面开始受到向下的均布力q作用，则引起各截面剪力逐渐减小，至B截面，渐变总量8kN为均布力q的大小乘以作用段长度4m（a′→b）；在B截面处同时受到向上的集中力FBy（引起剪力突变）和力偶 M（不引起剪力改变）的作用，再引起剪力向正方向产生10kN的突变增量（b→b′）；从B到D为无荷载段，C点为铰结点，能够传递剪力，不引起剪力改变，剪力图为水平线（b′→d）；……。此方法不宜从从右向左绘制剪力图。

增量法同样适用于快速绘制刚架结构的剪力图，如图3所示。

图3 增量法快速刚架的剪力图

1.3 增量法快速绘制扭矩图示例

以绘制图4（a）所示AD杆的扭矩图为例。A、B、C、D各截面均受到外力偶的作用，则引起作用各截面处扭矩的突变，突变量分别为外力偶矩的大小，正负值由外力偶的转向确定。

如图4（b）所示，按照右手螺旋法则，从左向右绘图时，顺时针力偶使作用截面处的扭矩向正方向产生突变，反之向负方向产生突变，突变量等于外力偶矩的大小，无力偶作用段，扭矩图为水平线。

图4 增量法快速绘制扭矩图

2 结束语

“增量法”理论基础明晰，适用于绘制满足平衡条件的多种杆系结构的轴力、剪力和扭矩图。较大部分教材上介绍的传统方法来说，绘图更加快速准确。可在教学过程中作为传统方法的有益补充。

根据平衡条件，“增量法”绘制内力图必然第一笔起于零，而最后一笔止于零，无需校核绘图过程，正确与否一目了然。

对于材料力学和结构力学初学者看来较难掌握的弯矩图绘制，笔者将另文介绍绘制弯矩图的巧妙方法－关键点弯矩值结合各段线形的弯矩图分段绘制方法。

［1］龙驭球，包世华.结构力学教程（Ⅰ）［M］.北京：高等教育出版社，2000：57－79.

［2］杨伯源.材料力学（Ⅰ）［M］.北京：机械工业出版社，2002：40－58.

［3］李舒瑶，赵云翔.工程力学（第二版）［M］.郑州：黄河水利出版社，2009：74－97.

［4］刘鸿文.材料力学（Ⅰ）［M］.北京：高等教育出版社，2011：114－125.