变标度法的轴承故障诊断方法研究

杨景华，张向东

（西安重装矿山电器设备有限公司，陕西 西安710048）

对于滚动轴承来说，无论什么类型的故障，在故障早期，主要表现形式为随机性行为和非线性行为，轴承的转动过程中产生的振动信号也是无规律可循的杂乱现象，由于这种原因，采用传统的数据处理方法来研究滚动轴承的早期复合故障很难达到满意的效果。分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题。文章试图从分形的观点出发，探索滚动轴承内圈的故障诊断及预测分析方法。

1 变标度极差分析（R/S分析）

在分形研究领域，Hurst指数和变标度极差分析法（简称R/S分析），主要在天气预报和股指期货的指数周氏预测中被广泛应用，被得到了应用者的一致好评。

（1）标度极差分析（R/S分析）。R/S分析法在时间序列曲线的走势分析中，假定时间序列是：X(t),t=1,2...n，其中n为观测时间，在观测时间n内的平均值为[X(n)]，设累计利差为：Q(t,n)=∑[X(t)-],(t=1,2,…τ)则设极差为：E(n)=maxQ(t,n)-minQ(t,n),(t≤n)可以看出E(n)与n的成正比，设时间n内X(t)的均方差为：

与时间序列X(t)相比,它是相互独立的布朗运动，根据Hurst所给出的公式：

式中H取0.5，而对于分数布朗运动，Hurst得出了如下的民函数关系：

式中H为Hurst指数，将公式（1）式子两侧同取对数，得：

式子中的Hurst指数的物理意义是之间的斜率，因此，R/S分析法可以写成：

式中，E为重标后的极差，D为均方差，H为Hurst指数，N为样本观测数量，C为常数

此外，还有一种统计量AQ，该统计量可由一下公式得到：

Aq一般用来检验系统的稳定性，此外还可以估计运行周期。

（2）Aq统计量的算法。Aq统计量计的前半部分算过程与Hurst指数的计算过程大体类似，后半部分计算过程有所区别，其算法如下：①将时间序列样本数据{Rt}（t=1，2，…，n）分成k（n/N）各独立的部分，每个部分的时长为N的时间序列，k为小于n/N的最大正整数值。②计算每个独立的部分的累计离差

式中，和分别是是第m个时间序列的累计离差和样本均值。③计算每个独立部分的极差：R(m)=max(Xt,m)-min)(Xt,m)④为求出时独立部分长度N的数据段重标极差的模糊值，必须计算出重标极差的平均值R(m)/S(m)。⑤把k（n/N）个重标极差R(m)/S(m)的均值视作各独立部分长度为N的数据段重标极差的模糊值。⑥利用个独立部分的时间增量N，并且通过步骤a～e可计算出大量的R/S值，再利用一下公式

计算出Aq的值，式中n为个独立部分的样本数量，将log（n）设为横坐标，将Aq设为纵坐标，根绝计算出的多组数据就可以画出Aq曲线来。

由于信号的特性不同，Aq曲线也展现出不同的变化规律。

对于周期性强的信号，Aq曲线表现为增函数，且斜率较大，这也代表着周期信号具有较好的记忆特性；对于周期性较弱的信号则Vn曲线虽还是增函数，但斜率变小，记忆特性变差；对于随机性强的信号，Aq曲线表现为减函数，随机性越强则斜率越小，这代表着随机时序信号的记忆特性将不会产生。

2 仿真数据分析

本文先采用仿真信号对Hurst指数、Aq曲线的算法进行了验证，继而用优化后的算法对轴承内圈故障信号进行分析并得到相应的分析结果。以揭示信号所对应的Hurst指数、Aq曲线与信号之间的内在联系。

（1）周期性的正弦信号。文章提供了单一正弦仿真信号，求出其Hurst指数，如表1和表2所示。表中数据说明Hurst指数与信号的频率相关性很大，与信号的幅值相关性不大。随着仿真信号的频率增大，意味着信号在同一时域区间，波峰至波谷的翻转次数明显增多，即信号的“反持续性”逐渐增强，因此Hurst指数将逐渐变小。

表1 10赫兹正弦信号的Hurst指数

表2 不同频率的正弦信号的Hurst指数

图1所描述的是时序仿真信号y=sin(X)经R/S分析后的结果。图（a）的斜率对应的是Hurst指数，图（b）代表其对应的Aq曲线。

图1 正弦函数的变标度极差分析

经过R/S分析可得到如下结论：如图1所示，图1（a）的斜率对应的是该信号的Hurst指数，Hurst指数H=0.8080，同时该曲线表现出持久的上升趋势，曲线的上升斜率很大，且无明显的、很大的突变。说明该信号具有很强的记忆性、持久性、稳定性。

