AHP中判断矩阵的几种构造方法综述

花 威

（长江工程职业技术学院，武汉 430212）

对于难以完全定量分析的多准则评价问题，美国运筹学家Satty教授于上世纪70年代初提出了层次分析法（AHP），它是一种定性与定量相结合的决策与排序的方法。在层次结构确定的前提下，构造判断矩阵就是重中之重。Satty教授提出的基于“商”的正互反判断矩阵的构造方法应用较广，但是在构造过程中难免会出现一定程度的非一致性，所以需要进行一致性检验。针对这个问题，很多研究者提出了几种判断矩阵的构造方法，本文介绍了目前的三种方法，提出了各自的优缺点及笔者的建议。

1 层次分析法与判断矩阵的构造介绍

层次分析法的基本步骤可以分成四步：一是对实际问题进行分析，将问题中所包含的因素划分为不同层次（目标层，准则层，方案层，措施层等），用框式图说明层次的递阶结构；二是构造判断矩阵：判断矩阵元素的值表示人们对各因素关于目标的相对重要性的认识；三是层次单排序及一致性检验；四是层次总排序与检验。

在构造判断矩阵的时候，一般情况下是通过专家赋予的各因素关于目标的相对性的认识。因此作为定性分析而又赋值为定量的数值可能会出现不一致的情况，所以需要进行一致性检验，研究者构造的判断矩阵多数情况下是一致性的。但是当出现不一致并需要重新修正出新的判断矩阵的时候，对于操作者来说是十分麻烦的，所以开始是否给出相对“可靠”的判断矩阵直接决定了层次分析法的成败。

2 判断矩阵的构造方法

（1）1～9标度判断矩阵的构造方法

各个因素对于目标的权重是不同的，判断矩阵给出了如何分配权重的方法，为了各个准则在目标的重要性有个定量的表示，初期Satty给出了1～9标度法，如表1所示。

表1 1～9标度法

先把每个对于准则的因素两两比较，你认为一样重要就是1：1，强烈重要就是9：1，也可以取中间数值6：1等，两两比较，把数值填入，并排列成判断矩阵（判断矩阵是对角线积是1的正反矩阵即可）。关于标度方式的研究有多种，主要是数字标度的不同，比如说1～5标度，1～15标度等，其他还有x2标度、标度等不同方式，在国内也有其他不同的标度方法，不同的标度选取导致不同的权重选择不同，数字标度不同的选取应该根据专家经验，笔者认为，对于数字标度中的数字不应太多，因为两个元素的对比毕竟是带有主观色彩的，对于需要快速决策的过程，1～5标度，1～9标度法足够了，太繁琐的标度方法只适合于一些特殊的案例。

（2）模糊一致判断矩阵的构造方法

上述无论采用什么样的标度方法得出的判断矩阵都需要进行一致性检验，所以对于这样的难点问题，引进了模糊一致判断矩阵进行解决。具体步骤如下：

判断矩阵采用0.1～0.9标度法，能够准确地描述任意两个因素之间关于某准则的相对权重。且由优先判断矩阵改造成的模糊一致矩阵满足加性一致性条件即rij＝rik－rjk，就是R的任意两行的对应元素之差为常数。无须再做一致性检验，另外模糊层次分析法还解决了解的收敛速度及精度问题，具体步骤如下：

第一步，建立优先关系矩阵，也称为模糊互补矩阵，即：

第二步，将得出的矩阵变换成模糊一致矩阵，采用公式rij＝rik－rjk＋0.5。记

第四步，将各层次间的重要性权值转化为相对于总目标的综合权重。根据计算的权重进行排序。

（3）基于“差”的反对称判断矩阵的构造法

由上面两种判断矩阵的构造，无论是正互反矩阵还是模糊互补矩阵，都可以归结于不同标度，但是两类因素直间的相对比较得出矩阵的元素是必需的。Satty教授一开始使用1～9标度法也是基于心理学的研究，对于个人认知来说，能够辨别不同事物的区别最多有9种层次。近年来关于层次分析法研究者们主要关注矩阵因素，标度的选取的优劣、一致性、权值等问题，这基于决策者对两两因素之间的“比值”，是关于商的偏好关系，而其实还可以基于“差”的偏好关系，从而把反对称判断矩阵引入层次分析法。

反对称判断矩阵的构造原理是：假设对某些目标的因素一一列举出来，现将这些因素的重要程度进行排序，这些因素的重要性进行两两比较，得到的元素值为两两重要性的差，这样就得到可反对称判断矩阵。

关于反对称矩阵的标度选取的问题，研究者提出可以采用ln1～ln9标度，比如两者如果重要程度相同则赋值于ln1，则元素记为0，依次类推，该标度即可得到需要的矩阵，即aij＝－aji。

3 几种判断矩阵构造方法的优劣与建议

以上对近些年国内对于层次分析法中判断矩阵的构造问题做了大致的分类，从标度的选取看有十几种之多，从因素比较上看可以分成“商”与“差”的不同，在如此多的标度选取法的过程中，如何选取更适合的判断矩阵是目前面临的重要问题。

1～9标度法构造判断矩阵，是基于个人的认知层次构造的判断矩阵，它的优点是可以对各个因素之间的重要性给出数值化的评价与比较，可以检验判断矩阵的一致性；但是缺点也很明显，检验一致性是较为繁琐的过程；如果出现不一致的情况则修改很困难。

模糊法构造一致判断矩阵解决了一致检验的问题，它有两个优点：一是当构造出模糊一致判断矩阵出来后，如果需要去掉某一个因素，则不需要重新构造判断矩阵；二是因素判断的传递性符合人的心理特征。它的缺点是主观性太强，精度要求不高。

反对称判断矩阵是基于“差”的两两比较，在精度与一致性检验上结合了前两种方法的优点，对于目标对象较为接近的决策问题有很好的效果。

基于这几种构造方法的优缺点，笔者认为：

一是标度的选取很重要，对于不同标度的优劣的比较，骆正清、杨善林提出一套标准，从保序性、判断一致性、标度均匀度、可记忆性、可感性、权重拟合性等对标度进行了评价，给出了面对各种不同的标度如何进行选取的问题，建议标度跨度不能太大。

二是判断矩阵的构造方法可以根据实际情况进行创新，但是不能随意，必须客观与“一致性”。

三是无论选取什么样的标度构造判断矩阵，实际操作性和简单易行是评判的重要标准。

层次分析法应用广泛，操作简单，但是针对层次分析法的研究热点颇多，综述了几种判断矩阵的构造方法并给出这些构造方法的比较标准，其选择既依赖于经验也依赖于选择者的偏好，所以各种构造方法的推广是研究者今后需要关心的问题。

［1］张吉军.模糊层次分析法（FAHP）［J］.模糊系统与数学，2000，（6）.

［2］骆正清，杨善林.层次分析法中几种标度的比较［J］.系统工程理论与实践，2004，（9）.

［3］陶余会.如何构造模糊层次分析法中模糊一致判断矩阵［J］.四川师范学院学报（自然科学版），2002，（3）.