一种五自由度混联机器人运动学分析

高云峰，吕明睿，周 伦，李瑞峰

(哈尔滨工业大学机器人研究所，150001哈尔滨)

随着工业化的发展，工业机器人在先进制造技术中扮演着重要的角色.其中，混联工业机器人以其刚度和运动灵活性上的卓越性能被广泛运用到复杂曲面加工领域.就结构而言，德国DMG公司的著名五轴联动机床DMC165加工中心［1］采用了3个方向的平动轴构成的龙门加双摆头［2］的串联结构;伞红军等［3］开发了一种五轴串并联机器人;李菊等［4］研制了五轴混联机器人.本文所研究的五自由度机器人为一种3P-2R的新型结构机器人.由于该机器人一次作业只对上半曲面进行加工，而不需考虑底面加工，故五自由度可以满足作业位姿灵活度要求.与传统的5R串联结构相比，该机器人的刚度得到了很大提高［5-8］.

本文研究的五自由度混联机器人机构满足Pieper准则［9］，通过分析各关节对于末端执行器的位姿影响，根据Paul逆变换方法［10］中齐次矩阵元素的物理意义选取有效等式得到逆运动学封闭解.利用基于映射关系的曲面包络法描述局部关节的工作空间.由于J4、J5关节结构的特殊性，通过归纳的方法分析了该结构的作业姿态灵巧性.根据保证一点作业姿态灵巧性的充要条件，利用包络曲面叠加法［11］规划出完整的机器人灵巧工作空间模型.

1 结构分析

如图1～3所示，本文讨论的机器人共有6个轴.J1、J2和 J3轴为丝杠，分别由 M1、M2和 M3驱动，进行直线进给运动．J4、J5轴为转动关节．J6为末端执行器的转轴．丝杠S1、S2上各有一对铰接滑块．跨接两边的连杆以滑块A、B连线的中点为轴带动转台在一定角度内转动，转动的角度取决于A、B的行程差．杆L3随转台的转动而摆动．转台转动的同时可以沿着两边丝杠对称轴上的长直导轨在基础坐标系O0的X轴方向移动．M3驱动丝杠S3使L3能在O1的Z轴方向移动．xA、xB、xC分别表示滑块A、B、C在丝杠上的行程．

图1 机器人上半部分结构简图(俯视)

图2 机器人下半部分结构简图(正视)

图3 机器人立体结构图

机器人运动学通常通过建立D-H坐标系并列出D-H参数表后得到［8］.建立图4所示D-H坐标系.基础坐标系O0固连在J1轴上，X0轴与J1重合，Z0轴竖直向下．坐标系O1位于L3与J3交点;坐标系O3位于J4与J5轴的交点，X3轴垂直于T平面向外;坐标系O4位于J5与J6的交点，X4轴垂直于T平面向内．转台以下部分初始位于T平面内．

图4 机器人D-H坐标系示意图

对于关节1和2，可以直接通过空间变化关系得到坐标变换矩阵.对关节3～5列D-H参数表，见表1.

表1 关节3～5的D-H参数

2 运动学正解

对于本机器人，各相邻坐标系间的坐标变换矩阵如下(注:s φ =sin φ，c φ =cos φ):

Aii+1为从坐标系Oi到Oi+1的坐标变换;L1～L5为图1和图2中各杆的设计长度;φ1～φ5分别为J1、J2、J3、J4、J5转动角度;e为 J6轴距 O3点水平方向距离，p为螺距．

末端执行器位姿矩阵为(Φ =(4π2L21+(φ1-φ2)2p2)1/2):

式中:

3 运动学逆解

本文所讨论机器人结构满足Pieper准则，可直接以代数法求逆运动学封闭解解析式.矩阵逆变换等式左右两边都是有特定几何意义的，故本文针对每一步矩阵逆变换找出影响其矩阵特定项的关节变量，列出所需的全部有效方程［12］.

