考虑异质出行者的随机瓶颈模型

肖玲玲，黄海军＊，田丽君

（1.北京航空航天大学经济管理学院，北京100191；2.福州大学管理学院，福州350108）

考虑异质出行者的随机瓶颈模型

肖玲玲1，黄海军＊1，田丽君2

（1.北京航空航天大学经济管理学院，北京100191；2.福州大学管理学院，福州350108）

研究早高峰期内通勤者由生活区开车通过高速公路到达工作区的交通行为.假设出行者是异质的，其时间价值（VOT）按照递增的顺序排列,并假设高速公路上瓶颈的通行能力在某一区间内随机变化，基于经典瓶颈模型对出行者的均衡出发时间选择行为进行解析求解，给出了模型的均衡性质和个人出行总成本.结果显示，随着瓶颈通行能力随机性的增大，出行者的期望等价出行时间和高峰期长度增加.当瓶颈通行能力的随机性降低时，个体均衡出行成本下降，时间价值越大的出行者，其成本降低的收益越大.算例结果验证了理论分析结论.

公路运输；出行选择行为；瓶颈模型；随机通行能力；异质性

1 引言

Vickrey[1]应用确定性排队理论，首次提出了一个令所有出行者具有相同出行成本的内生出发时间选择模型，这就是著名的瓶颈模型（Bottleneck model）.该模型假设生活区和工作区之间由一条通行能力有限的公路连接，所有出行者每天早上都经由这一路径上班，并希望在规定的上班时刻准时到达目的地，但由于瓶颈通行能力有限，不能保证所有的出行者都能够准时到达目的地，必然有一部分人早到或晚到，并产生相应的延误成本.因此，出行者必须在出行时间成本和延误成本之间进行权衡，选择一个最佳的出发时间，使得总出行成本最小化.在均衡态，所有出行者的总出行成本相等，没有人能够通过单方面改变出发时间而使自己变得更好.

瓶颈模型以简单、直接的方式刻画了早高峰通勤行为.此后，学者们从不同角度对瓶颈模型进行了扩展[2-4].Mahmassani和Herman[5]通过数值仿真方法探讨了早高峰通勤问题中的出发时间和路径选择行为.Kuwahara[6]在一个具有两个起始点一个目的地的多瓶颈网络上研究了早高峰通勤问题. Tabuchi[7]最早提出了包含公路瓶颈和并行地铁的双出行模式模型，研究了不同收费政策下两种交通方式之间的竞争.Huang[8，9]进一步扩展了Tabuchi[7]的工作，比较了不同收费策略下异质出行者的行为选择.传统的瓶颈模型是关于确定性交通环境下的出行选择行为.事实上，受许多因素影响，如雨雪天气、交通事故、道路维护等，造成出行环境不确定，使得路段通行能力退化和出行时间波动.近年来，越来越多的学者意识到不确定性在出行决策中的重要性[10，11].

尽管上述研究增强了人们对瓶颈环境下出行行为的理解，但现有大多数研究都假设出行者是同质的，即通勤者具有相同的时间价值，并具有相同的早到和晚到惩罚率.而现实中，无论从收入水平还是从个人偏好上来看，出行者都应该是异质的.显然，理想化的同质假设无法准确地刻画出行者的行为，将导致社会福利分析出现偏差.

交通行为研究中，异质性一般是通过赋予不同出行者不同出行成本函数来考虑的.在静态行为研究方面，一些学者给出了多用户类均衡问题的一般表达式（Dafermos[12];Smith[13]），多用户类均衡问题可以转化成变分不等式问题（Yang和Huang[14];Nagurney[15]）.也可以变换网络，将多用户类问题转变成新网络中的标准问题（Dafermos[12];Nagurney[15]），de Palma和Lindsey[16]就利用双层网络模型讨论了不同收费方案对异质出行者的福利影响.

在动态行为研究中，如果出行者不能在偏好时刻点到达工作地，通常假设出行者需要承担延误成本.在线性关系下，比偏好时刻早到的单位成本记为β，比偏好时刻晚到的单位成本记为γ，单位出行时间价值记为α.围绕这些参数，许多学者研究了出行者异质性对出行行为的影响.Cohen[3]引入两类出行者，让他们具有不同的偏好到达时刻点和不同的时间价值参数，讨论了收费有效性问题.de Palma和Lindsey[17]对比分析了考虑异质性的瓶颈模型和同质性的模型.本文假设瓶颈的通行能力是随机的，出行者是相互异质的，研究早高峰的出发时间选择问题，推导和分析均衡解的性质.

