浅谈随机试验和条件概率

基金项目：西北农林科技大学2013年校级教学改革研究项目“高等数学建模教学法研究——农林类高等数学课程教学的继续改革与实践”[项目编号：JY1302096]。

作者简介：周建军（1983—），男，山东济宁人，西北农林科技大学理学院理学博士，讲师，研究方向：随机最优控制。

摘 要：随机试验在随机事件的概率计算中有着非常重要的作用，只有给出正确的随机试验才能确定样本空间和随机事件的样本点，同时条件概率在概率论中占有非常重要的地位，在乘法公式、全概率公式和逆概率公式中都需要用到条件概率的概念。因此，对随机试验和条件概率概念的精确把握尤为重要。本文将通过实例对随机试验和条件概率的概念进行解读。

关键词：随机试验;条件概率;概率

首先我们给出条件概率的定义。

设A，B为同一个随机试验的任意两个随机事件，且满足条件P（B）>0，则称：

P（A|B）=P（AB）P（B）……①

①

为在事件B发生条件下，事件A发生的条件概率。

对于具有等可能性的古典概型，根据条件概率的定义我们很容易得到条件概率的一个简单计算公式：

P（A|B）=AB包含的样本点数B中包含的样本点数……②

由公式②和古典概率的定义，我们可以这样解读条件概率的定义：我们将B看作全集，即增加随机试验的条件使得在此条件下随机试验的所有样本点组成的集合为B。在此试验条件下B为全集，所以AB在此试验条件下所包含的样本点的个数就是A所包含的样本点的个数。因此条件概率P（A|B）就是增加试验条件使得B为全集，然后重新进行随机试验，A在此试验中发生的概率。

根据我们对条件概率的解读，下面来看一个生活中的具体例子：

在电视竞猜游戏节目，你被要求在三扇门（其中一扇后面有一辆车，另两扇后面各有一只山羊）中选择一扇，被选的这扇门后面的东西就归你了。你选了一扇门，然后知道门后面是什么的主持人，打开了另外两扇中后面有山羊的那扇门。然后问你现在是否改变决定，放弃刚才的选择而选择剩下的一扇门？

我们对这三扇门编号为1、2、3，不妨假设编号为1的这扇门后面是汽车，另外两扇门后面为山羊。对于这个问题一部分人认为改不改变选择，选中汽车的概率都是1/3，也有人认为改不改变选择，选择汽车的概率都是1/2，还有一部分人认为不改变选择选中汽车的概率为1/3，而改变选择选中汽车的概率为2/3。但是都没有给出一个完整的计算和证明过程。究其原因就是针对这个问题，大家都认为这是一个求条件概率的题目。然而根据我们前面对条件概率的解读，条件概率最重要的一点是在增加试验的条件下，要重新进行随机试验。但是在我们的这个题目中，主持人打开有山羊的那扇门之后，没有重新进行随机试验。即：把剩下的两扇门重新打乱，然后让你选。因此，我们这个题目不是求条件概率。

解决这个问题的关键就是要正确找到这个问题所对应的随机试验是什么。大部分人认为这个题目的随机试验是：你从三扇门中任选一扇门。但是这是不正确的，因为它没有包含下一步主持人打开有山羊的那扇门。

那么这个题目的随机试验是什么呢？本题目的随机试验就是：你任选一扇门，然后主持人打开剩下的有山羊的一扇门。

我们令A表示你选择1号门;B表示你选择2号门;C表示你选择3号门;D表示主持人打开1号门;E表示主持人打开2号门;F表示主持人打开3号门。显然我们有P（A）=P（B）=P（C）=1/3。

然后，我们给出这个随机试验的样本空间Ω：Ω={AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF}。

根据随机试验的条件，容易得到：P（AD）=P（BE）=P（CF）=

P（BD）=P（CD）=0;

P（AE）=P（A）P（E|A）=1/3×1/2=1/6;

P（AF）=P（A）P（F|A）=1/3×1/2=

1/6;

P（BF）=P（B）P（F|B）=1/3×1=1/3;

P（CE）=P（C）P（E|C）=1/3×1=1/3。

最后，我们令G表示你没有改变选择而选中了汽车;令H表示你改变选择而选中汽车。

显然，G表示你选择编号为1的这扇门，H表示你选择编号为2或3的这扇门。即我们有A=G，H=B+C。所以，我们有P（G）=P（A）=1/3，P（H）=P（B+C）=P（B）+P（C）=2/3。

