跟着“感觉”走

朱元元　赵久军

每到中考结束，学生都会感觉到数学试题“难”，凭笔者多年的教学经验，“难”的原因可能有这么几个：（1）时间不够用。知识准备不充分，答题不流畅，时间不够用，就说是试卷难。（2）策略失误。学生在答题时，没有做到先易后难，以至于后面有的题目没来得及做，于是说试卷难。（3）心理调整不到位。中考试卷本来就有难题，学生应该有心理准备，但平时训练不到位，缺失了自信心，影响了答题的质量，于是就说试卷难。（4）解题方法缺失。

细想下来，做试卷，时间消耗最多的就是在审题上。读题后，如何迅速找准思维点，是解题的关键，也是能否节省时间的关键。其实，有时在解题时，跟着感觉走一走，也能很快地找到问题解决的切入点。

数学中跟着感觉走，就是所谓的“凭直觉”，而实际生活中，直觉是经常用到的。布鲁纳认为直觉就是一种直接的、非渐进的、以视觉形象为思维媒介的、对问题的飞跃式的直接把握和解决。因而，这种思维方式在操作上是内隐的，表现上是顿悟的，常常能迸发出新异的思维成果，带有创新性，是进行创造性活动的重要思维方式。数学最初的概念都是基于直觉，在数学发展史上的一些重大发现，如牛顿发明微积分，笛卡尔创立解析几何，高斯对代数学基本定理的证明，等等，无一不是直觉思维的杰作。数学问题的解决有时需要跟着感觉走。

从答案看，k1的求法自不必说，但k2的求法在新课标对演绎推理降低“难度”的前提下，出现通过添两条辅助线构造常见图形来求解的情况，对学生来讲，要求有点高了。下面，笔者从直觉思维的角度，就求解来谈一下与命题人不同的思路。

凭感觉：求k2的关键是求点D的横坐标n，这时，我们不妨依图2作y轴的垂线DN，则可知DN=n，ON=2。

于是，我们从图中可提取出两个相似的常见图形（图3和图4），作为教师和学生对于两个图形及其所蕴含的知识点应该是很熟悉的。

当然，从直觉思维的角度来看，我们还有另一种解法：由于AB与DB垂直，如果学生能有这方面的知识储备，不难由y=2x+2直接得到直线BD的解析式，这对于求点E的坐标来得就更快了。从中考阅卷反馈的信息看，有学生是这样做的。

【分析第（2）问】

凭感觉：由提取出的图3，我们知道，∠OBE=∠ACE（如图6），理论上，点B和点C应该是对应顶点，但由题目中要说明△BDF∽△ACE，可知点B与点A对应，是不是题目错了呢？是不是只要给个“不存在”的结论就能得分呢？从阅卷情况看，还真有学生直接写了个“不存在”。当然，这时是我们的感觉错了。

经验丰富的学生也由这个“感觉”发现解决问题的切入点：是否存在点F，要先证明∠OBD是否等于∠CAE。如果等于，自然就存在，再去求点F（这样就不走弯路了）；如果不等，则自然不存在。有了上述思路的学生当然得到了理想的满分，不过从参加阅卷的教师反馈的信息来看，仍有许多学生忽视了证明“∠OBD=∠CAE”这一点，而直接用对应边成比例求解了。虽然结果也对了，但还是不能得到满分。

由这一问的分析可知，在看到直觉思维在解题方面的重要性的同时，我们还必须认识到直觉思维的两面性，即直觉思维的结论不一定都是正确的，还需要经过我们的论证。

直觉思维运用于一些诸如选择题、填空题等小分值问题时，也常会使分数来得易如反掌。

面对如此标准的图形，学生“凭直觉”也能猜出答案是多少，而无需怀疑自己。理由是：求角的度数，但题目中没有给出任一角的度数，这只能说明所求的这个角所在图形是特殊的，诸如正多边形、等腰直角三角形、长方形等，而此题中的∠DEC是△DEC的一个内角，那么，这个三角形要么是等边三角形，要么是等腰直角三角形，因为规范的试卷的图形是标准的，所以学生自然想到∠DEC是等边△DEC的一个内角，即为60°。

