形状不规则筏基在SH波下的动力响应研究*

文学章，蒋 林，尚守平

(湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410082)

筏板基础是工程中常见的基础形式之一，对其动力特性的研究是近几十年来的热门课题[1-2].目前，对于筏板基础在地震波中的动力响应的研究，大多是以规则对称的圆形或矩形基础作为研究对象，但实际工程中，往往会出现其平面形状不规则对称的情况.而平面形状不规则会使结构在地震中发生扭转，从而可能给结构带来较大的损坏，因此，有必要对不规则形状基础-地基的动力相互作用进行研究.

土-结构相互作用有两个基本物理量：动力阻抗和有效输入地动，其中有效输入地动即基础在地震波作用下的动力位移响应，在子结构分析模型中作为上部结构的动力输入，显然比直接采用自由场地动更加合理，二者的差别在地震观测中也得到证实[3].在以往对基础有效输入地动的研究中，Kobori等研究了弹性半空间表面刚性圆盘基础在地震波作用下的动力响应[4]；Mita等研究了正方形埋置基础的动力阻抗和有效输入地动[5]，Wong等研究了刚性矩形基础在倾斜地震波作用下的动力响应，指出：倾斜地震波作用下基础的动力响应与垂直地震波作用下的响应有很大不同，因此对这类问题的研究不能只考虑垂直地震波[6]；Yoshida则用边界元法研究了矩形基础的阻抗与地震波作用下的有效输入地动[7]；而王鹏等则研究了饱和地基表面上刚性圆盘基础在地震波下的竖向振动[8].以上的研究其对象均为圆盘基础或矩形基础等规则形状，而把不规则对称基础作为研究对象的研究非常少.

在以往对于不规则基础的动力特性的研究中，本文作者对形状不规则基础的动力阻抗进行了研究[9-10]，而对于基础在地震波作用下的动力位移响应的研究非常少．在垂直射入SH波作用下，对称基础不会发生扭转而非对称基础会发生扭转，而在倾斜射入SH波作用下，即使是对称基础也会发生扭转[11]．对于非对称基础，影响因素较多，问题变得更加复杂，因此有必要对其进行研究.

对于筏板基础在地震波作用下的动力响应的研究方法，常见的可大致分为两类，一类是利用Hankel变换等积分变换得到的连续解[12]，但这种方法只适用于平面问题以及轴对称问题，不适用于平面形状不规则的基础；另一类是基于Green函数的离散解法，而薄层元素法[13-15]是计算Green函数有效方法之一.

因此，本文采用薄层元素法，对不规则形状筏板基础在各种倾斜角度的SH波作用下的动力响应进行研究.

1 分析方法

为了便于研究，本文的研究作了如下的假设：1)假设土为均匀的粘弹性介质，不考虑其非线性；2)筏板厚度较大，其刚度比土的刚度大得多，假设其为无质量刚体(基础质量一般是在基础-上部结构子结构中考虑)；3)假设土与筏板基础的接触面紧密接触，不发生脱离和相对滑移.

土-基础动力相互作用系统如图1所示，设自由场的节点位移列向量为uf，筏基约束后的土节点位移列向量为u，则节点力列向量F可表示为：

F=K(u-uf)．

(1)

式中：K为土的刚度矩阵，可由式(2)得到：

K=G-1．

(2)

式中：G为土的柔度矩阵，其各元素为各个节点处的Green函数，本文采用薄层元素法[13-14]求得，底部采用Paraxial Boundary[13-15]，其具体计算步骤参见文献[13-15].

图1 地基-基础动力相互作用模型

设筏基的位移和力的列向量分别为uP和FP，分别包含3个平动和3个转动元素.根据筏基刚性假设，可得到下面的关系式：

u=TuP，

(3)

FP=TTF．

(4)

式中：T为刚体位移转换矩阵．

Ti=

式中：(xi,yi)和(x0,y0)分别为i节点和筏板几何中心的坐标.

将式(3)与式(4)代入式(1)，并化简可得：

KPuP=FP．

(5)

式中：KP=TTKT；FP=TT(F+Kuf).

对于地震波入射问题，F={0}，则：

KpuP=FP=TTKuf．

(6)

求解式(6)即可得到筏基在地震波作用下的动力响应.

对于自由场的节点位移列向量uf，本文只考虑入射波为SH的情况.如图1(b)所示，当SH波倾斜射入时，产生的反射波只有SH波，因为SH波的振动位移只有y方向成分，所以，土的位移v可表示为：

v(x,z)=vsi(x,z)+vsy(x,z)．

(7)

式中：vsi和vsr分别表示入射波与反射波的位移.如果SH波的入射角为θ，振幅为A，则入射波可表示为：

(8)

式中：VS为土的剪切波波速.