通过上面这个例子，我们看出来在解决比较复杂的概率问题时，准确给出我们所需要的随机试验和正确理解条件概率的概念是非常重要的。endprint

基金项目：西北农林科技大学2013年校级教学改革研究项目“高等数学建模教学法研究——农林类高等数学课程教学的继续改革与实践”[项目编号：JY1302096]。

作者简介：周建军（1983—），男，山东济宁人，西北农林科技大学理学院理学博士，讲师，研究方向：随机最优控制。

摘 要：随机试验在随机事件的概率计算中有着非常重要的作用，只有给出正确的随机试验才能确定样本空间和随机事件的样本点，同时条件概率在概率论中占有非常重要的地位，在乘法公式、全概率公式和逆概率公式中都需要用到条件概率的概念。因此，对随机试验和条件概率概念的精确把握尤为重要。本文将通过实例对随机试验和条件概率的概念进行解读。

关键词：随机试验;条件概率;概率

首先我们给出条件概率的定义。

设A，B为同一个随机试验的任意两个随机事件，且满足条件P（B）>0，则称：

P（A|B）=P（AB）P（B）……①

①

为在事件B发生条件下，事件A发生的条件概率。

对于具有等可能性的古典概型，根据条件概率的定义我们很容易得到条件概率的一个简单计算公式：

P（A|B）=AB包含的样本点数B中包含的样本点数……②

由公式②和古典概率的定义，我们可以这样解读条件概率的定义：我们将B看作全集，即增加随机试验的条件使得在此条件下随机试验的所有样本点组成的集合为B。在此试验条件下B为全集，所以AB在此试验条件下所包含的样本点的个数就是A所包含的样本点的个数。因此条件概率P（A|B）就是增加试验条件使得B为全集，然后重新进行随机试验，A在此试验中发生的概率。

根据我们对条件概率的解读，下面来看一个生活中的具体例子：

在电视竞猜游戏节目，你被要求在三扇门（其中一扇后面有一辆车，另两扇后面各有一只山羊）中选择一扇，被选的这扇门后面的东西就归你了。你选了一扇门，然后知道门后面是什么的主持人，打开了另外两扇中后面有山羊的那扇门。然后问你现在是否改变决定，放弃刚才的选择而选择剩下的一扇门？

我们对这三扇门编号为1、2、3，不妨假设编号为1的这扇门后面是汽车，另外两扇门后面为山羊。对于这个问题一部分人认为改不改变选择，选中汽车的概率都是1/3，也有人认为改不改变选择，选择汽车的概率都是1/2，还有一部分人认为不改变选择选中汽车的概率为1/3，而改变选择选中汽车的概率为2/3。但是都没有给出一个完整的计算和证明过程。究其原因就是针对这个问题，大家都认为这是一个求条件概率的题目。然而根据我们前面对条件概率的解读，条件概率最重要的一点是在增加试验的条件下，要重新进行随机试验。但是在我们的这个题目中，主持人打开有山羊的那扇门之后，没有重新进行随机试验。即：把剩下的两扇门重新打乱，然后让你选。因此，我们这个题目不是求条件概率。

解决这个问题的关键就是要正确找到这个问题所对应的随机试验是什么。大部分人认为这个题目的随机试验是：你从三扇门中任选一扇门。但是这是不正确的，因为它没有包含下一步主持人打开有山羊的那扇门。

那么这个题目的随机试验是什么呢？本题目的随机试验就是：你任选一扇门，然后主持人打开剩下的有山羊的一扇门。

我们令A表示你选择1号门;B表示你选择2号门;C表示你选择3号门;D表示主持人打开1号门;E表示主持人打开2号门;F表示主持人打开3号门。显然我们有P（A）=P（B）=P（C）=1/3。

然后，我们给出这个随机试验的样本空间Ω：Ω={AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF}。

根据随机试验的条件，容易得到：P（AD）=P（BE）=P（CF）=

P（BD）=P（CD）=0;

P（AE）=P（A）P（E|A）=1/3×1/2=1/6;

P（AF）=P（A）P（F|A）=1/3×1/2=

1/6;

P（BF）=P（B）P（F|B）=1/3×1=1/3;

P（CE）=P（C）P（E|C）=1/3×1=1/3。

最后，我们令G表示你没有改变选择而选中了汽车;令H表示你改变选择而选中汽车。

显然，G表示你选择编号为1的这扇门，H表示你选择编号为2或3的这扇门。即我们有A=G，H=B+C。所以，我们有P（G）=P（A）=1/3，P（H）=P（B+C）=P（B）+P（C）=2/3。

