密立根油滴实验中油滴的参数选择分析

刘 芬，王爱芳，杨田林

(山东大学(威海)空间科学与物理学院，山东 威海 264209)

密立根油滴实验是近代物理学史上具有重要意义的实验之一。整个实验构思巧妙、实验仪器简单、结果准确，充分证明了任何带电体所带电荷都是基本电荷的整数倍，明确了电荷的不连续性。目前在大学物理实验中，关于密立根油滴实验的验证通常选用静态法(又称平衡法)和动态法(又称非平衡法)［1－3］。这两种方法均是从带电油滴在匀强电场中的运动规律入手，通过改变外加电场强度大小而控制油滴的运动，从而计算出被观察油滴所带电量的大小，然后再系统归纳出最小基本电量。一般来讲，静态法测量物理量数目少、实验过程简单，但是静态法中平衡电压的判断难度较大，动态法的测量精度通常要高于静态法［3－4］。对于这两种测量方法，实验中关于“合适”油滴的选择均是影响实验结果的重要环节，在现有的教学研究成果中，关于此问题并没有系统的定量分析研究。为了帮助学生更全面、系统地理解本实验，本文结合南京培中MOD－5型密立根油滴实验仪的设计，通过数值模拟办法展示出选择“合适”油滴的各相应参数的取值范围。南京培中MOD－5型密立根油滴仪各参数值如下:

1 油滴大小的判断

学生在具体实验中要认识到油滴的大小或者质量是随机的，油滴的半径是通过其运动过程而测量的。即:当外加电场强度为零时，油滴在重力的作用下开始加速下落(实验中油滴所受空气浮力约为重力的千分之一，故不考虑浮力的影响)，当油滴运动起来之后，会受到空气的黏滞阻力作用，随着下落速度的增加，黏滞阻力最终与重力大小相等、方向相反，油滴开始匀速下落。关于油滴的变加速下落过程所用时间约为10－4s［5］，下落位移量约为10－11m，所以，由此可以判断油滴从开始下落到达到匀速下落所用的时间远低于实验者的平均反应时间10－1s。根据油滴半径a与油滴匀速下降速度vg之间的关系:

式中:η为空气的黏滞系数;ρ为油滴的密度;g为实验地的重力加速度。对于半径小到10－6m的油滴小球［5－6］，空气的黏滞系数需要作以下修正:

式中:p为大气压强，cm·Hg;b为修正常数。设油滴匀速下落距离l用时为tg，则有

因此，结合式(1)～式(3)可以求得:

由式(4)可以看出，当下落距离一定时，所用时间越长，油滴的半径越小。利用Matlab软件方便地将油滴半径a随下落时间tg的变化关系用图形来表示，如图1所示。从图1可以清楚地发现，当油滴下落l距离所用时间tg＜15 s时，油滴的半径大于1 μm，油滴质量较大，在相等平衡电压的情况下，携带的电量必然也大;当时间tg＞45 s时，油滴的半径小于0.5 μm，且随时间增加半径数值缓慢减小，此范围的油滴将会受到较强的布朗运动的影响［7］，而不作为实验观察对象。因此，实验过程中，一般选取tg∈[20，30](s)范围的油滴进行观测。

图1 不同下落时间tg对应的油滴半径a的值

2 静态法测量中，平衡电压的选择范围

油滴大小选择合适之后，还必须注意油滴带电量的选择。在静态法测量中，仪器的平衡电压范围取V∈[50，350](V)，则油滴的带电量Q可以表示为:

式中:n为整数;e为基本电荷电量;d为平行极板间的距离。为了更清楚地显示平衡电压与油滴带电量之间的关系，选取下落时间分别为15、20、30、35 s的油滴画出n－V曲线，如图2所示。从图2的数值结果可以看出，对于同一下落时间的油滴随着平衡电压的增大，其所带的电量是逐渐减小的;并且对于相同的平衡电压，下落时间越长，说明其所带的电量越少。在实验过程中，一般选取n≤5的油滴进行观测，因此，在选定下落时间后，还要注意选择油滴平衡电压的范围，例如:对于tg=20 s的油滴，其平衡电压应在150～250 V之间;对于tg=30 s的油滴，其平衡电压应选取在100～250 V之间。

图2 不同下落时间的油滴所带基本电量的倍数n与平衡电压V的关系

3 动态法测量中，上升时间的选择范围

动态法测量油滴的带电量也是常用的实验方法，通过在平行极板上外加适当的电压V'，使油滴加速上升，当上升一段距离达到极限速度ve后，开始匀速上升，设油滴匀速上升距离l所用时间为te，则油滴的带电量可以表示为:

图3给出了利用动态法测量中不同提升电压情况下，油滴带电量n与提升时间te的关系曲线。从图中可以发现，当提升电压恒定时，油滴上升距离l用时越长，自身所携带的电量越少。为了测量n≤5的带电电量，需要选择上升时间为10～30 s范围的油滴进行观测。另外，根据MOD－5油滴仪的实际设计参数，此处所计算的提升电压最大值选取为500 V，从图3中可以看出，对于tg=25 s的油滴其所携带的电量最少为2个基本电荷电量，并且提升时间te＞20 s。如果想要测量带电量更少的油滴，应选择增大提升电压V'。

图3 外加不同提升电压时，油滴所带基本电量的倍数n与提升时间te的关系(tg=25 s)

4 结束语

利用数值模拟的方法，具体分析了密立根油滴实验中“合适”油滴的参数选取范围。首先，介绍了利用油滴下落时间可以判断出油滴的半径大小;其次，讨论了静态法和动态法测量油滴带电量过程中，平衡电压和提升电压的大小与油滴带电量之间的关系。本文结果能够帮助学生更全面地理解密立根油滴实验的内容，加深其对实验地理解。

［1］ 王爱芳，刘芬.普通物理实验［M］.青岛:中国海洋大学出版社，2011.

［2］ 岂云开.研究密立根油滴实验［J］.皖西学院学报，2002，18(4):29－30.

［3］ 吉宪，张正贺，陈霞.密立根油滴实验测量优化方案［J］.湛江师范学院学报，2011，32(6):85－93.

［4］ 曹丽萍，杜淅霞，郑菲.密立根油滴实验方法的比较［J］.长春师范学院学报，2010，29(3):62－65.

［5］ 赵瑞娟，安盼龙.密立根油滴实验中一个不能忽视的小问题［J］.物理与工程，2008，18(3):22－23.

［6］ 刘保福.密立根油滴实验中油滴大小的选择和下落计时起点的确定［J］.新乡学院学报:社会科学版，2002，16(2):10－11.

［7］ 欧海峰，王会永.布朗运动对油滴实验的影响［J］.实验技术与管理，2007，24(7):38－40.