由前述结构分析可知，O4的姿态只由φ5决定，O1在Z2轴方向的距离只由xC决定．根据，选择表示姿态的矩阵项TL(3，1)=TR(3，1)，TL(3，2)=TR(3，2)和表示位置的矩阵项TL(4，3)=TR(4，3)(TL、TR分别表示等式左边和右边的变换阵)，可得

O4在 O1中的位置由 α(xA，xB)、φ4决定．根据选择表示位置的矩阵项TL(1，4)=TR(1，4)和TL(2，4)=TR(2，4)，可得

联立(4)、(5)，可得

X3在O0中的指向由 α(φ1，φ2)、φ4决定．根据，选择表示X3指向的矩阵项TL(1，1)=TR(1，1)和TL(2，1)=TR(2，1)，可得

将(1)、(2)代入(7)、(8)，可得

O3在 O0中的位置由 α(φ1，φ2)、φ4确定．选择 TL(1，4)=TR(1，4)，可得

将(9)代入(6)，得到

式(10)左边括号内值的正负与M同，得

又有联立式(4)、(11)，可得

由式(3)可得

由M、N可得

由式(2)可得

由此得到全部关节的转角φ1～φ5．

根据逆运动学封闭解解析式，代入机器人结构参数(表2)，规定机器人按照以下两种方式连续运动:

表2 五自由度机器人结构参数 mm

1)从［-470，200，600］(初始位置点)沿直线运动到点［0，0，800］，同时不断调整姿态至 Z4轴与水平面夹角为45°.

2)到达后以原姿态绕点［0，0，800］旋转半周.

本文所述的逆运动学逆解算法无理论误差.在CPU为Inter Core i3 M350的计算机上MATLAB运行仿真实验1 000次，总共消耗时间为17.922 ms，平均仿真一次获得φ1～φ5角度值所用的时间为18 μs，完全符合计算机控制的实时性要求，得到的仿真结果见图5～8.可以看出关节角度及丝杠行程变化平稳，无突变.仿真结果验证了该算法的快速性和有效性.

图5 行程随计算步的变化

图6 关节角随计算步的变化

图7 位置跟踪

图8 姿态跟踪(姿态以欧拉角α、β、γ表示)

4 工作空间分析

机器人的工作空间分为最大工作空间和灵巧工作空间.前者指执行器末端点可以至少一种姿态到达的最大范围;后者指执行器可以任意姿态到达的工作范围，边界曲面是包络所有灵巧工作点的空间包络曲面［8］.本文先研究 J4、J5联动时形成的包络面，后导出工作空间中一点为灵巧工作点的充要条件，由此得到灵巧工作空间范围［13-14］．

4.1 求解J4、J5联动时形成的包络面

设执行器末端点P在O4坐标系中坐标为P(xp，yp，zp)，P 点在 O4坐标系中的位置方程为

J5转动时，由知空间曲线:

Σ绕J4轴旋转，即 {Σ}=Rot(z2，φ5)·Σ，得空间曲线簇{Σ}:

消去式(12)中φ4、φ5，得到包络面方程:

当结构参数不同时，对应的包络面形态如图9～11所示.

图9 J4、J5联动时形成包络面(e＝30，Lp＝80)

图10 J4、J5联动时形成的包络面(e＝10，Lp＝80)

图11 J4、J5联动时形成的包络面(e＝0，Lp＝10)

可见结构参数e和Lp直接影响包络面形态．e决定包络面底部孔的尺寸，Lp决定包络面高度h和开口大小．Lp较小时，调整J5转角，配合J1～J4的微小动作即可改变一点的作业姿态．对于e=0，Lp=0的极限情况，包络面收缩为空间中的一点．此时，只调整J5转角，J1～J4保持原位置就可改变作业姿态．机器人的这个特点使得加工复杂曲面的效率大为提高．

等式两边对z2求导，令，得，则包络面截面圆半径最大值

定义包络面半径最大截面的圆心为包络面的中心Q．

4.2 局部点灵巧性

由于所讨论的五自由度机器人末端执行器指向与Z4轴同，所以可以通过分析T04中ax、ay、az项来研究末端执行器姿态．事实上，可从式(10)看出:ox+ax≤1，即机器人末端只能在一定范围内达到任意姿态，这是机器人的结构限制导致的．故定义此类工作点为“有限灵巧工作点”，即末端执行器能在一定范围内以任意姿态指向目标点，该范围已经能满足机器人作业需要．

建立如图12所示的球坐标系来描述末端执行器姿态［8］.

