从“峰回路转”到“殊途同归”

徐军

归纳与猜想类考题是极具特色的一类题型，它主要考查学生对数学规律的发现、认知、归纳和应用能力，对学生的观察能力和概括能力要求也很高，因此备受中考青睐。近年来，各省数学中考试题中频频出现此类探索规律型问题，而且形式多样。那么如何来解这类问题呢？一般来说，可以从以下几个角度思考:

一、数字中找规律

（2013年湖北省孝感）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：

■

表中n等于．

解析：由表格可知，每四年举办一次奥运会，由此可得(2012-1896)÷4+1=30

答案:30

点评:此题考查了规律型数字的变化，解答此题的关键是引导学生观察题目中的数字，也就是题目中的已知条件，从而得出规律，再按照规律进行计算即可水到渠成。

二、图形中找规律

（2013年贵州省毕节市）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有个小正方形。

■

解析：观察图案不难发现，图案中的正方形按照从上到下成奇数列排布，写出第n个图案的正方形的个数，然后利用求和公式写出表达式，再把n=10代入进行计算即可得解。

答案：第1个图案中共有1个小正方形，第2个图案中共有1+3=4个小正方形，第3个图案中共有1+3+5=9个小正方形，…，第n个图案中共有1+3+5+…+（2n-1）=■=n2个小正方形，所以，第10个图案中共有102=100个小正方形。

答案：100

点评：本题是对图形变化规律的考查。学生很容易看出正方形的个数，但教师要提醒学生注意图案从上到下的排布——正方形的个数成奇数列排布，这样得到第n个图案的正方形的个数的表达式才是解题的关键。

三、等式（方程）中找规律

（2013年广东汕头）观察下列等式：

第1个等式：a1=■=■×（1-■）；

第2个等式：a2=■=■×（■-■）；

第3个等式：a3=■=■×（■-■）；

第4个等式：a4=■=■×（■-■）；

…

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：a5=；

（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an==

（n为正整数）；

（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值。

解析：（1）（2）可由观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1。

（3）运用变化规律计算。

答案：（1）■＝■×（■-■）

（2）■；■×（■-■）

（3）■

四、动态中找不变的规律

（2013年浙江省绍兴）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn-1Dn-2的中点为Dn-1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn-1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（）

■

第10题图

A.■B.■C.■D.■

解析：在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，所以BC=5，

又D是BC的中点，所以AD=■，

因为点A、D是一组对称点，所以AP1=■×■，

因为是D1是DP1的中点，所以AD1=■×■×■，即AP2=■×■×■×■，

同理AP3=■×■×（■×■）2，…APn=■×■×（■×■）n-1，所以AP6=■×■×（■×■）5=■，故应选A。

答案：A

点评：针对这类题目，首先要从最基本的几个图形中先求出数值，再进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律。

总之，解答探索规律型问题，必须在认真审题的基础上，通过归纳、计算、想象和猜想探索规律。在探索和递推时，往往是从少到多，从简单到复杂，或从特殊、简单的情况入手，通过比较和分析，找出每次变化过程中具有的规律性的东西，找到解题方法。因此，虽然此类问题“峰回路转”，形式变化莫测，但只要教师引导学生从不同的角度观察，寻求规律，最终结果“殊途同归”。

归纳与猜想类考题是极具特色的一类题型，它主要考查学生对数学规律的发现、认知、归纳和应用能力，对学生的观察能力和概括能力要求也很高，因此备受中考青睐。近年来，各省数学中考试题中频频出现此类探索规律型问题，而且形式多样。那么如何来解这类问题呢？一般来说，可以从以下几个角度思考:

一、数字中找规律

（2013年湖北省孝感）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：

■

表中n等于．

解析：由表格可知，每四年举办一次奥运会，由此可得(2012-1896)÷4+1=30

答案:30

点评:此题考查了规律型数字的变化，解答此题的关键是引导学生观察题目中的数字，也就是题目中的已知条件，从而得出规律，再按照规律进行计算即可水到渠成。

二、图形中找规律

（2013年贵州省毕节市）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有个小正方形。

■

解析：观察图案不难发现，图案中的正方形按照从上到下成奇数列排布，写出第n个图案的正方形的个数，然后利用求和公式写出表达式，再把n=10代入进行计算即可得解。

答案：第1个图案中共有1个小正方形，第2个图案中共有1+3=4个小正方形，第3个图案中共有1+3+5=9个小正方形，…，第n个图案中共有1+3+5+…+（2n-1）=■=n2个小正方形，所以，第10个图案中共有102=100个小正方形。

答案：100

点评：本题是对图形变化规律的考查。学生很容易看出正方形的个数，但教师要提醒学生注意图案从上到下的排布——正方形的个数成奇数列排布，这样得到第n个图案的正方形的个数的表达式才是解题的关键。

