一类新的集合及其应用

张兆远

(伊犁师范学院数学与统计学院，新疆伊宁835000)

众所周知，集合中元素的个数是大于或等于零的，元素个数为零的集合称为空集.那么，集合中元素的个数是否可以小于零?如果存在元素个数小于零的集合，会对集合论公理体系产生什么样的影响?带着这些问题我们进行如下论述.

1 引入新公理

在ZF公理系统基础上引入一个新的公理，即负集存在公理.它允许集合中的元素个数为负数.

负集存在公理 构造一个集合，使它含有负元素.所谓负元素就是这个集合欠着的元素.符号化为(-B)(-x)∈B)，其中，槇x∈B表示x欠于B，B欠着x.称x是正元素，槇x是负元素;x与槇x为一对互反的元素，即x的负元素是，槇x的负元素是x.

一个集合中可以同时含有一对互反的元素.我们举一个形象的例子来说明，甲身无分文，可为了生存他借了9万元钱做生意.这时他拥有9万元，同时又欠别人9万元.即9∈甲且槇9∈甲，其中槇9表示他欠债9万元.

定义1 含有负元素的集合叫做负集合.

定义2 只含负元素的集合叫做纯负集合，反之叫纯正集合.

规定用正整数表示正元素的个数，用负整数表示负元素的个数.

定义3 一个集合的负元素个数与正元素个数之和叫做这个集合的绝对元素个数，记作CardA;负元素个数的绝对值与正元素个数之和叫做这个集合的相对元素个数，记作∣CardA∣.

例2A={槇1，2，槇3，4，5}的CardA=1，∣CardA∣=5.

例3A={槇1，2，4}含有两个正元素和两个负元素，它的绝对元素个数是2+(－2)=0.

2 与原有空集存在公理的矛盾及解决策略

我们知道，空集的元素个数为零，即空集不含任何元素，并且空集是唯一的.例3与此产生了矛盾，因为A是一个含有元素的空集，并且不唯一.为了解决这个矛盾下面给出一个新的空集存在公理.

空集存在公理存在元素个数为零的集合.符号化为(-B)(槇x)(y)(槇x∈B y∈B)，其中x，y为正元素.

下面我们重新定义空集.

定义4 把元素个数为零的集合叫做空集.

定义5 把不含任何元素的集合叫做纯空集合，记为Φ.

显然，空集不是唯一的.但是，纯空集是唯一的.

3 应用

在新公理体系下，重新给出集合间的加减法运算法则和整数的定义.

3.1 集合间的加减法

定义6 A，B是集合，函数

则A+B={z|z=x∨z=y(x)(y)(x∈A∧y∈B∧φ(x，y))}，A+B读作A加B.

这样，我们就定义了集合之间的加法运算，那么A－B就可以看作A+．把A－B读作A减去B．这样就定义了集合之间的减法．显然，减法是加法的逆运算．

3.2 定义整数

我们利用后续运算定义自然数

0= Φ，1= Φ+=0+，2=1+= Φ++，3=2+= Φ+++，…

利用后续运算结合负集公理来定义负整数.

－1= Φ－，－2=－1－= Φ－－，－3=－2－= Φ－－－，…

…－3= Φ－－－，－2= Φ－－，－ 1= Φ－，0= Φ，1= Φ+，2= Φ++，3= Φ+++，…

定义7设集合A，若A满足:(1)Φ∈A，Φ槇∈A，(2)如果a∈A，则a+∈A，则称A为归纳集.

例如A={…Φ－－，Φ－，Φ，Φ+，Φ++，…}为归纳集，B={…b－－，b－，b，b+，b++，…}，当b≠Φ或b≠Φ时不是归纳集，因为ΦB.

定义8 一个整数是属于每一个归纳集的集合.

有了以上定义，我们可以将全体整数集合ω定义成:

x∈ωx是一个整数x属于每一个归纳集。

引进记号D={v|v是归纳集}，(D不是集合，而是真类)，进行如下定义.

定义9 ω=∩D=∩{v|v是归纳集}.

4 结语

综上所述，我们在集合论的ZF公理系统中添入了负集存在公理，又给出了新的空集存在公理，把原来的空集存在公理更名为纯空集存在公理.这样我们就得到了一个新的ZF公理系统.在新公理体系下必然会产生新的性质，在后续的论文中将继续研究.

［1］耿素云，屈婉玲.集合论导引［M］.北京:北京大学出版社，1990.

［2］P.W.齐纳，R.L.约翰逊.集合论初步［M］.北京:科学出版社，1986.

［3］王子兴.数学方法论——问题解决的理论［M］.2版.长沙:中南大学出版社，2002.