通过以上分析，我们知道：通过对所要解决的数学问题的结构特征、数据特征、图形特征等方面观察和分析后，启动直觉思维，进行合情的推理，是可以快速而有效地解决问题的。

直觉思维不仅只存在于数学学科中，同样也存在于其他学科中。在物理学中，1900年德国物理学家普朗克摒弃了经典物理学的观点，靠直觉思维的帮助，大胆地提出了“量子论”的假说；1934年日本物理学家汤川秀树完成了“介子学说”的论文，当时也没有进行系统的论证，而是靠直觉思维的导引而产生的一种“假想”。纵观近现代化学发展史，许多重要的发现都是建立在直觉思维的基础之上的，如1869年俄国化学家门捷列夫排出的元素周期表，1913年丹麦物理学家玻尔提出的原子模型，还有凯库勒发现苯环结构，等等。因此，爱因斯坦认为，在科学研究和创造发明中，“真正可贵的是直觉思维”。

当然，我们同时也要认识到，在没有经过严格的推理论证和计算之前，就能够对问题作出判断，得出结论或者预见解题途径，这并不是主观臆断，而是以对学科知识的深刻理解为基础，以对事物的敏锐观察为前提的。教师应在教学中多关注学生直觉思维的培养，它是创新型人才的必备素质。

（作者单位：江苏省连云港市朐山中学；江苏省连云港市海州区教育局教科室）

每到中考结束，学生都会感觉到数学试题“难”，凭笔者多年的教学经验，“难”的原因可能有这么几个：（1）时间不够用。知识准备不充分，答题不流畅，时间不够用，就说是试卷难。（2）策略失误。学生在答题时，没有做到先易后难，以至于后面有的题目没来得及做，于是说试卷难。（3）心理调整不到位。中考试卷本来就有难题，学生应该有心理准备，但平时训练不到位，缺失了自信心，影响了答题的质量，于是就说试卷难。（4）解题方法缺失。

细想下来，做试卷，时间消耗最多的就是在审题上。读题后，如何迅速找准思维点，是解题的关键，也是能否节省时间的关键。其实，有时在解题时，跟着感觉走一走，也能很快地找到问题解决的切入点。

数学中跟着感觉走，就是所谓的“凭直觉”，而实际生活中，直觉是经常用到的。布鲁纳认为直觉就是一种直接的、非渐进的、以视觉形象为思维媒介的、对问题的飞跃式的直接把握和解决。因而，这种思维方式在操作上是内隐的，表现上是顿悟的，常常能迸发出新异的思维成果，带有创新性，是进行创造性活动的重要思维方式。数学最初的概念都是基于直觉，在数学发展史上的一些重大发现，如牛顿发明微积分，笛卡尔创立解析几何，高斯对代数学基本定理的证明，等等，无一不是直觉思维的杰作。数学问题的解决有时需要跟着感觉走。

从答案看，k1的求法自不必说，但k2的求法在新课标对演绎推理降低“难度”的前提下，出现通过添两条辅助线构造常见图形来求解的情况，对学生来讲，要求有点高了。下面，笔者从直觉思维的角度，就求解来谈一下与命题人不同的思路。

凭感觉：求k2的关键是求点D的横坐标n，这时，我们不妨依图2作y轴的垂线DN，则可知DN=n，ON=2。

于是，我们从图中可提取出两个相似的常见图形（图3和图4），作为教师和学生对于两个图形及其所蕴含的知识点应该是很熟悉的。

当然，从直觉思维的角度来看，我们还有另一种解法：由于AB与DB垂直，如果学生能有这方面的知识储备，不难由y=2x+2直接得到直线BD的解析式，这对于求点E的坐标来得就更快了。从中考阅卷反馈的信息看，有学生是这样做的。

【分析第（2）问】

凭感觉：由提取出的图3，我们知道，∠OBE=∠ACE（如图6），理论上，点B和点C应该是对应顶点，但由题目中要说明△BDF∽△ACE，可知点B与点A对应，是不是题目错了呢？是不是只要给个“不存在”的结论就能得分呢？从阅卷情况看，还真有学生直接写了个“不存在”。当然，这时是我们的感觉错了。

