由一道高考题（2014年四川理20题）看圆锥曲线的性质

王户世

题目（2014年四川理第20题）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距为4，其短轴两个端点与长轴一个端点构成正三角形.

（Ⅰ）求椭圆C的方程.

（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q两点.

（ⅰ）证明：OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）.

（ⅱ）当TFPQ最小时，求T点坐标.

答案如下（过程略）：（Ⅰ）x26+y22=1；（Ⅱ）.（ⅰ）略；（ⅱ）TFPQ取最小值33时，点T（-3，±1）.

分析本题第（Ⅱ）问是针对椭圆x26+y22=1，（ⅰ）证明：OT平分PQ；（ⅱ）当TFPQ取最小值33时，求出T（-3，±1），透过现象看本质，我们可否把这个椭圆推广，使本题的条件仅作为一种特殊情况？一番研究，得到如下收获：

图1

定理1椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点为F，T为椭圆准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交椭圆于P，Q两点.

（ⅰ）证明：OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）.

（ⅱ）当c2>b2时，TFPQ有最小值ba，这时

T（a2c，±bcc2-b2）.

证明不妨取椭圆右焦点F（c，0）和右准线x=a2c（左焦点和左准线时同理可证明）.

（ⅰ）设T（a2c，m），则kTF=cmb2，当m=0时，T为椭圆右准线与x轴的交点，这时PQ为椭圆的通径，OT显然平分PQ.当m≠0时，由条件知kPQ=-b2cm，所以直线PQ方程为：y=-b2cm（x-c），记P（x1，y1），Q（x2，y2），联立x2a2+y2b2=1，

y=-b2cm（x-c），

得（c2m2+a2b2）x2-2a2b2cx+c2a2（b2-m2）=0，

因为Δ=4a4b4c2-4a2c2（c2m2+a2b2）（b2-m2）=4a2c2m2（c2m2+b4）>0，

所以x1+x2=2a2b2cc2m2+a2b2，

x1x2=c2a2（b2-m2）c2m2+a2b2.（*）

y1+y2=-b2cm（x1+x2-2c）=2b2c2mc2m2+a2b2，

知PQ中点N（a2b2cc2m2+a2b2，b2c2mc2m2+a2b2），则kON=cma2，又kOT=cma2，知O，T，N三点共线，即OT过线段PQ的中点N，所以OT平分PQ.

（ⅱ）因为TF=a2c-c=b4+m2c2c，PQ=1+k2PQ（x1+x2）2-4x1x2

把kPQ=-b2cm及（*）式代入得：PQ=1+-b2cm22a2b2cc2m2+a2b2c2a2（b2-m2）c2m2+a2b2

=2a（b4+c2m2）c2m2+a2b2，所以TFPQ=c2m2+a2b22acb4+c2m2=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4+2b2c2≥ba，即TFPQ≥ba，当且仅当c2m2+b4=b2c2

m2=b2c2（c2-b2）时取等号，因为已知条件有c2>b2，所以当m=±bcc2-b2时，TFPQmin=ba，这时Ta2c，±bcc2-b2.

反过来看四川高考20题第（Ⅱ）问，相当于定理1中a2=6，b2=2，F为左焦点，T为左准线x=-a2c=-3上一点，由定理1知（ⅰ）OT平分PQ.（ⅱ）因为c2=4知c2>b2成立，知TFPQ有最小值ba=33，这时T-a2c，±bcc2-b2，即T（-3，±1）.

图2

推论1椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点为F，T为椭圆准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交椭圆于P，Q两点，P关于坐标原点O的对称点为P′，则P′Q∥OT.

证明由定理1知OT平分线段PQ，即OT过线段PQ的中点N，又O是PP′的中点，所以ON是△PP′Q的中

位线，则P′Q∥ON，即P′Q∥OT.

定理2椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点为F，T为椭圆准线上（但非x轴上）任一点（其中焦点，准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交椭圆于P，Q两点，则kOT·kPQ=-b2a2.

证明不妨取椭圆右焦点F（c，0）和右准线x=a2c，设Ta2c，m，因T非x轴上点，所以m≠0，则kTF=ma2c-c=cmb2，知kPQ=-b2cm，又kOT=cma2，所以kOT·kPQ=-b2a2.

定理3双曲线C：x2a2-y2b2=1的焦点为F，T为双曲线准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），且T点的纵坐标m≠±abc，过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点.

（ⅰ）证明：直线OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）.

（ⅱ）TFPQ=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4-2b2c2.

图3

证明不妨取双曲线右焦点F（c，0）和右准线x=a2c（左焦点和左准线时同理可证明）.