图12 以执行器末端点为原点构成的球坐标系

θ(方向)表示执行器在XPY平面的投影与X轴夹角，γ(纬度)表示执行器与XPY平面夹角．可以用θ和γ两个参数描述上半球面执行器的任意一种指向．其中:

设空间中的一点P位于某个由J4、J5轴联动形成的包络面上．它将同时位于以该点为圆心，Rz为半径的一系列包络面的同等高度的圆截面上．注意到Rz=Rz(φ5)，如果当φ5从 -π ～π变化时，γ可以取到0～π/2之间的任意值，且对于该范围内的任一γ，可以通过改变包络面的几何中心Q的位置使θ取到0～2π任意值，则该点为有限灵巧工作点．

进行坐标平移变换.β表示O2O0连线与X0轴夹角．当β从-π到π变化，生成一系列包含P(Px，Py，Pz)点的 包络 面．取P(0，0，0)．由［Px，Py，Pz，1］'=对应项相等得到方程组:

由式(13)得

等式(14)表示以φ5、β为基构成的φ4解空间．这样的一组φ4、φ5、β能使执行器末端点到达P点．当β从-π到π变化时，φ4总是从某个值开始增加2π，递增起点取决于φ5值．将φ4解空间的所有φ4代回A04=A02T23T34，分别算得A04中的ax、ay、az，得

图13 和图14 表示 φ5、β、γ、θ之间的关系．从图13可以看出，γ与β无关，只由φ5取值决定，即纬度γ与φ5存在一一映射关系．从图14可以看出，θ关于φ5与β两个变量的三维图像为一复杂的高低不平的连续曲面，且对于任意φ5(即对任意纬度γ)，方向θ总能取到0～2π之间的任意值．

图14 φ5、β和θ之间的关系

综上所述，可以得到结论:工作空间中某一点为有限灵巧工作点的充分必要条件是由J4、J5轴联动形成的包含该点的所有包络面中心Q连结成的曲面是完整的(见图15)．

图15 位姿有限灵巧点投影示意图

4.3 灵巧工作空间规划

基于4.2的结论，结合最大工作空间范围规划出机器人的灵巧工作空间.按照表2中的结构参数，运用第2节中得到的正运动学解析式，通过MATLAB仿真得到机器人的最大工作空间，见图16.

图16 可达工作空间仿真结果(俯视)

图16两端收缩的原因为:当滑块A或B中一个位于行程终点或起点，另一滑块向终点或起点靠近时，转台沿中线保持前进或后退状态．此时杆L3向中线摆动(因为滑块A与B的行程差减小)，使末端点P(Px，Py，Pz)的Py减小，则P靠近中线．两端形态不同的原因为:当滑块A或B一个位于起点，另一个前进时，转台沿中线前进，前进的速度为A或B中点的移动速度v1与L3摆动在X方向的速度分量v2之差，故左端收缩距离长;当滑块A或B任意一个位于终点，另一个前进时，转台沿中线前进，前进的速度为A或B中点的移动速度v1与L3摆动在X方向的速度分量v2之和，故右端收缩距离短．

在俯视图上，只需要沿可达工作空间的外轮廓向内推进2rmax的距离就可以得到其灵巧工作空间投影，见图17;正视图上，只需距可达工作空间的外缘上下各推进一个包络面的高度值h，左右各推进rmax就可以得到机器人的灵巧工作空间投影，见图18．

图17 可达和灵巧工作空间示意图(俯视)

图18 可达和灵巧工作空间示意图(正视)

5 结论

1)分析了一种五自由度机器人的结构和运动特点.提出了根据齐次矩阵元素的物理意义选取有效等式的分析方法进行矩阵逆变换求得运动学逆解.求得的逆运动学解析表达式形式简洁，无理论误差.

2)研究了该机器人作业局部点的灵巧性.根据可达工作空间规划出了完整的灵巧工作空间模型，为结构设计和运动控制奠定了基础.

3)本文研究的五自由度工业机器人结构刚性大，位姿改变快速灵巧，作业效率高.配合不同的末端执行器，可以完成弧焊、钻孔、去毛刺、抛光、铣削等复杂曲面加工，应用前景广泛.

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