圆中的特殊角

2014-10-29 14:21黄芹
初中生世界·九年级 2014年10期
关键词:外接圆圆周角锐角三角

黄芹

圆周角是圆中一类特殊的角,正确理解圆周角的概念,深刻认识圆周角定理,切实掌握圆周角定理的应用,是学好圆周角的关键,也是进一步学好圆的相关知识的基础.

例1 如图1,☉O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,∠A=45°,BD为☉O的直径,BD= 2,连接CD,则∠D=______,BC=______.

【解析】由“同弧所对的圆周角相等”可知,∠D=∠A=45°;又BD为☉O的直径,所以∠BCD=90°;又BD=2,所以BC=CD=2.

例2 若O为△ABC的外心,且∠BOC=60°,则∠BAC=______.

【解析】据抽样调查,本题作答30°的同学很多,究其原因是有些考生受思维定势的影响,只以锐角△ABC得出答案.其实,本题中的三角形不一定是锐角三角形,因此需要进行分类讨论:(1) 若△ABC是锐角三角形,则如图2,∠BAC=∠BOC,答案为30°;(2) 若△ABC是直角三角形,则如图3,∠BAC=∠BOC,答案也为30°;(3) 若△ABC是钝角三角形,则如图4,此时在优弧上取一点D,连接BD、CD,则∠BDC=∠BOC=30°,∠BAC=180°-∠BDC=180°-30°=150°,答案为150°. 因此,本题的答案为30°或150°.面对如此复杂的情况,不掌握分类的思想方法,难免以偏概全.

例3 如图5,☉O是△ABC的外接圆,∠C=30°,AB=2 cm,则☉O的半径为______cm.

【解析】过点A作直径AD,连接BD,则由圆周角定理有∠D=∠C=30°,∠ABD=90°,由AB=2 cm,有AD=4 cm,故☉O的半径为2 cm.

例4 如图6,已知AB为☉O的直径,C是的中点,CD⊥AB,垂足为D,AE交CD于点F,连接AC,试说明AF=CF.

【分析】要说明AF=CF,只要说明∠ACF=∠CAF,其中∠CAF是弧CE所对的圆周角,而由条件知=,因此只要找出所对的圆周角与∠ACF相等即可,而构造所对的圆周角,需连接BC,此时恰好构造了直径AB所对的圆周角∠ACB.

解:连接CB,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,即∠ACF+∠BCD=90°. ∵CD⊥AB,∴∠B+∠BCD=90°,∴∠B=∠ACF. ∵C是的中点,∴=,∴∠B=∠CAE,∴∠ACF=∠CAF,∴AF=CF.

【点评】见“直径”构造“直径所对的圆周角”,是常用且重要的辅助线. 由例3和例4应学会由直径联想直角及由直角联想直径,这种双向联想在解决圆中有关问题时十分有效. 例4还告诉我们,在圆中,构造同弧或等弧所对的圆周角即可得到相等的角,因此这也是常用的辅助线.

小试身手

1.(2013·山东泰安)如图7,点A、B、C在☉O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,则∠BOC等于( ).

A. 60° B. 70°

C. 120° D. 140°

2.(2013·浙江舟山)如图8,☉O中,半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC,若AB=8,CD=2,则EC的长度为( ).

A. 2 B. 8

C. 2 D. 2

3. (2013·浙江温州)如图9,AB为☉O的直径,点C在☉O上,延长BC至点D,使DC=CB. 延长DA与☉O的另一个交点为E,连接AC,CE.

(1) 求证:∠B=∠D;

(2) 若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.

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