如图1所示，图1（b）是Aq曲线图，Aq值随着log（n）的增加而呈抛物线形，这符合周期信号的固有特性，表明时序信号的记忆特性并不会消弱。

综合来看，可以说明周期性信号的肤质变化规则是有规律可循的，而且非常稳定，不会出现不规则的失稳震荡现象，其未来的发展趋势与已知时间段内的信号的外形特征非常相似。

（2）随机信号的分析。利用Matlab软件函数库，选用随机信号为“1-2*rand（1，4000）”，并计算出信号的Hurst指数。如表3所示，因为软件每次生成的随机信号是不同的，因此每次计算的Hurst指数均不同，但是软件每次计算得到的Hurst指数差别不大，因此足以用来表征随机信号的分形特征。

表3 随机号及其对应的Hurst指数

图2 随机信号的变标度极差分析

经过R/S分析可得到如下结论：（1）如图2所示，图2（a）的斜率对应的是该信号的Hurst指数，Hurst指数在0.3253至0.3921之间，该参数小于0.5，说明原始信号形态比较复杂、粗糙。该曲线表现出持久的增长趋势，且无明显的、很大的突变，但因曲线斜率小于0.5，因此该信号的记忆性不好，这与随机信号的本身特点是相符的。（2）如图1所示，图2（b）是Vn曲线，一直处于下降状态，曲线的下降斜率很大，也无明显的、很大的突变发生，这代表着时序信号的记忆特性将减弱或消失，这与随机信号的本身特点也是相符的。

综合来看，可以说明随机信号在未来的无穷长的时间段内，其幅值的变化规则是非常不稳定的，其未来的变化与已知时间段内信号的外形特征无关联。总体上，随机信号的Hurst指数与Vn曲线所表明的信号特征符合随机函数本身的特点。

3 美国凯斯西储大学轴承数据分析结果

文章所采用的滚动轴承故障实验数据为Case Western Reserve University Bearing Data center的探伤测试数据。该数据中心无偿提供大量的滚动轴承正常及故障数据。文章所采用的实验工况是：电机负载为3HP，转速为1730r/min，采样频率fs=12kHz，取样24万点。文章采用工况下轴承内圈单点故障引起的振动信号数据和正常轴承的振动信号数据进行分析、对比。

表4 滚动轴承内圈故障的Hurst指数

图3 正常数据和滚动轴承内圈故障的Aq曲线

经过R/S分析可得到如下结论：如图3所示，图3（a）代表正常信号的Aq曲线（引用的数据编号为为99.mat）。该Aq曲线初始的Aq值为0.7至0.75之间，曲线初段先小幅下降再小幅上升，说明原始信号具有弱周期性。当分析的数据量达到5000点后，Aq曲线出现拐点，拐点处Aq值为0.75，然后曲线开始下降，并且下降斜率很大，这说明随着分析数据的增多，信号出现较强的随机性。这一现象可以理解为，正常信号以5000点为一个小的循环段，在该时段内信号表现出弱周期性，当大于该时段后，表现出强随机性。

因为轴承处于正常运行状态，没有固定的故障干扰，因此其振动信号在短的时段内存在弱的周期性，而在长的时段内以随机性为主。图3（a）中的Aq曲线所表现出的诸特性与数据的实际情况相符。

如图3所示，图3（b）代表内圈故障信号的Aq曲线（引用的数据编号为为3004.mat）。该Aq曲线初始值为0.75至0.8之间，曲线初段先小幅下降，当分析的数据量达到3000点左右时，Aq曲线出现拐点（如图中箭头所指），拐点处Aq值为0.75。接着曲线再小幅下降，曲线整体的下降斜率较小。

曲线整体形态与随机信号相似。这说明，此故障属于早期故障，故障引起的周期性振动很小，因此整体形态更像随机信号的Aq曲线，与周期信号的形态相距甚远；但正是因为微弱故障的客观存在，才造成曲线中拐点的存在。图3中子图（b）中的拐点，说明信号在短的时段内周期性很明确，即一定对应有内圈故障。而在更长的时段内，曲线以较小斜率下降，说明信号的弱随机性很明显。这也说明在未来的长时段内信号的周期性不明显，即故障信号并不会快速演变为强故障信号。

4 结语

通过文章的仿真和实验证明，利用变标度极差分析法对滚动轴承内圈微弱故障进行分析和预测去得了很好的效果。通过R/S分析法的Hurst指数的算法，并进一步分析仿真时时序信号，表明将Hurst指数与Aq～log(n)曲线进行有机结合，完全可以预测信号在未来的发展变化趋势，为滚动轴承的故障诊断和预测提供了有利保证。

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