巧绘连续梁的剪力图——基于分布荷载、剪力、弯矩微分关系

张春玲

（大连海洋大学职业技术学院，辽宁 大连 116300）

0.引言

在结构力学中，结构的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一地确定，此类结构就称为超静定结构。解决超静定问题的方法很多，常用有力法、位移法、力矩分配法。而位移法和力矩分配法是先作弯矩图，后作剪力图，再作轴力图。弯矩图是根据杆端弯矩和已知荷载分布情况叠加而成，但剪力图和轴力图，是通过繁琐的平衡条件求出杆端内力值，再由内力值与已知荷载分布情况叠加而成。本文探讨另外一种作图方法，即根据分布荷载 q、剪力 FS（x）、弯矩 M（x）微分关系总结出作图规律，直接绘出剪力、轴力图，达到快、准、易学目的。

1.分布荷载、剪力、弯矩微分关系

如图-1所示，分布载荷、剪力和弯矩之间存在着一定的关系，根据单元体的平衡条件可推导出

上式说明，剪力对截面位置坐标x的导数等于同一截面上的分布载荷集度。就是说，剪力图上某点切线的斜率等于该点相应截面上的分布载荷集度q（x）。同理可导出

即弯矩对截面位置坐标x的导数等于同一截面上的剪力。亦即弯矩图上某点切线的斜率等于该点相应截面上的剪力 FS（x）。 将式（2）对 x 求导，并利用式（1）可得

即弯矩对截面位置坐标x的二阶导数等于梁在该截面的分布载荷集度。亦即弯矩图斜率的变化与q（x）有关，若 q（x）为正值，即=q（x）>0，M（x）图为上凸曲线（碗口朝下），反之若q（x）<0，M（x）图为下凸曲线（碗口朝上）。

上述 q（x）、FS（x）和M（x）之间的微分关系给出了 FS（x）和 M（x）为连续曲线时三者之间的关系。以上三式就是M（x）和 FS（x）为 连 续曲 线 时弯矩、剪力和载荷集度之间的微分关系。式中内力符号按前述规定采用，q（x）取向上为正，x的方向应取向右为正。

图－1 荷载分布微分图

综合微分关系，可得到下述作图规律：

（1）对剪力图，有均布荷载 q就有斜直线，当 q↓时，FS（x）剪力斜线为（），当 q↑时，剪力 FS（x）的斜线（/），有集中力就有突变，突变值等于集中力，有集中力偶，在集中力偶作用处其剪力值不变。

（2）对弯曲矩图，有均布荷载就有抛物线，当 q↓时，弯矩（M）的图形∩，当 q↑时，M图形为∪，有集中力就有转折点，集中力处两侧的弯矩值不变，有集中力偶矩就有突变，突变值等于集中力偶矩。

（3）当弯矩图形是斜直线，剪力图为水平线。当弯矩（M）的图形（），剪力为正值；当弯矩（M）的图形（/），剪力为负值；剪力等零处，弯矩图有极值。综合利用这些关系和规律，不仅可以快捷地检验绘出的 FS（x）和M（x）图正确与否，如熟练掌握后还可以直接绘制FS（x）和M（x）图。这一方法在工程实际中广泛应用。

2.根据弯矩图直接作剪力图的示例分析

2.1 对弯矩图进行分段

如图-2（a）所示多跨连续梁，由力矩分配法已绘制其弯矩图，试根据弯矩图求作剪力图和约束反力。图-2（b）所示弯矩图，由力界点将弯矩图分成四段，即 AE、EB、BC、CD 段。

图－2 连续梁弯矩图

2.2 根据内力图规律及微分关系分段作出剪力图

如图-3（a）、（c）、（e）所示，AE、EB、CD 段弯矩图为直线图，根据式（1）导数为常数，即剪力图必为水平线，正负由规律（3）确定，各段剪力值（弯矩图的斜率）为

各段剪力图见图-3（b）、（d）、（f）所示。

图－3 连续梁弯矩、剪力分段图

2.3 分解弯矩图与叠加剪力图

如图-4（a）所示，BC 段弯矩图是由图-4（c）梯形直线图与图-4（e）抛物曲线叠加而成，剪力图也应当是图-4（d）、（f）叠加出来，即图-4（b）所示。

图－4 弯矩、剪力叠加分解图

2.4 绘制全梁剪力图

将各段剪力图拼接后，即为整个梁剪力图，如图-2（c）所示，掌握上述作图技巧，能够快、准地绘制剪力图。

2.5 直观确定各支撑处约束反力

根据作图规律，通过图-2（b）、（c）直观分析，容易确定各支撑处约束反力，即根据剪力图、弯矩图的突变值得出

3.结语

实践证明，利用作图规律和分布荷载、剪力、弯矩微分关系能快速绘出连续梁的剪力图，不用或少用平衡方程，避免解题麻烦，能获得事半功倍效果，由此也能培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力。

［1］刘文顺.结构力学［M］.北京：国防工业出版社，2007.

［2］姜鲁珍，等.复合材料圆管构件的等效模型研究［J］.工程力学，2000，17（3）:71-73.

［3］孙训方，方孝淑.材料力学（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2001.