2 经典瓶颈模型（Vickrey model）

考虑一条高速公路将生活区H和工作区W连接起来，每天早晨有N个同质通勤者开车从生活区H到工作区W上班.高速公路上设有一个具有有限通行能力的瓶颈，所有通勤者都希望经由高速公路在上班时刻准时到达工作地，但由于瓶颈通行能力有限，总有一部分出行者必然早到或迟到，因早到或迟到产生的成本称作延误成本.不失一般性，假设出行成本由出行时间成本和延误成本两部分构成，出行者通过选择出发时间而最小化其出行成本.t时刻出发者的出行成本可表示为

式中α是单位出行时间成本；β是单位早到延误成本；γ是单位迟到延误成本；为t时刻出发者的出行时间，s为瓶颈的通过能力，T0为自由流时间，因为T0是常数，可以设T0=0，Q(t)为t时刻瓶颈处的排队长度；SDE(t)早到时间；SDL(t)为迟到时间.t时刻的累积出发量为

式中te为最早出发时刻，r(t)为t时刻的出发率. t时刻出发者在瓶颈处遇到的排队长度可表示为

在均衡状态下，所有人的出行成本都相等，没有人可以通过单方面改变出发时间来减少其出行总成本，即dc(t)dt=0，由此可以推导出高峰期的开始和结束时刻、高峰期内的出发率、排队长度和均衡个人出行成本.

3 模型描述

3.1 出行者异质性

在现实生活中，个体的工资水平影响着出行者对时间价值的感知程度，由于个体工资存在差异，出行者的时间价值（VOT）往往是不同的.本文假设出行者的时间价值α是异质的，服从某一概率分布，那么有

同时，还可以得到α′(x)与VOT的概率密度函数的关系如下：

由式（5）和式（6）可知，只要已知VOT的概率密度函数或累积分布函数就可以推导出α(x).

3.2 随机通行能力

在确定性瓶颈模型中，通常假设瓶颈处的通行能力是固定的.事实上，由于随机因素的存在，如雨雪天气、道路维修、交通事故等，通行能力通常是变化的，这必将导致出行时间也随之发生变化，从而影响出行者的出行行为.为体现通行能力随机变化这一情形，本文假设在高峰期瓶颈的通行能力是一个随机变量，在区间[θs¯,s¯]内服从均匀分布，其中s¯是瓶颈的初始设计通行能力，且参数θ≤1总成立.

3.3 用户均衡

由于瓶颈处的通行能力s是随机变量，导致每天同一时刻对应的出行时间也是随机变量.为简单起见，假设从生活区H到工作区W的自由流时间为零，且所有出行者的准时上班时间是相同的，都假设为零.那么，t时刻从生活区出发的第x个出行者的均衡期望出行成本由两部分构成：期望排队成本和期望延误成本，可表示为

其中

定义

为t时刻第x个出行者的期望等价出行时间.在均衡态，第x个出行者选择任何时刻的期望等价出行时间相等，即

期望等价出行时间的计算依赖于期望排队时间和期望延误时间.由于每天的通行能力s是随机变量，因此出行者即使每天选择同一时刻出发也有可能早到或迟到，可能排队也可能不排队.本文考虑通勤者可能出现的四种情况：(i)肯定早到；(ii)可能早到亦可能迟到；(iii)肯定迟到；(iv)肯定迟到但可能排队.这四种情况分别通过出发时间选择区间予以讨论.另外，定义te和tl分别为最早和最晚的出发时间，t1、t2和t3为对应每种情况的时间区间边界点.由于篇幅有限，下面我们直接给出相继四种情况的出发率r(t).

（i）肯定早到的区间[te,t1].

在该区间内，无论瓶颈通行能力s如何变化，没有一个出行者会迟到.式（9）可表示为

该时间区间内的出发率为该情况的边界条件为：当s=θs¯时，有SDE(t1)=0，且有R(t1)=-teθs¯.

（ii）可能早到亦可能迟到的区间[t1,t2].

选择在该时间区间内出发的通勤者可能早到也可能迟到.如果通行能力s足够大，通勤者将会早到.反之，则会迟到.那么该临界通行能力应该满足等式T(t)+t=0，即有s=-R(t)te.因此式（9）可表示为

将其代入式（10），得

类似于情况（i），即使通行能力s达到最大s¯，选择该区间内出行的通勤者仍然面临迟到.因此式（9）可表示为

将其代入式（10），得

该情况的边界条件是，R(t3)=s¯(t3-te)，即当s=s¯时，选择t3出发的通勤者排队长度为0.（iv）肯定迟到但可能排队的区间[t3,tl].

