微积分课“不定积分第一类换元法”分类总结

2014-07-23 15:41王闪闪
新校园·中旬刊 2014年4期
关键词:不定积分分类

王闪闪

摘 要:本文分类总结了不定积分第一类换元积分法的常见类型,并给出典型的例题讲解。

关键词:不定积分;第一类换元积分法;分类

第一类换元积分法是求不定积分重要的、基础的方法,本文将第一类换元积分法(凑微分法)常见的类型进行分类总结。

定理:设(1)■f(u)du=F(u)+C,(2)函数u=?渍(x)可微,则成立第一类换元积分方法:

■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■

=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C

类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)

例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C

例2①■■②■■

分析:①中被积函数分母x2+2x+5的△<0,通过对分母配方,做变换■■dx=■■dx;②中被积函数分母x2-5x+6的△>0,通过对分母因式分解,做变换■■=■■。

解:①■■dx=■■dx

=■■d(x+1)=■arctan■+C

②■■=■■=ln■+C

类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)

例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C

例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C

类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)

例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)

=-■+C

类型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)

例6■■dx=■■dex=■arcan■+C

类型Ⅴ关于被积函数中含有sinx和cosx的不定积分

ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx

=-■f(cosc)d(cosx)

例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C

ⅱ对于形如■sinmxcosnxdx,■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的积分(m,n∈N),可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。

例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx

=■[■sin8xdx+■sin2xdx]

=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x)

=-■cos8x-■cos4x+C

ⅲ对于形如■sinmxcosnxdx的积分(m,n∈N),可按如下方法处理:

(1)m,n中至少有一个为奇数时,不妨设n=2k+1,

■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-u2)kdu,化成u的多项式积分,求出后以u=sinx代回;

(2)m,n都为偶数时,可用倍角公式,sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函数幂次。

例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx)

=■(sin2x-sin4x)d(sinx)

=■sin3x-■sin5x+C

例10■sin2xcos2xdx=■■■dx

=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx

=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C

类型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx)

和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx)

例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■tanx(1+tan2x)d(tanx)

=■tan2x+■tan4x+C

或者用下面解法:

■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■sec3xd(secx)=■sec4x+C

类型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln|f(x)|+C

例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln|x2-x+3|+C

类型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx)

和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx)

例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C

例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C

不定积分计算方法多样灵活,作为对逆向思维的一种考察,难度较大。三本院校偏文科类的学生,数学基础薄弱,因此要降低理论推导要求,加强知识分类、识别的介绍和方法总结,多举例,注意培养学生的计算应用能力。结合实践教学过程中的经验,本文对第一类换元积分法做分类总结,教会学生识别不同的被积函数,进而采用相应合适的积分方法。

参考文献:

[1]同济大学应用数学系.高等数学(本科少学时类型)[M].北京:高等教育出版社,2008.

[2]赵树嫄.微积分(第三版)[M].北京:中国人民大学出版社,2007.

摘 要:本文分类总结了不定积分第一类换元积分法的常见类型,并给出典型的例题讲解。

关键词:不定积分;第一类换元积分法;分类

第一类换元积分法是求不定积分重要的、基础的方法,本文将第一类换元积分法(凑微分法)常见的类型进行分类总结。

定理:设(1)■f(u)du=F(u)+C,(2)函数u=?渍(x)可微,则成立第一类换元积分方法:

■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■

=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C

类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)

例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C

例2①■■②■■

分析:①中被积函数分母x2+2x+5的△<0,通过对分母配方,做变换■■dx=■■dx;②中被积函数分母x2-5x+6的△>0,通过对分母因式分解,做变换■■=■■。

解:①■■dx=■■dx

=■■d(x+1)=■arctan■+C

②■■=■■=ln■+C

类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)

例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C

例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C

类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)

例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)

=-■+C

类型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)

例6■■dx=■■dex=■arcan■+C

类型Ⅴ关于被积函数中含有sinx和cosx的不定积分

ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx

=-■f(cosc)d(cosx)

例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C

ⅱ对于形如■sinmxcosnxdx,■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的积分(m,n∈N),可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。

例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx

=■[■sin8xdx+■sin2xdx]

=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x)

