应用导数解决一类数列求和问题

王大成

高中引入了导数概念，给出了导数的定义，讲清楚了导数的几何意义及物理意义.在导数的应用方面也给出了一些例题，应用主要是针对解决函数的单调性、极值、最值、不等式证明等问题.但是在数列求和方面的应用基本上还没有涉及，因此我写本文来为导数的应用开辟一条新的途径.

例1数列{an}的通项公式为an=n×2n-1（n∈N*），求数列{an}的前n项和Sn.

分析：这种问题基本上都是用错位相减法来解决.

Sn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1…（1）

2Sn=1×21+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n…（2）

由（1）-（2）得，-Sn=1+21+22+…+2n-1-n×2n，有Sn=1+（n-1）×2n（n∈N*）.

注1：对于解决本类问题，错位相减法当然很好，可以说是很经典的.课改以前高中课本中没有函数的导数这样的内容，所以也不好给学生讲导数法，但是今天的高中新课本中已经有导数的内容，这样的问题当然可以用导数法来求解.这样，一方面顺应了新课改的需要，另一方面培养了学生的创新思维，也满足了素质教育的要求.

导数法：令f（x）=x+x2+x3+…+xn（x≠0，x≠1），

f′（x）=1×x0+2x1+3x2+…+nxn-1， 所以Sn=f′（2），

f（x）=x+x2+x3+…+xn=x（1-xn）1-x.

因为f′（x）=[1-（n+1）xn]（1-x）+（x-xn+1）（1-x）2，

所以Sn=f′（2）=1+（n-1）×2n.

定理1：数列{an}的通项公式an=n×pn-1（p≠0，p≠1，n∈N*），其前n项和为Sn，

则Sn=1+[（p-1）n-1]pn（1-p）2.

证明：令f（x）=x+x2+x3+…+xn（x≠0，x≠1），

f′（x）=1×x0+2x1+3x2+…nxn-1， 所以Sn=f′（p），

f（x）=x+x2+x3+…xn=x（1-xn）1-x（x≠1）.

由f′（x）=[1-（n+1）xn]（1-x）+（x-xn+1）（1-x）2

得Sn=f′（p）=1+[（p-1）n-1]pn（1-p）2（p≠1），证毕.

例2数列（an）的通项公式an=An+B（A，B是常数），数列{bn}的通项公式为bn=r·sn-1（rs≠0），令cn=anbn（n∈N*），求数列{cn}前n项和Tn.

分析：（1）若s=1，bn=r，cn=anbn=（An+B）·r=Ar·n+Br，

Tn=Ar+Br+Ar·n+Br2n=Ar2n2+Ar+2Br2n

（2）若s≠1，cn=anbn=（An+B）（r·sn-1）=Ar·n·sn-1+Br·sn-1.

令dn=Ar·n·sn-1，tn=Br·sn-1，cn=dn+tn，有Mn=∑ni=1di，Rn=∑ni=1ti，Tn=Mn+Rn.

Rn=∑ni=1ti=Br（1-sn）1-s（s≠1），Mn=∑ni=1di=Ar1+[（s-1）n-1]sn（1-s）2.

所以Tn=Mn+Rn=Br（1-sn）1-s+Ar1+[（s-1）n-1]sn（1-s）2.

定理2：数列{cn}的通项公式cn=（An+B）×r·sn-1（Ars≠0，s≠1），则数列（cn）前n项和为Tn=Br（1-sn）1-s+Ar1+[（s-1）n-1]sn（1-s）2.

注2：本方法可以取代高中学习的错位相减法，同时展现了导数的优越性.导数作为高等数学的基础之一，是一种重要的数学工具，教师在学习的时候应该有一些自己的思考，打破常规，创新思考，为能培养出一批优秀的人才贡献自己的一份微薄之力.要想学生学会创新，教师就应该带头创新.

定理3：数列{cn}的通项公式cn=n2xn（x≠0，x≠1，n∈N*），则数列{cn}前n项和Tn=g（x）=x（x-1）3[n2xn+2-（2n2+2n-1）xn+1+（n+1）2xn-x-1].

注3：用定理3，可以求出数列{（An+B）×r·sn-1}（其中Ars≠0，r≠1）的前n项和Tn，数列{cn}的通项公式cn=anbn（n∈N*），an是等差数列，bn是等比数列.这类问题在高中阶段一般用错位相减法解决.读者只要对定理3的理解到位了，那么解决数列{（An2+Bn+C）·xn}（A，B，C∈R）的求和问题也就不难了.作差一次等价于一次求导，作差两次就等价于求导两次，以此类推，我们可以求出数列{（anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0）qn}，其中（an，an-1，…，a1，a0，q∈R，q≠0）的前n项和.