该区间内，出行者面临的情况类似于（ii），且通勤者可能排队亦可能不排队.那么t时刻排队长度为零的临界通行能力s应满足方程R(t)=s(t-te)，即s=R(t)(t-te).因此式（9）可表示为

代入式（10），得

此区间的边界条件满足r(tl)=0，且有R(tl)=sˆ(tl-te)，其中

3.4 区间边界时刻和均衡出行成本

由3.3可知，如果t＞tl，出发率始终为零，即r(t)=0.同时，在均衡态，高峰期起始时刻及各情况的时间区间边界点与x无关.那么，tl时刻的累积出发人数满足方程R(tl)=N=sˆ(tl-te)，可得tl=te+N sˆ.另外，根据用户均衡准则，可知

总成立.由此，可得

其中

由（i）-（iii）的边界条件，可得各区间边界时刻如下：

由式（20）可得每个人的期望等价出行时间为

那么第x个出行者在高峰期的均衡出行成本可表示为

同时，可得总系统成本为

定理1在均衡态，参数θ增加，高峰期长度下降.证明：由式（21）可知第一个和最后一个通勤者的出发时刻，因此高峰期区间可表示为

定理2在均衡态，参数θ增加，每位通勤者的出行成本下降，时间价值（VOT）越大的出行者，其成本降低的收益越大.

证明：由式（27）可知，第x个出行者的均衡出行成本为

将式（19）和式（22）代入上式，关于θ求导可得

由此可得

和

此外，可推知，

成立，即VOT越高的出行者，其均衡出行成本降低的收益越小.命题得证.

4 算例

本节用一个算例来支持前面的理论分析结果.模型的输入参数如下：N=100,s¯=50，η1=0.609，η2=2.377，α(x)=0.128x，即α在区间[0,12.8]内服从均匀分布.

表1给出了期望等价出行时间及各时间区间边界点随参数θ变化的关系.可以发现，参数θ越小，通勤者的最早出发时间就越早，最迟出发的时间也越早，高峰期长度越长（与3.4节中定理1的结论相符），出行个体的期望等价出行时间越大.这可以解释为，参数θ值越小，通行能力退化的程度越严重，从而出行时间的不确定性越大，风险也就越大.因此，出行者会通过选择提早出发来减少出行时间不确定性带来的风险，同时，θ值越小，则意味着可用的通行能力越小，所以导致高峰期长度延长，出行者的成本相应增加.

图1刻画了在其它参数保持不变的情况下，各类出行者的均衡出行成本与参数θ的关系.固定参数θ，可以发现，时间价值越大的出行者，其出行成本越大.相反，对于某一确定的时间价值，θ值越大，具有该时间价值的出行者成本越小.因此，我们可以得出这样的结论，在均衡态，随着参数θ增大，每个通勤者出行成本均随之减少.这进一步印证了定理2的结论.此外，对于一个固定的参数θ，时间价值越大的出行者，其收益越大.

图1 均衡出行成本随参数θ的变化图Fig.1 The change of equilibrium travel cost with parameterθ

表1 参数θ对期望等价出行时间和临界时刻的影响Table 1 The effect ofθon the expected equivalent travel time and the watershed time

5 研究结论

本文假设瓶颈通行能力随机变化，研究了异质出行者从生活区到工作区的早高峰通勤问题.出行者的时间价值(VOT)被设定成一个连续的随机变量，出行者按照递增的VOT顺序排列，且单位早到和迟到成本与时间价值的比值是固定的，在这一条件下刻画了异质出行者的出发时间选择行为，并研究了随机瓶颈模型下的高峰期长度，以及个体均衡出行成本的变化.基于用户均衡准则，推导出了均衡的出发率、期望等价出行时间及相应各时间区间的边界点.在均衡态，没有人能够通过单方面改变出发时间来减小其期望等价出行时间.另外，我们发现，随着瓶颈通行能力随机程度减低，高峰期长度也随之减小，个体均衡出行成本随之降低，且时间价值（VOT）越大的出行者，其成本降低的收益越大.

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Stochastic Bottleneck Model with Heterogeneous Travelers

XIAO Ling-ling1,HUANG Hai-jun1,TIAN Li-jun2
（1.School of Economics and Management,Beihang University,Beijing 100191,China; 2.School of Management,Fuzhou University,Fuzhou 350108,China）

ract:This paper studies commuters’departure time choice behavior along a bottleneck constrained highway connecting a resident area and a workplace.Commuters are differentiated by their value of time, and the bottleneck capacity is assumed to follow a uniform distribution within a range.The equilibrium properties of the proposed model are derived and individual travel cost is obtained.It is found that at equilibrium, the increase of capacity variability would change the commuters’travel behavior by increasing the expected equivalent travel time and lengthening the peak period.Every commuter is better off by reducing the individual travel cost if the stochasticity of the capacity decrease,and commuters with high value of time benefit more than those with low values.Numerical results are presented to support analytic findings.

rds:highway transportation;travel behavior;bottleneck model;stochastic capacity;heterogeneity

1009-6744（2014）04-0093-06

U121

A

2013-07-22

2013-09-25录用日期：2013-10-12

国家“973”计划（2012CB725401）；北京航空航天大学博士生创新基金（302976）.

肖玲玲（1984-），女，湖南邵阳人，博士生. *

haijunhuang@buaa.edu.cn