（ⅰ）设Ta2c，m，则kTF=-cmb2，当m=0时，T为双曲线右准线x=a2c与x轴的交点，这时PQ为双曲线的通径，OT显然平分PQ.当m≠0时，由条件知kPQ=b2cm，所以直线PQ方程为：y=b2cm（x-c），记P（x1，y1），Q（x2，y2），联立x2a2-y2b2=1，

y=b2cm（x-c），得

（c2m2-a2b2）x2+2a2b2cx-c2a2（b2+m2）=0，因为m≠±abc，知c2m2-a2b2≠0，

又Δ=4a4b4c2+4a2c2（c2m2-a2b2）（b2+m2）=4a2c2m2（c2m2+b4）>0，

所以x1+x2=-2a2b2cc2m2-a2b2，

x1x2=-c2a2（b2+m2）c2m2-a2b2.（*）

y1+y2=b2cm（x1+x2-2c）=-2b2c2mc2m2-a2b2，知PQ中点N-a2b2cc2m2-a2b2，-b2c2mc2m2-a2b2，则kON=cma2，又kOT=cma2，知O，T，N三点共线，即直线OT过线段PQ的中点N，所以直线OT平分PQ.

（ⅱ）因为TF=a2c-c2+m2=b4+m2c2c，PQ=1+k2PQ（x1+x2）2-4x1x2，

把kPQ=b2cm及（*）式代入得：PQ=1+b2cm2-2a2b2cc2m2-a2b22+4c2a2（b2+m2）c2m2-a2b2

=

2a（b4+c2m2）c2m2-a2b2，所以TFPQ=c2m2-a2b22acb4+c2m2=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4-2b2c2.

注：因为m≠±abc，基本不等式（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4≥2b2c2中等号不成立.

即TFPQ=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4-2b2c2.

图4

推论2双曲线x2a2-y2b2=1的焦点为F，T为双曲线准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），且T点的纵坐标m≠±abc，过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点，P关于坐标原点O的对称点为P′，则P′Q∥OT.

证明由定理3知直线OT平分线段PQ，即直线OT过线段PQ的中点N，又O是PP′的中点，所以ON是

△PP′Q的中位线，则P′Q∥ON，即P′Q∥OT.

注：结合定理3的证明知：m≠±abc，是为了保证“过F作TF的垂线能够交双曲线于P，Q两点”，否则直线PQ与一条渐近线平行，过F作TF的垂线与双曲线只有一个交点.

定理4双曲线x2a2-y2b2=1的焦点为F，T为双曲线准线上（但非x轴上）任一点（其中焦点和准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点，

则kOT·kPQ=b2a2.

证明不妨取双曲线右焦点F（c，0）和右准线x=a2c，设T（a2c，m），因T非x轴上点，所以m≠0，则kTF=ma2c-c=-cmb2，知kPQ=b2cm，又kOT=cma2，所以kOT·kPQ=b2a2.

定理5抛物线y2=2px的焦点为F，T为抛物线准线上任一点，过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ中点为N，则NT平行于x轴.

图5

证明因Fp2，0，设T-p2，m，则kTF=-mp，当m=0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，显然NT平行于x轴.当m≠0时，由条件知kPQ=pm，所以直线PQ方程为：y=pm（x-p2），联立y2=2px

y=pm（x-p2），得4p2x2-4p（p2+2m2）x+p4=0，又

Δ=16p2（p2+2m2）2-16p6=64p2m2（p2+m2）>0，记P（x1，y1）、Q（x2，y2），由根与系数关系知x1+x2=p2+2m2p，y1+y2=pm（x1+x2-p）=2m，所以弦PQ中点N（p2+2m22p，m），又T（-p2，m），知kNT=0，则NT平行于x轴.

又Δ=4a4b4c2+4a2c2（c2m2-a2b2）（b2+m2）=4a2c2m2（c2m2+b4）>0，

所以x1+x2=-2a2b2cc2m2-a2b2，

x1x2=-c2a2（b2+m2）c2m2-a2b2.（*）

y1+y2=b2cm（x1+x2-2c）=-2b2c2mc2m2-a2b2，知PQ中点N-a2b2cc2m2-a2b2，-b2c2mc2m2-a2b2，则kON=cma2，又kOT=cma2，知O，T，N三点共线，即直线OT过线段PQ的中点N，所以直线OT平分PQ.

（ⅱ）因为TF=a2c-c2+m2=b4+m2c2c，PQ=1+k2PQ（x1+x2）2-4x1x2，

把kPQ=b2cm及（*）式代入得：PQ=1+b2cm2-2a2b2cc2m2-a2b22+4c2a2（b2+m2）c2m2-a2b2

=

2a（b4+c2m2）c2m2-a2b2，所以TFPQ=c2m2-a2b22acb4+c2m2=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4-2b2c2.

注：因为m≠±abc，基本不等式（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4≥2b2c2中等号不成立.

即TFPQ=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4-2b2c2.

图4

推论2双曲线x2a2-y2b2=1的焦点为F，T为双曲线准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），且T点的纵坐标m≠±abc，过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点，P关于坐标原点O的对称点为P′，则P′Q∥OT.

