向量中立型抛物Robin边值问题的振动性分析

罗李平

（衡阳师范学院 数学与计算科学系，湖南 衡阳 421002）

0 引 言

1970年，Domslak［1］在研究向量微分方程时首次引入了H－振动性的概念，其中H是一个单位向量。H－振动性的概念是研究向量微分方程的新的有力工具。关于这一概念及其应用，1996年Courant和Hilbert在文［2］中作了很好的阐述。最近，一些学者把H－振动性的概念运用于（脉冲）向量偏微分方程的H－振动性研究上，也取得了一些很好的研究成果［3－10］。本文将考虑如下的一类向量中立型抛物边值问题。

解的H－振动性问题，其中U（x，t）∈C2（Ω×［t0，∞），Rm）是向量函数，Ω是Rn中具有逐片光滑边界的有界域，Δ是Rn中的n维Laplacian算子，R＋＝［0，∞）。同时考虑Robin边值条件：

其中0是Rm中的零向量，N 是∂Ω的单位外法向量，α（x），β（x）∈C（∂Ω，（0，∞））.

在本文中，我们总假设下列条件成立：

定义1 向量函数U（x，t）∈C2（Ω×［t0，∞），Rm）称为边值问题（1），（2）的解，若U（x，t）在G上满足方程（1）及在∂Ω×R＋上满足边界条件（2）。

定义2 边值问题（1），（2）的解U（x，t）称为在G内H－振动，若对Rm中的单位向量H 及任意大的T≥0，存在一点 （x0，t0）∈ Ω×［T，∞），使得内积 ＜U（x0，t0），H ＞＝0。

1 主要结果及其证明

为了讨论边值问题（1），（2）的H－振动性，我们在Ω上考虑Robin特征值问题：

令λ0是问题（3）的第一特征值，则据文献［11］知，λ0＞0，且∀x∈Ω，其相应的特征函数φ（x）＞0。

为叙述方便，在本文中引入如下记号：

定理1 设（H1）－（H2）成立，U（x，t）是方程（1）的解。若UH（x，t）最终为正，则UH（x，t）满足纯量双曲型偏微分不等式

证明 设UH（x，t）最终为正。将方程（1）两边与H作内积，由内积性质可得

注意到（H2），我们有

利用Schwarz不等式，我们可得

注意到g（ξ）非减，由（7）－（8），我们有

于是联合（6）和（9），即得（4），亦即UH（x，t）满足（4）。

若UH（x，t）最终为负，易知

用－1乘（6），利用（10）可知VH（x，t）＝－UH（x，t）满足（5）。证毕。

相应于边值条件（2），考虑纯量边值条件：

定理2 设（H1）－（H2）成立。若纯量双曲型偏微分不等式

在边值条件 （2′）下无最终正解，则边值问题（1），（2）的任意解U（x，t）在G内H－振动。

证明 设边值问题（1），（2）在G内存在非 H－振动解U（x，t）。若UH（x，t）最终为正，则由定理1可知，UH（x，t）满足 （11）＋，且易知UH（x，t）满足边值条件 （2′），此与题设矛盾。若UH（x，t）最终为负，则VH（x，t）＝－UH（x，t）是满足 （11）－ 和边值条件 （2′）的最终正解，同样与题设矛盾。证毕。

定理3 设（H1）－（H3）成立，其中

若泛函微分不等式

无最终正解，则边值问题（1），（2）的任意解U（x，t）在G内 H－振动，其中λ0由问题（3）确定。

证明 设边值问题（1），（2）在G内存在非 H－振动解U（x，t）。若UH（x，t）最终为正，（x，t）∈Ω×［T，∞），T≥0，我们用c～φ（x）乘（4），并在区域Ω上关于x积分，得

由Green公式及边界条件（2′），我们有

类似地有

利用Jensen不等式，我们有

此示W（t）是不等式（12）＋的一个最终正解，而这与定理2的题设矛盾。

若UH（x，t）最终为负，（x，t）∈Ω×［T，∞），T≥0，令VH（x，t）＝－UH（x，t），类似于上面的过程，结合（12）－，同样可以得到矛盾。证毕。

定理4 设（H1）－（H3）成立。若对充分大的T，有

则边值问题（1），（2）的任意解U（x，t）在G内 H－振动。

证明 设边值问题（1），（2）在G内存在非 H－振动解U（x，t）。若UH（x，t）最终为正，（x，t）∈Ω×［T，∞），T≥0，则由定理3的证明可知，微分不等式

在区间 ［T，t］上对（19）积分，可得

若UH（x，t）最终为负，（x，t）∈Ω×［T，∞），T≥0，令VH（x，t）＝－UH（x，t），类似于上面的过程，结合条件（18），同样可以得到矛盾。证毕。

［1］Domslak Ju I.On the oscillation of solutions of vector differential equations［J］.Soviet Math.Dokl.，1970，11：839－841.

［2］Courant R，Hilbert D.Methods of Mathematical Physics，Vol.I［M］.New York：Interscience，1996.

［3］Minchev E，Yoshida N.Oscillation of solutions of vector differential equations of parabolic type with functional arguments［J］.J.Comput.Appl.Math.，2003，151（1）：107－117.

［4］Li W N，Han M A，Meng F W.H－oscillation of solutions of certain vector hyperbolic differential equations with deviating arguments［J］.Appl.Math.Comput.，2004，158（3）：637－653.

［5］罗李平.具连续分布滞量的中立型向量抛物偏泛函微分方程的 H－振动性［J］.数学的实践与认识，2008，38（11）：158－162.

［6］罗李平，杨柳.具连续偏差变元的中立型向量抛物偏微分方程的 H－振动性［J］.纯粹数学与应用数学，2009，25（4）：801－806.

［7］Li W N，Han M A.Oscillation of solutions for certain impulsive vector parabolic differential equations with delays［J］.J.Math.Anal.Appl.，2007，326（1）：363－371.

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［9］罗李平，王艳群，宫兆刚.具脉冲和时滞影响的向量抛物型方程振动性的新准则［J］.中山大学学报：自然科学版，2012，51（2）：45－48.

［10］罗李平，王艳群，谢作政，等.带脉冲和时滞效应的向量抛物Dirichlet边值问题的振动判据［J］.生物数学学报，2013，28（3）：423－427.

［11］叶其孝，李正元.反应扩散方程引论［M］.北京：科学出版社，1990：135.