于是，可得到自由场总位移的表达式：

(9)

式中：Ag0=2A，为自由场表面的振幅.将节点坐标代入式(9)即可求得自由场的节点位移列向量为uf.

2 计算模型及参数

本文考虑实际工程中比较常见的“L”形和“C”形两种平面形状不规则对称的筏板基础，如图2所示，以正方形和边长比为2的矩形为基本形状，凹进尺寸分别为0C1/2，2C1/3和5C1/6，基础的相对面积分别为1，3/4，5/9和11/36，其形状参数如表1.地基考虑为均匀介质，剪切波速VS=250 m/s，密度ρ=1 800 kg/m3，泊松比ν=0.40，阻尼比h=0.05.地震波考虑为倾斜射入的SH波，入射角θ考虑为0°，30°和60° 3种情况.为了保证计算精度，基础划分为边长1.25 m的网格；土层按深度划分如下：0～10 m划分为20层，每层0.5 m；10～50 m划分为40层，每层1.0 m；50～150 m划分为50层，每层2.0 m，150 m以下为人工边界.

图2 “L”形和“C”形基础的平面图

表1 算例中基础形状参数

3 计算结果及分析

3.1 SH波作用下规则基础的动力响应

图3为入射角θ=30°，B2=C2=0时(即正方形与长方形基础)的水平与扭转动力响应.从图3(a)可以看出，本文所得结果与文献[10]的结果吻合较好.当SH波倾斜射入时，随着频率的增大，水平位移反应减小，这种现象称为“输入损失”[3]，是由于与基础接触的各个土节点振动的相位不同引起的.倾斜射入的SH波会使得基础发生扭转，随着频率的增大，扭转反应增大，在α0= 4左右达到峰值.对比正方形与长方形基础发现，二者的水平反应差别非常小，而扭转反应差别较大，长方形基础的扭转反应比正方形基础大得多，而峰值所对应的无量纲频率却基本上相同.

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3.2 不规则基础的动力响应

图4,图5为入射角θ=60°时，“L”形和“C”形基础的动力响应.从图中可看出，缺口对于水平反应的影响为：随着其尺寸的增大而增大；在低频区域其影响较小而高频区域其影响较大.在一定的频率范围内(本算例约为3.5)，“L”形基础的水平反应随缺口的增大而增大，而“C”形基础却呈现相反的趋势，这是因为基础的动力响应是基础各处波的综合作用的结果，基础各处波的相位差别越大，水平位移响应就越小，“L”形基础缺口在端部，缺口越大，各处波相位差别越小；而“C”形基础的缺口在中间，缺口越大，各处波的相位差别越大.随着频率的增大，“C”形基础的两翼缘处波的相位差经历了一个由逐渐增大到反相然后又逐渐减小的过程，因此基础的水平响应呈现出先减小后扩大的变化趋势.缺口对于“L”形基础的扭转反应的影响很小，这表明对于“L”形基础，由倾斜SH波引起的扭转响应起着控制作用，而对于“C”形基础，低频时影响很小而高频时影响较大.

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3.3 入射角的影响

图6，图7为B2/B1=C2/C1=1/2时，“L”形和“C”形基础的动力响应.从图中可看出：对于水平响应，当SH波垂直射入时恒为1，即没有输入损失.当SH波倾斜射入时，在一定的频率范围内，水平响应随着频率的增大而减小，减小的量随着入射角的增大而增大.对于扭转响应，当SH波垂直射入时其值恒为0，即这时不会产生扭转响应.当SH波倾斜射入时，会产生扭转响应，其峰值随入射角的变化较小，“L”形基础为0.6左右，“C”形基础达到1.0左右，峰值对应的频率随着入射角的增大而减小，入射角θ分别为30°和60°时，对应的峰值频率分别约为4.0 Hz和2.5 Hz，大约与sinθ成反比例关系.

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4 结 论

对形状不规则筏板基础在倾斜射入SH波作用下的动力响应进行了研究，得到的结论如下：

1)当SH波倾斜射入时，随着其频率的增大，水平位移响应减小，扭转响应增大，在某个频率达到峰值.

2)缺口尺寸越大，其对筏基水平响应的影响越大，在一定的频率范围内，缺口使得“L”形筏基的水平响应增大，而“C”形筏基减小，呈现相反的影响趋势；缺口尺寸对“L”形筏基的扭转响应影响较小，对“C”形筏基的扭转响应在低频区影响较小而高频区域影响较大.

3)SH波的入射角越大，对筏基的水平响应的影响越大，对扭转响应的峰值影响不大，但峰值所对应的频率随着入射角的增大而减小.

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