经验丰富的学生也由这个“感觉”发现解决问题的切入点：是否存在点F，要先证明∠OBD是否等于∠CAE。如果等于，自然就存在，再去求点F（这样就不走弯路了）；如果不等，则自然不存在。有了上述思路的学生当然得到了理想的满分，不过从参加阅卷的教师反馈的信息来看，仍有许多学生忽视了证明“∠OBD=∠CAE”这一点，而直接用对应边成比例求解了。虽然结果也对了，但还是不能得到满分。

由这一问的分析可知，在看到直觉思维在解题方面的重要性的同时，我们还必须认识到直觉思维的两面性，即直觉思维的结论不一定都是正确的，还需要经过我们的论证。

直觉思维运用于一些诸如选择题、填空题等小分值问题时，也常会使分数来得易如反掌。

面对如此标准的图形，学生“凭直觉”也能猜出答案是多少，而无需怀疑自己。理由是：求角的度数，但题目中没有给出任一角的度数，这只能说明所求的这个角所在图形是特殊的，诸如正多边形、等腰直角三角形、长方形等，而此题中的∠DEC是△DEC的一个内角，那么，这个三角形要么是等边三角形，要么是等腰直角三角形，因为规范的试卷的图形是标准的，所以学生自然想到∠DEC是等边△DEC的一个内角，即为60°。

通过以上分析，我们知道：通过对所要解决的数学问题的结构特征、数据特征、图形特征等方面观察和分析后，启动直觉思维，进行合情的推理，是可以快速而有效地解决问题的。

直觉思维不仅只存在于数学学科中，同样也存在于其他学科中。在物理学中，1900年德国物理学家普朗克摒弃了经典物理学的观点，靠直觉思维的帮助，大胆地提出了“量子论”的假说；1934年日本物理学家汤川秀树完成了“介子学说”的论文，当时也没有进行系统的论证，而是靠直觉思维的导引而产生的一种“假想”。纵观近现代化学发展史，许多重要的发现都是建立在直觉思维的基础之上的，如1869年俄国化学家门捷列夫排出的元素周期表，1913年丹麦物理学家玻尔提出的原子模型，还有凯库勒发现苯环结构，等等。因此，爱因斯坦认为，在科学研究和创造发明中，“真正可贵的是直觉思维”。

当然，我们同时也要认识到，在没有经过严格的推理论证和计算之前，就能够对问题作出判断，得出结论或者预见解题途径，这并不是主观臆断，而是以对学科知识的深刻理解为基础，以对事物的敏锐观察为前提的。教师应在教学中多关注学生直觉思维的培养，它是创新型人才的必备素质。

（作者单位：江苏省连云港市朐山中学；江苏省连云港市海州区教育局教科室）

每到中考结束，学生都会感觉到数学试题“难”，凭笔者多年的教学经验，“难”的原因可能有这么几个：（1）时间不够用。知识准备不充分，答题不流畅，时间不够用，就说是试卷难。（2）策略失误。学生在答题时，没有做到先易后难，以至于后面有的题目没来得及做，于是说试卷难。（3）心理调整不到位。中考试卷本来就有难题，学生应该有心理准备，但平时训练不到位，缺失了自信心，影响了答题的质量，于是就说试卷难。（4）解题方法缺失。

细想下来，做试卷，时间消耗最多的就是在审题上。读题后，如何迅速找准思维点，是解题的关键，也是能否节省时间的关键。其实，有时在解题时，跟着感觉走一走，也能很快地找到问题解决的切入点。

数学中跟着感觉走，就是所谓的“凭直觉”，而实际生活中，直觉是经常用到的。布鲁纳认为直觉就是一种直接的、非渐进的、以视觉形象为思维媒介的、对问题的飞跃式的直接把握和解决。因而，这种思维方式在操作上是内隐的，表现上是顿悟的，常常能迸发出新异的思维成果，带有创新性，是进行创造性活动的重要思维方式。数学最初的概念都是基于直觉，在数学发展史上的一些重大发现，如牛顿发明微积分，笛卡尔创立解析几何，高斯对代数学基本定理的证明，等等，无一不是直觉思维的杰作。数学问题的解决有时需要跟着感觉走。