通过上面这个例子，我们看出来在解决比较复杂的概率问题时，准确给出我们所需要的随机试验和正确理解条件概率的概念是非常重要的。endprint

基金项目：西北农林科技大学2013年校级教学改革研究项目“高等数学建模教学法研究——农林类高等数学课程教学的继续改革与实践”[项目编号：JY1302096]。

作者简介：周建军（1983—），男，山东济宁人，西北农林科技大学理学院理学博士，讲师，研究方向：随机最优控制。

摘 要：随机试验在随机事件的概率计算中有着非常重要的作用，只有给出正确的随机试验才能确定样本空间和随机事件的样本点，同时条件概率在概率论中占有非常重要的地位，在乘法公式、全概率公式和逆概率公式中都需要用到条件概率的概念。因此，对随机试验和条件概率概念的精确把握尤为重要。本文将通过实例对随机试验和条件概率的概念进行解读。

关键词：随机试验;条件概率;概率

首先我们给出条件概率的定义。

设A，B为同一个随机试验的任意两个随机事件，且满足条件P（B）>0，则称：

P（A|B）=P（AB）P（B）……①

①

为在事件B发生条件下，事件A发生的条件概率。

对于具有等可能性的古典概型，根据条件概率的定义我们很容易得到条件概率的一个简单计算公式：

P（A|B）=AB包含的样本点数B中包含的样本点数……②

由公式②和古典概率的定义，我们可以这样解读条件概率的定义：我们将B看作全集，即增加随机试验的条件使得在此条件下随机试验的所有样本点组成的集合为B。在此试验条件下B为全集，所以AB在此试验条件下所包含的样本点的个数就是A所包含的样本点的个数。因此条件概率P（A|B）就是增加试验条件使得B为全集，然后重新进行随机试验，A在此试验中发生的概率。

根据我们对条件概率的解读，下面来看一个生活中的具体例子：

在电视竞猜游戏节目，你被要求在三扇门（其中一扇后面有一辆车，另两扇后面各有一只山羊）中选择一扇，被选的这扇门后面的东西就归你了。你选了一扇门，然后知道门后面是什么的主持人，打开了另外两扇中后面有山羊的那扇门。然后问你现在是否改变决定，放弃刚才的选择而选择剩下的一扇门？

我们对这三扇门编号为1、2、3，不妨假设编号为1的这扇门后面是汽车，另外两扇门后面为山羊。对于这个问题一部分人认为改不改变选择，选中汽车的概率都是1/3，也有人认为改不改变选择，选择汽车的概率都是1/2，还有一部分人认为不改变选择选中汽车的概率为1/3，而改变选择选中汽车的概率为2/3。但是都没有给出一个完整的计算和证明过程。究其原因就是针对这个问题，大家都认为这是一个求条件概率的题目。然而根据我们前面对条件概率的解读，条件概率最重要的一点是在增加试验的条件下，要重新进行随机试验。但是在我们的这个题目中，主持人打开有山羊的那扇门之后，没有重新进行随机试验。即：把剩下的两扇门重新打乱，然后让你选。因此，我们这个题目不是求条件概率。

解决这个问题的关键就是要正确找到这个问题所对应的随机试验是什么。大部分人认为这个题目的随机试验是：你从三扇门中任选一扇门。但是这是不正确的，因为它没有包含下一步主持人打开有山羊的那扇门。

那么这个题目的随机试验是什么呢？本题目的随机试验就是：你任选一扇门，然后主持人打开剩下的有山羊的一扇门。

我们令A表示你选择1号门;B表示你选择2号门;C表示你选择3号门;D表示主持人打开1号门;E表示主持人打开2号门;F表示主持人打开3号门。显然我们有P（A）=P（B）=P（C）=1/3。

然后，我们给出这个随机试验的样本空间Ω：Ω={AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF}。

根据随机试验的条件，容易得到：P（AD）=P（BE）=P（CF）=

P（BD）=P（CD）=0;

P（AE）=P（A）P（E|A）=1/3×1/2=1/6;

P（AF）=P（A）P（F|A）=1/3×1/2=

1/6;

P（BF）=P（B）P（F|B）=1/3×1=1/3;

P（CE）=P（C）P（E|C）=1/3×1=1/3。

最后，我们令G表示你没有改变选择而选中了汽车;令H表示你改变选择而选中汽车。

显然，G表示你选择编号为1的这扇门，H表示你选择编号为2或3的这扇门。即我们有A=G，H=B+C。所以，我们有P（G）=P（A）=1/3，P（H）=P（B+C）=P（B）+P（C）=2/3。

通过上面这个例子，我们看出来在解决比较复杂的概率问题时，准确给出我们所需要的随机试验和正确理解条件概率的概念是非常重要的。endprint