变形消元解一般二元二次方程组

孙梦刚

（河北承德体校，河北 承德067000）

通常解一般二元二次方程组要用到多项式的理论［1］，通过行列式来求多项式的结式，运算量较大。本文介绍一种不应用多项式理论来解一般二元二次方程组的方法。

先给出一个定理：2个一元二次方程：x2＋p1x＋q1＝0，x2＋p2x＋q2＝0有公根的充要条件是：（q2－q1）2－（p2－p1）（p1q2－q1p2）＝0。限于篇幅略证如下：设α1、β1、α2、β2 分别是有公共根的2个一元二次方程的根，那么有：

由上面证明的可逆性可知定理成立。

下面给出一般二元二次方程组

的一种解法。为方便设C1＝C2＝1，则一般二元二次方程组可变形为

设P1（x）＝B1x＋E1，P2（x）＝B2x＋E2，Q1（x）＝A1x2＋D1x＋F1，Q2（x）＝A2x2＋D2x＋F2则方程组（1）可以表示为

把（2）式看作是由两个关于y 的一元二次方程组成的方程组，根据本文给出的定理，这2个一元二次方程有公根的条件可得：

一般地 （3）式整理后可得一个关于x 四次方程，只要求出这个方程中x 的根，再分别代入 （1）式求得公根，就可以求出二元二次方程组的解，我们称这种方法为 “变形消元法”。

有关一元四次方程的解法，见诸于报道的有很多。根据方程不同的特征有公式法［2］、分解因式法［3］、矩阵法［4］及待定系数法［5］等。

解：把方程组变形为

将方程组看作是由两个关于y 的一元二次方程组成的方程组，由（3）式不难得到

解这个方程，得x1＝0，x2＝1，x3＝2，x4＝－2，把x1、x2、x3、x4分别代入方程组（2）可得：y1＝－1，y2＝2，y3＝3，y4＝1，由此得原方程组的解是：

把方程组看作是由两个关于x 的一元二次方程组成的方程组，根据（3）式，得：5y4＋13y2－18＝0。

由上述2例可见，用”变形消元法”解一般二元二次方程组，可以比较巧妙地避开求多项式结式等较复杂的运算。

［1］北大数学系.高等代数［M］.北京：北京高等教育出版社，2003：1－35.

［2］叶立军.初等数学研究［A］.上海：华东师大出版社，2008：20－79.

［3］权小刚.利用分解因式法解一元四次方程［J］.考试周刊，2012，（20）：65－66.

［4］盛兴平.实系数一元四次方程的矩阵解法［J］.数学通报，2002，（12）：37.

［5］樊正恩.一元四次方程的一种新解法［J］.数学学习与研究，2009，（04）：97－98.