从答案看，k1的求法自不必说，但k2的求法在新课标对演绎推理降低“难度”的前提下，出现通过添两条辅助线构造常见图形来求解的情况，对学生来讲，要求有点高了。下面，笔者从直觉思维的角度，就求解来谈一下与命题人不同的思路。

凭感觉：求k2的关键是求点D的横坐标n，这时，我们不妨依图2作y轴的垂线DN，则可知DN=n，ON=2。

于是，我们从图中可提取出两个相似的常见图形（图3和图4），作为教师和学生对于两个图形及其所蕴含的知识点应该是很熟悉的。

当然，从直觉思维的角度来看，我们还有另一种解法：由于AB与DB垂直，如果学生能有这方面的知识储备，不难由y=2x+2直接得到直线BD的解析式，这对于求点E的坐标来得就更快了。从中考阅卷反馈的信息看，有学生是这样做的。

【分析第（2）问】

凭感觉：由提取出的图3，我们知道，∠OBE=∠ACE（如图6），理论上，点B和点C应该是对应顶点，但由题目中要说明△BDF∽△ACE，可知点B与点A对应，是不是题目错了呢？是不是只要给个“不存在”的结论就能得分呢？从阅卷情况看，还真有学生直接写了个“不存在”。当然，这时是我们的感觉错了。

经验丰富的学生也由这个“感觉”发现解决问题的切入点：是否存在点F，要先证明∠OBD是否等于∠CAE。如果等于，自然就存在，再去求点F（这样就不走弯路了）；如果不等，则自然不存在。有了上述思路的学生当然得到了理想的满分，不过从参加阅卷的教师反馈的信息来看，仍有许多学生忽视了证明“∠OBD=∠CAE”这一点，而直接用对应边成比例求解了。虽然结果也对了，但还是不能得到满分。

由这一问的分析可知，在看到直觉思维在解题方面的重要性的同时，我们还必须认识到直觉思维的两面性，即直觉思维的结论不一定都是正确的，还需要经过我们的论证。

直觉思维运用于一些诸如选择题、填空题等小分值问题时，也常会使分数来得易如反掌。

面对如此标准的图形，学生“凭直觉”也能猜出答案是多少，而无需怀疑自己。理由是：求角的度数，但题目中没有给出任一角的度数，这只能说明所求的这个角所在图形是特殊的，诸如正多边形、等腰直角三角形、长方形等，而此题中的∠DEC是△DEC的一个内角，那么，这个三角形要么是等边三角形，要么是等腰直角三角形，因为规范的试卷的图形是标准的，所以学生自然想到∠DEC是等边△DEC的一个内角，即为60°。

通过以上分析，我们知道：通过对所要解决的数学问题的结构特征、数据特征、图形特征等方面观察和分析后，启动直觉思维，进行合情的推理，是可以快速而有效地解决问题的。

直觉思维不仅只存在于数学学科中，同样也存在于其他学科中。在物理学中，1900年德国物理学家普朗克摒弃了经典物理学的观点，靠直觉思维的帮助，大胆地提出了“量子论”的假说；1934年日本物理学家汤川秀树完成了“介子学说”的论文，当时也没有进行系统的论证，而是靠直觉思维的导引而产生的一种“假想”。纵观近现代化学发展史，许多重要的发现都是建立在直觉思维的基础之上的，如1869年俄国化学家门捷列夫排出的元素周期表，1913年丹麦物理学家玻尔提出的原子模型，还有凯库勒发现苯环结构，等等。因此，爱因斯坦认为，在科学研究和创造发明中，“真正可贵的是直觉思维”。

当然，我们同时也要认识到，在没有经过严格的推理论证和计算之前，就能够对问题作出判断，得出结论或者预见解题途径，这并不是主观臆断，而是以对学科知识的深刻理解为基础，以对事物的敏锐观察为前提的。教师应在教学中多关注学生直觉思维的培养，它是创新型人才的必备素质。

（作者单位：江苏省连云港市朐山中学；江苏省连云港市海州区教育局教科室）