三、等式（方程）中找规律

（2013年广东汕头）观察下列等式：

第1个等式：a1=■=■×（1-■）；

第2个等式：a2=■=■×（■-■）；

第3个等式：a3=■=■×（■-■）；

第4个等式：a4=■=■×（■-■）；

…

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：a5=；

（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an==

（n为正整数）；

（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值。

解析：（1）（2）可由观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1。

（3）运用变化规律计算。

答案：（1）■＝■×（■-■）

（2）■；■×（■-■）

（3）■

四、动态中找不变的规律

（2013年浙江省绍兴）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn-1Dn-2的中点为Dn-1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn-1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（）

■

第10题图

A.■B.■C.■D.■

解析：在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，所以BC=5，

又D是BC的中点，所以AD=■，

因为点A、D是一组对称点，所以AP1=■×■，

因为是D1是DP1的中点，所以AD1=■×■×■，即AP2=■×■×■×■，

同理AP3=■×■×（■×■）2，…APn=■×■×（■×■）n-1，所以AP6=■×■×（■×■）5=■，故应选A。

答案：A

点评：针对这类题目，首先要从最基本的几个图形中先求出数值，再进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律。

总之，解答探索规律型问题，必须在认真审题的基础上，通过归纳、计算、想象和猜想探索规律。在探索和递推时，往往是从少到多，从简单到复杂，或从特殊、简单的情况入手，通过比较和分析，找出每次变化过程中具有的规律性的东西，找到解题方法。因此，虽然此类问题“峰回路转”，形式变化莫测，但只要教师引导学生从不同的角度观察，寻求规律，最终结果“殊途同归”。

归纳与猜想类考题是极具特色的一类题型，它主要考查学生对数学规律的发现、认知、归纳和应用能力，对学生的观察能力和概括能力要求也很高，因此备受中考青睐。近年来，各省数学中考试题中频频出现此类探索规律型问题，而且形式多样。那么如何来解这类问题呢？一般来说，可以从以下几个角度思考:

一、数字中找规律

（2013年湖北省孝感）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：

■

表中n等于．

解析：由表格可知，每四年举办一次奥运会，由此可得(2012-1896)÷4+1=30

答案:30

点评:此题考查了规律型数字的变化，解答此题的关键是引导学生观察题目中的数字，也就是题目中的已知条件，从而得出规律，再按照规律进行计算即可水到渠成。

二、图形中找规律

（2013年贵州省毕节市）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有个小正方形。

■

解析：观察图案不难发现，图案中的正方形按照从上到下成奇数列排布，写出第n个图案的正方形的个数，然后利用求和公式写出表达式，再把n=10代入进行计算即可得解。

答案：第1个图案中共有1个小正方形，第2个图案中共有1+3=4个小正方形，第3个图案中共有1+3+5=9个小正方形，…，第n个图案中共有1+3+5+…+（2n-1）=■=n2个小正方形，所以，第10个图案中共有102=100个小正方形。

答案：100

点评：本题是对图形变化规律的考查。学生很容易看出正方形的个数，但教师要提醒学生注意图案从上到下的排布——正方形的个数成奇数列排布，这样得到第n个图案的正方形的个数的表达式才是解题的关键。

三、等式（方程）中找规律

（2013年广东汕头）观察下列等式：

第1个等式：a1=■=■×（1-■）；

第2个等式：a2=■=■×（■-■）；

第3个等式：a3=■=■×（■-■）；

第4个等式：a4=■=■×（■-■）；

…

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：a5=；

（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an==

（n为正整数）；

（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值。

解析：（1）（2）可由观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1。

（3）运用变化规律计算。

答案：（1）■＝■×（■-■）

（2）■；■×（■-■）

（3）■

四、动态中找不变的规律

（2013年浙江省绍兴）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn-1Dn-2的中点为Dn-1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn-1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（）

■

第10题图

A.■B.■C.■D.■

解析：在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，所以BC=5，

又D是BC的中点，所以AD=■，

因为点A、D是一组对称点，所以AP1=■×■，

因为是D1是DP1的中点，所以AD1=■×■×■，即AP2=■×■×■×■，

同理AP3=■×■×（■×■）2，…APn=■×■×（■×■）n-1，所以AP6=■×■×（■×■）5=■，故应选A。

答案：A

点评：针对这类题目，首先要从最基本的几个图形中先求出数值，再进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律。

总之，解答探索规律型问题，必须在认真审题的基础上，通过归纳、计算、想象和猜想探索规律。在探索和递推时，往往是从少到多，从简单到复杂，或从特殊、简单的情况入手，通过比较和分析，找出每次变化过程中具有的规律性的东西，找到解题方法。因此，虽然此类问题“峰回路转”，形式变化莫测，但只要教师引导学生从不同的角度观察，寻求规律，最终结果“殊途同归”。