=-■cos8x-■cos4x+C

ⅲ对于形如■sinmxcosnxdx的积分(m,n∈N),可按如下方法处理:

(1)m,n中至少有一个为奇数时,不妨设n=2k+1,

■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-u2)kdu,化成u的多项式积分,求出后以u=sinx代回;

(2)m,n都为偶数时,可用倍角公式,sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函数幂次。

例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx)

=■(sin2x-sin4x)d(sinx)

=■sin3x-■sin5x+C

例10■sin2xcos2xdx=■■■dx

=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx

=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C

类型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx)

和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx)

例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■tanx(1+tan2x)d(tanx)

=■tan2x+■tan4x+C

或者用下面解法:

■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■sec3xd(secx)=■sec4x+C

类型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln|f(x)|+C

例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln|x2-x+3|+C

类型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx)

和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx)

例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C

例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C

不定积分计算方法多样灵活,作为对逆向思维的一种考察,难度较大。三本院校偏文科类的学生,数学基础薄弱,因此要降低理论推导要求,加强知识分类、识别的介绍和方法总结,多举例,注意培养学生的计算应用能力。结合实践教学过程中的经验,本文对第一类换元积分法做分类总结,教会学生识别不同的被积函数,进而采用相应合适的积分方法。

参考文献:

[1]同济大学应用数学系.高等数学(本科少学时类型)[M].北京:高等教育出版社,2008.

[2]赵树嫄.微积分(第三版)[M].北京:中国人民大学出版社,2007.

摘 要:本文分类总结了不定积分第一类换元积分法的常见类型,并给出典型的例题讲解。

关键词:不定积分;第一类换元积分法;分类

第一类换元积分法是求不定积分重要的、基础的方法,本文将第一类换元积分法(凑微分法)常见的类型进行分类总结。

定理:设(1)■f(u)du=F(u)+C,(2)函数u=?渍(x)可微,则成立第一类换元积分方法:

■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■

=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C

类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)

例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C

例2①■■②■■

分析:①中被积函数分母x2+2x+5的△<0,通过对分母配方,做变换■■dx=■■dx;②中被积函数分母x2-5x+6的△>0,通过对分母因式分解,做变换■■=■■。

解:①■■dx=■■dx

=■■d(x+1)=■arctan■+C

②■■=■■=ln■+C

类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)

例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C

例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C

类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)

例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)

=-■+C

类型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)

例6■■dx=■■dex=■arcan■+C

类型Ⅴ关于被积函数中含有sinx和cosx的不定积分

ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx

=-■f(cosc)d(cosx)

例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C

ⅱ对于形如■sinmxcosnxdx,■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的积分(m,n∈N),可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。

例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx

=■[■sin8xdx+■sin2xdx]

=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x)

=-■cos8x-■cos4x+C

ⅲ对于形如■sinmxcosnxdx的积分(m,n∈N),可按如下方法处理:

(1)m,n中至少有一个为奇数时,不妨设n=2k+1,

■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-u2)kdu,化成u的多项式积分,求出后以u=sinx代回;

(2)m,n都为偶数时,可用倍角公式,sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函数幂次。

例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx)

=■(sin2x-sin4x)d(sinx)

=■sin3x-■sin5x+C

例10■sin2xcos2xdx=■■■dx

=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx

=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C

类型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx)

和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx)

例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■tanx(1+tan2x)d(tanx)

=■tan2x+■tan4x+C

或者用下面解法:

■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■sec3xd(secx)=■sec4x+C

类型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln|f(x)|+C

例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln|x2-x+3|+C

类型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx)

和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx)

例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C

例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C

不定积分计算方法多样灵活,作为对逆向思维的一种考察,难度较大。三本院校偏文科类的学生,数学基础薄弱,因此要降低理论推导要求,加强知识分类、识别的介绍和方法总结,多举例,注意培养学生的计算应用能力。结合实践教学过程中的经验,本文对第一类换元积分法做分类总结,教会学生识别不同的被积函数,进而采用相应合适的积分方法。

参考文献:

[1]同济大学应用数学系.高等数学(本科少学时类型)[M].北京:高等教育出版社,2008.

[2]赵树嫄.微积分(第三版)[M].北京:中国人民大学出版社,2007.

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