证明由定理3知直线OT平分线段PQ，即直线OT过线段PQ的中点N，又O是PP′的中点，所以ON是

△PP′Q的中位线，则P′Q∥ON，即P′Q∥OT.

注：结合定理3的证明知：m≠±abc，是为了保证“过F作TF的垂线能够交双曲线于P，Q两点”，否则直线PQ与一条渐近线平行，过F作TF的垂线与双曲线只有一个交点.

定理4双曲线x2a2-y2b2=1的焦点为F，T为双曲线准线上（但非x轴上）任一点（其中焦点和准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点，

则kOT·kPQ=b2a2.

证明不妨取双曲线右焦点F（c，0）和右准线x=a2c，设T（a2c，m），因T非x轴上点，所以m≠0，则kTF=ma2c-c=-cmb2，知kPQ=b2cm，又kOT=cma2，所以kOT·kPQ=b2a2.

定理5抛物线y2=2px的焦点为F，T为抛物线准线上任一点，过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ中点为N，则NT平行于x轴.

图5

证明因Fp2，0，设T-p2，m，则kTF=-mp，当m=0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，显然NT平行于x轴.当m≠0时，由条件知kPQ=pm，所以直线PQ方程为：y=pm（x-p2），联立y2=2px

y=pm（x-p2），得4p2x2-4p（p2+2m2）x+p4=0，又

Δ=16p2（p2+2m2）2-16p6=64p2m2（p2+m2）>0，记P（x1，y1）、Q（x2，y2），由根与系数关系知x1+x2=p2+2m2p，y1+y2=pm（x1+x2-p）=2m，所以弦PQ中点N（p2+2m22p，m），又T（-p2，m），知kNT=0，则NT平行于x轴.

又Δ=4a4b4c2+4a2c2（c2m2-a2b2）（b2+m2）=4a2c2m2（c2m2+b4）>0，

所以x1+x2=-2a2b2cc2m2-a2b2，

x1x2=-c2a2（b2+m2）c2m2-a2b2.（*）

y1+y2=b2cm（x1+x2-2c）=-2b2c2mc2m2-a2b2，知PQ中点N-a2b2cc2m2-a2b2，-b2c2mc2m2-a2b2，则kON=cma2，又kOT=cma2，知O，T，N三点共线，即直线OT过线段PQ的中点N，所以直线OT平分PQ.

（ⅱ）因为TF=a2c-c2+m2=b4+m2c2c，PQ=1+k2PQ（x1+x2）2-4x1x2，

把kPQ=b2cm及（*）式代入得：PQ=1+b2cm2-2a2b2cc2m2-a2b22+4c2a2（b2+m2）c2m2-a2b2

=

2a（b4+c2m2）c2m2-a2b2，所以TFPQ=c2m2-a2b22acb4+c2m2=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4-2b2c2.

注：因为m≠±abc，基本不等式（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4≥2b2c2中等号不成立.

即TFPQ=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4-2b2c2.

图4

推论2双曲线x2a2-y2b2=1的焦点为F，T为双曲线准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），且T点的纵坐标m≠±abc，过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点，P关于坐标原点O的对称点为P′，则P′Q∥OT.

证明由定理3知直线OT平分线段PQ，即直线OT过线段PQ的中点N，又O是PP′的中点，所以ON是

△PP′Q的中位线，则P′Q∥ON，即P′Q∥OT.

注：结合定理3的证明知：m≠±abc，是为了保证“过F作TF的垂线能够交双曲线于P，Q两点”，否则直线PQ与一条渐近线平行，过F作TF的垂线与双曲线只有一个交点.

定理4双曲线x2a2-y2b2=1的焦点为F，T为双曲线准线上（但非x轴上）任一点（其中焦点和准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点，

则kOT·kPQ=b2a2.

证明不妨取双曲线右焦点F（c，0）和右准线x=a2c，设T（a2c，m），因T非x轴上点，所以m≠0，则kTF=ma2c-c=-cmb2，知kPQ=b2cm，又kOT=cma2，所以kOT·kPQ=b2a2.

定理5抛物线y2=2px的焦点为F，T为抛物线准线上任一点，过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ中点为N，则NT平行于x轴.

图5

证明因Fp2，0，设T-p2，m，则kTF=-mp，当m=0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，显然NT平行于x轴.当m≠0时，由条件知kPQ=pm，所以直线PQ方程为：y=pm（x-p2），联立y2=2px

y=pm（x-p2），得4p2x2-4p（p2+2m2）x+p4=0，又

Δ=16p2（p2+2m2）2-16p6=64p2m2（p2+m2）>0，记P（x1，y1）、Q（x2，y2），由根与系数关系知x1+x2=p2+2m2p，y1+y2=pm（x1+x2-p）=2m，所以弦PQ中点N（p2+2m22p，m），又T（-p2，m），知kNT=0，则NT平行于x轴.