复数辐角主值与反三角函数的关系及应用

盼刘铁

对于一些复杂的反三角函数问题，如果我们采用普通的三角方法，很难求解.但是，如果我们采用复数法，将反三角函数转化为复数的辐角主值再求解，既方便省事又简化了运算.

一、复数辐角主值与其他反三角函数的关系

z1=arctanyx；（-∞，+∞）；（-π2，π2）；

z2=arcsinyx2+y2；[-1，1]；[-π2，π2].

z3=arccosxx2+y2；[-1，1]；[0，π]；

z4=arccotxy；（-∞，+∞）；[0，π].

复数辐角主值与其他反三角函数的关系如下表：

象限

关系第一象限

x>0，y>0第二象限

x<0，y>0第三象限

x<0，y<0第四象限

x>0，y<0

z1与argzargz=z1argz=z1+πargz=z1-πargz=z1

z2与argzargz=z2argz=z2+πargz=z2-πargz=z2

z3与argzargz=z3argz=z3argz=-z3argz=-z3

z4与argzargz=z4argz=z4argz=z4-πargz=z4-π

轴向

关系x轴正半轴

x>0，y=0y轴正半轴

x=0，y>0x轴负半轴

x<0，y=0y轴负半轴

x=0，y<0

z1与argzargz=z1=0z1不存在argz=z1+π=πz1不存在

z2与argzargz=z2=0argz=z2=π2argz=z2+π=πargz=z2=-π2

z3与argzargz=z3=0argz=z3=π2argz=z3=πargz=-z3=-π2

z4与argzz4不存在argz=z4=π2z4不存在argz=-z4=-π2

二、应用

1.巧解反三角问题

例1计算arctanx+arctan1-x1+x（x<-1）.

解：∵x<-1，1-x1+x=-1+21+x<-1，

∴-π2

∴-π

∵arctan（-x）+arctanx-1x+1

=arg（1-xi）+arg[（x+1）+（x-1）i]

=arg（1-xi）[（x+1）+（x-1）i]

=arg[（x2+1）-（x2+1）i]

=-π4.

∴arctanx+arctan1-x1+x=π4.

2.求角问题

例2若α，β为锐角，tanα=17，sinβ=110，

试证：α+2β=45°.

证明：∵α，β为锐角tanα=17，sinβ=110，

0<α<π6，0<β<π6，0<α+2β<π2，

又∵α+2β=arg[（7+i）（3+i）2]

=arg（50+50i）=arg[502（cosπ4+isinπ4）]，

∴α+2β=π4=45°.

3.求解反三角函数的证明题

例3已知a2+b2=c2，

arcsin1a+arcsin1b=π2（a≠0且b≠0），求证：ab=c.

证明：∵arcsin1a+arcsin1b

=arc（a2-1+i）+arg（b2-1+i）

=arg[（a2-1）（b2-1）-1+（a2-1+b2-1）i]

=π2.

∴（a2-1）（b2-1）=1，即a2b2=a2+b2.

又a2+b2=c2，

∴ab=c.

综上所述，在解决复杂的反三角问题时，如果不能直接求解，可将它转化为复数辐角问题，或可收到意想不到的效果.

参考文献

钟玉泉.复变函数论.北京：高等教育出版社，2013.

李中恢.复数法在三角问题中的应用.南昌：南昌高专学报，2008（4）.

张建忠.复数辐角与反三角函数.甘肃：数学教学研究，1999（1）.

李中恢.复数法在平面几何中的应用.宁波：宁波教育学院学报，2006（4）.